2003-2011考研数学2真题高数部分要点

1、2003年考研数学(二)真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1(1)若x. 0时，(1-ax2)4 -1与xsinx是等价无穷小，则 a=(2)设函数y=f(x)由方程xy 2lnx = y4所确定，贝U曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.(4)设曲线的极坐标方程为=ea%a - 0)，则该曲线上相应于 二从0变到2-的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设an, bn, Cn均为非负数列，且lim an = 0

2、lim bn=1,lim Cn'n :.，则必有(A) an =bn对任意n成立.(B) bn : cn对任意n成立(C)极限lim anCn不存在.n_Jpc(D)极限nimbnCn不存在3 n(2)设 an 专 on 1 xn J ,1 x dx ,则极限lim nan等于n33(A)(1 e)21.(B)(1 e)2-1 33(C)(1 e4)21 (D)(1 e)2-1(3)已知xy是微分方程y=()的解，则x()的表达式为In xxyy22(A)y2y(B)2 -xx22xx(C)2 (D)2"yy(4)设函数f(x)在(：，：)内连续，其导函数的图形如图所示，则

3、f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点(B) 两个极小值点和一个极大值点(C) 两个极小值点和两个极大值点三个极小值点和一个极大值点i(5)设I4tanxx dx，l2-旦X4dx,则0 tan x(A)h A 1 2 A 1(B)1 A 丨1 > 1 2(C)I 2 > I 1 A 1(D)1aI2»1三、(本题满分10分)设函数f (x)ln (1 +ax3)Jx arcsin x6, eax + x2 - ax -1X £ 0,x = 0,x > 0,.x xsin -47Ox问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的

4、可去间断点? 四、(本题满分9分)设函数y=y(x)由参数方程x " 2t2,H2lnteU (t>1)所确定，求y = 1duL 1 ud2ydx2x=9五、(本题满分9分)arcta n x计算不定积分xe 3 dx.(1 x2) 2六、(本题满分12分)设函数y=y(x)在(一=：)内具有二阶导数，且y = 0, x = x( y)是y=y(x)的反函数.d xdx(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程 一2 + (y + sin x)()3 = 0变换为y=y(x)满足的微dydy分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) = 0, y(0) = 3的解.

5、2七、(本题满分12分)讨论曲线y = 41 n x k与y = 4x In4 x的交点个数.八、(本题满分12分)逅1设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(一歹，?)，其上任一点 P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分.(1) 求曲线y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx在0,二上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x二(y)(y_0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以3m3 /min的速率向容器内注入液体时，液 面的面积将以二m2/min的速率均匀

6、扩大(假设注入液体前，容器内无液体)(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式；(2) 求曲线x =护(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f (x) 0.若极限lim .a)存在，证明：x)ax _ a(1)在(a,b)内 f(x)>0;b? _2(2)在(a,b)内存在点，使-ba f (x)dx 在(a,b)内存在与 中相异的点，使 f()2"f (x) dx.3#2004年考硕数学(二)真题.填空题(本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填

7、在题中横线上.)(1)设 f(x) =lim (n21)x,则 f(x)的间断点为 X 二 T0 nx +13/ ,x = t3 +3t +1(2)设函数y(x)由参数方程3y=t -3t+1确定，贝U曲线、二y(x)向上凸的x取值#范围为(5)微分方程(y x3)dx -2xdy =0满足 y xd6=一的特解为.5二.选择题(本题共 8小题，每小题 4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)x°X2尸*玄3(7 )把 X 0 时的无穷小量cost2dt ,tan t dt,si nt dt 排0i0i0列起来，使排在后面的是

8、前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) :-，-, .( B):-,，-.(C), .( D), - .I I(8)设 f(X)= X(1-X),则(A) x =0是f (x)的极值点，但(0, 0)不是曲线y = f(X)的拐点.(B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0, 0)是曲线y = f (x)的拐点.(C) x = 0是f (x)的极值点，且(0, 0)是曲线y二f(x)的拐点.(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0, 0)也不是曲线y二f (x)的拐点.丨丨（9） lim In 寸（1中1）2（1+?）2山（1+丄）2 等于n； n nn2 2 2（A） in

9、2 xdx.（ B） 2 ln xdx.2 2 2（c） 2,1 n（1+x）dx.（ D） （I n2（1 + x）dx(10)设函数f (x)连续，且f (0) 0，则存在:.0,使得(A) f (x)在(0，、)内单调增加.（B）f（x）在（-、，0）内单调减小.（C）对任意的 x （0,、）有 f（x） f （0）.（D）对任意的 x （-、, 0）有 f （x） f （0）.（11）微分方程y ' y = X2 1 sin X的特解形式可设为2（A）y =ax bx c x（Asinx Bcosx）.（B）y =x（ax bx c As in x B cosx）.2（C） y

10、 二axbx c Asinx.2（D） y =axbx c Acosx三.解答题(本题共 9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分10分)COSX3(16) (本题满分10分)设函数f (x)在(yj,-)上有定义,在区间0, 2上，f (x) = x(x2 -4),若对任意的x都满足f (x) =kf (x 2),其中k为常数.(I )写出f (x)在-2, 0上的表达式；(n )问k为何值时，f (x)在x = 0处可导.(17) (本题满分11分)x昌设f(x) = J 2 Sint dt,( I )证明f (x)是以兀为周期的周期函数;(n )

11、求f (x)的值域. u x(18) (本题满分12分)x_xe + e曲线y与直线x=0, x=t(t 0)及y=0围成一曲边梯形该曲边梯形绕x2轴旋转一周得一旋转体，其体积为V (t),侧面积为S(t),在x = t处的底面积为F (t).(I) 求的值；(n )计算极限lim .V(t)t-NF(t)(19) (本题满分12分)2224设 e a : b : e ,证明 In b -In a 2 (b -a).e(20) (本题满分11分)某种飞机在机场降落时，为了减小滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来现有一质量为 9000kg的飞机，着陆时的

12、水平速度为700 km/h .经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k =6.0 106).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少 ？ 注kg表示千克，km/h表示千米/小时.(21) (本题满分10分)2设z = f (x2 - y2, exy),其中f具有连续二阶偏导数+ ：z :z z,求，一，- ex &y ddy005年考研数学二真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)设 y=(1+sinx)x，则 dy|x廿.3(2)(3)(4)(1 + x)2曲线y二的斜渐近线方程为.Jx1 xdx0(2x2).1x

13、21微分方程xy " + 2y = xln x满足v(1)=-的解为9(5)当 x. 0 时，(x)二 kx2与：(x)二 1 xarcsinx-；cosx 是等价无穷小，则k=.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数f (x) = lim打1 + x3n(8)必有njpc*(A)处处可导.(C)恰有两个不可导点.I设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,，则f(x)在(一匚片：)内(B)恰有一个不可导点(D)至少有三个不可导点，"M N"表示“ M的充分必要

14、条件是N ”，则8(A)(B)(C)(D)F(x)是偶函数二f(x)是奇F(x)是奇F(x)是周期函数二F(x)是单调函数=(9)设函数y=y(x)由参数方程点的横坐标是1(A) Tn 23.8(C)- 81 n 2 3.2x = t 2t,确定，贝U曲线y=y(x)在x=3处的法线与二 ln(1 t)(B)(D)1 -Tn 23.88l n2 3.x轴交旦吞函数.旦古函数二f(x)是偶函数.f(x)是周期函数.f(x)是单调函数.#ex4 -1(A)x=0,x=1都是f(x)的第-类间断点.(B)x=0,x=1都是f(x)的第二一类间断点.(C)x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x

15、)的第二类间断点,则x(12)设函数f (x)=(D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.三、解答题(本题共 9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分11分)x(X t) f (t)dt设函数f(x)连续，且f(0) =0，求极限|im 0.7 xf f (xt)dt0(16) (本题满分11分)1如图，Ci和C2分别是y (1 ex)和y =ex的图象，过点(0,1)的曲线C3是一单调增 2函数的图象.过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly 记C1,C2与lx所围图形的面积为 S(x) ； C2,

16、C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有s(x)二S2(y)，求曲线C3的方程x =皆(y).(17) (本题满分11分)如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 h与丨2分别是曲线 C在 点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分320(x2 x)f (x)dx.(18) (本题满分12分)用变量代换x = cost(0 : t ：二)化简微分方程(1 - x2)y ” - xy ' y = 0，并求其满足y =1, y"丄=2的特解.(佃)(本题满分12分)已知函数f(x)在0，1上连续

17、，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：(I) 存在：(0,1),使得 f ( )；(II) 存在两个不同的点,(0,1)，使得f ( ) f)= 1.(20)(本题满分10分)已知函数z=f(x,y)的全微分 dz = 2xdx-2ydy，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在椭圆域2D =( x,y) x2 + y <1上的最大值和最小值.42006年全国硕士研究生入学考试数学(二)一、填空题(1)曲线y二x 4sin x的水平渐近线方程为 .5x -2cos x91 x2(2)设函数3 sint dt, x = 0, f (x) = x3 0(3 )广义积分圧

18、xdx0 (V x2)2在x =：0处连续，则a =x = 0a,16.x10(4) 微分方程 丫二y(1 X)的通解是 .x(5) 设函数y = y(x)由方程y =1 一 xey确定，则dy a_0 =dx -:、选择题(7)设函数y = f(x)具有二阶导数，且 f(x) 0, f (x)0x为自变量x在X。处的增量，绍与dy分别为f (x)在点x0处对应的增量与微分，若x0,则(A) 0 <dy <Ay.( B) 0<yvdy.(C) "y dy : 0.(D) dy ： ：y ： 0.【】x(8) 设f(x)是奇函数，除x = 0外处处连续，x = 0是其

19、第一类间断点，则° f(t)dt是(A)连续的奇函数.(B)连续的偶函数(C)在X =0间断的奇函数(D )在x=0间断的偶函数.【】(9) 设函数 g(x)可微,h(x)'9(x), h(1)=1, g (1)=2，则 g(1)等于(A) ln 3 -1.( B) - In 3-1.(C) -In2 -1.(D) In 2-1.【】(10) 函数y二Gex C2ex xex满足一个微分方程是(B) y _y _2y =3ex.(D) y y -2y =3ex.(A) y - y -23xe .(C) y y -2y =3xex.三解答题15 .试确定A , B , C的常数

20、值，使得ex(1 Bx Cx2) =1 Ax o(x3)，其中 o(x3) 是当x； 0时比x3的高阶无穷小x求 arcsinedx.16.x#16.x11设数列:Xn 满足0 ： XL：二，Xn T =sinXn(n =0,1,2, III)16.x#证明:(1)lim Xn i存在，并求极限1计算 lim( jX1)Xn U Xn18. 证明: 当 0<a<b ：二时,bs in b 2cosb 二b as in a acosa：；二 a.x = l 1,21已知曲线L的方程为2 (t_0),ly=4lt2(I)讨论L的凹凸性；(n)过点(-1, 0)引L的切线，求切点(心y0

21、)，并写出切线的方程;(川)求此切线与 L (对应于x空X。的部分)及x轴所围成的平面图形的面积2007年考研数学二真题一选择题(本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内)(1) 当X)0 时，与x等价的无穷小量是A. 1-eXB. InC. J . x -1D. 1 - COS 一 X12#1(2) 函数f(x)二 e)tan X在区间丨一二，二|上的第一类间断点是 X =()x(eX -e)A. 0B. 1C.D.2 2(3) 如图.连续函数y二f(x)在区间-3,-2，2,3】上的图形分别是直径为1的上、下半圆周

22、，在区间1-2,0 1, 0,2上图形分别是直径为 2的上、下半圆周，设F(x)二:f(t)dt,则下列结论正确的是：()A. .F(3) = 3F(2)B. F ( 3 - F ( 2 )44C. F(-3) 3F(2) D. F(-3)=三 F( £)44设函数f (x)在x=0处连续，下列命题错误的是()A.若 lim f (x)存在，则 f (0) = 0 B.若 lim f (x)f ( x)存在,X"50xC.若lim 他存在，则f(0)=0 D. XT Xlimx )0f(x)f(x)存在,f(0) = 0f(0) =01(5)曲线yIn(1 ex),渐近线的

23、条数为()xA. 0B. 1C. 2D.3设函数f(x)在(0,：)上具有二阶导数，且f"(x) 0,令Un= f(n)=1,2,n,则下列结论正确的是()C.若u1 : u2，则:u/?必收敛A.若U|U2，则CuJ必收敛B.若qU2，则 m 必发散(12)曲线x 二 cost cos21y =1 sintr r.JE上对应于t =-的点处的法线斜率为4填空题：11- 16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上D.若U1 :： U2，则un?必发散(11)匹arctan x sin x、0x3-13#(13)设函数母f，则yn 0 =(14)二阶常系数非齐次线性微

24、分方程y”-4y'+3y =2e2x的通解y=.三、解答题：17- 24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.f (x)x cost sin t(17)设f(x)是区间_0,-上单调、可导函数，且满足0 fJ(t)d 0tsint_costdt，其中f '是f的反函数，求f(x).(18)(本题满分11分)设D是位于曲线y = xa - a 1,0 _ x ；：汗方、x轴上方的无界区域.(I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；(n)当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.rO(佃)求微分方程y”x，y'二

25、y'满足初始条件y(1) = y'(1) = 1的特解.d2zdx2x =0 (20)已知函数f(a)具有二阶导数，且 f'(0) = 1,函数y二y(x)由方程y xey，=1所确定.设 z = f (ln y sin x),求 d| dx(21)(本题11分)设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f (a)二 g(a), f (b)二 g(b) 证明：存在(a,b),使得f"( ) = g'().2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的

26、四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(1)设 f(x) = x2(x -1)(x -2)，求 f (x)的零点个数()A 0B 1C 2D 3a(2) 曲线方程为y=f(x)函数在区间0, a上有连续导数，则定积分°xf'(x)dx ()A曲边梯形 ABCD面积.B梯形ABCD面积.C曲边三角形ACD面积.D i三角形ACD面积.(3) 在下列微分方程中，以y二Gex C2 cos2x C3 sin2x ( G,C2,C3为任意常数)为通解的是()A y y -4y -4y=0.B y y 4y 4y = 0.C y""-y

27、 4y 4y = 0 .D y"：- y4y' 4y = 0 .In x(4) 判断函数f(x)=sinx(x>0)间断点的情况()x -1A有1个可去间断点，1个跳跃间断点B有1个跳跃间断点，1个无穷间断点C有两个无穷间断点D有两个跳跃间断点(5) 设函数f (x)在(一沔：)内单调有界,为数列，下列命题正确的是()A若收敛，则、f(Xn)f收敛.B若：人单调，贝f (xnp收敛.C若' f(xn)f收敛，则心收敛.D若' f (xnV单调，贝/ Xn<收敛.二、 填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)

28、f(x)连续，lim 1_cos(sinx) =1，则 f(0)=T(ex -1)f (x)(10) 曲线sin xyTn yx;=x在点0,1处的切线方程为2(11) 求函数f(x)=(x5)x3的拐点.三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15) (本题满分10分)sin x sin sin x |sin x求极限lim' 4.7x4(17)(本题满分10分)d 2求积分 rx arcsinxdx(19)(本题满分10分)曲线y二f (x)满足f(0) =1对于任意的t曲线是严格递增，在 x轴上t .0，该曲线

29、与直线x =0, x =t(t 0)及y =0围成一曲边梯形该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t).如果f(x)二阶可导，且型 =2，求曲线y = f(x).V(t)(21)(本题满分11分)证明(1)积分中值定理；(2)已知- (x)在1,3上连续且可导，(2)，(1),(2) ：:(x)dx证明至少存在一点：(1,3),使得：()"2010年考研数学二真题一 填空题(8X 4=32分)(1)的无好間断点数为(B)l.(A)0.(D3 一16#|(2)设；忆旳是一阶线性非齐次微分方程=的炳个铸解-若常数久，何使z >1pyi是该方程的解，/tn

30、是对应的齐次方程的解，则#曲线y = H与曲8y = alnx(a*0)相切,Ma =(A)4eCB)3e(C)2eh?r必的收敛性;(A)仅胡崎优育关一(C)与做肝值部有关，(B)仅k与侑有关，(D)与叫用值都无关.1设曲疑止幣麺，则反常积分17#二、填空题：414小题，每小题J分，共24分，请将答案写在笛團级指定位置上.(9)3阶常茶数线性齐次微分方程<-2/-/-2 = 0的通解y=.(10)曲线_y =PT1的渐近纯方州为(11)函数y = h(l-2x&x=0 处的打阶导&yn|(0)=(12)当肚&£兀时，对数绷线r = e&的弧检为

31、 .(B)已知一亍长方形的长l2cm/s的速率41加，宽以3cm/s的速率增加，则当l=l2an, 时，它的对如线培Ml的速率为 .三、解答恿1123小题，共94分.请将解答写在答题纸捋定位置上解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤(15)(本题满分10分)Mf(x) = (x2-t)el'dt的单调区同与极性(16) 体题淸分10分) 比较|tar|ln(l+0"与J；严|lnF常3=12 )的大小，说明理曲fl(H)记“产 taln(1+0" (m=L2, ),求极址 lim气.阳nW(l-7) C本题满分11分). x = 2t + r设函St = /(x)

32、由勢数方程j_.(f>-l)所确定，其中心具有2阶导题且附(1)=二十賞'(1)=石.已知一$2dx-=-，求函数斟() 4<1 + F)(18)(本题满分10分)一个高为的柱体形贮油湮.底面是长轴为M .短轴为场的椭圆，现将贮抽龍平放, 当油罐中油面高度为詁时(如图)，计算油的质最长度单位为mt质吊单位为蜃油的密度为常数pkg "F )【分析】先求油的体积，实闻只需求椭圆的部分1初积.【详解】建立如图所示的直角坐标系一则油罐底面楠圆(21)(木題満井10分)在闭区间0. 1 h连续，在开区间(0, I)内可导，UWAQ,成0=2,证明：存在11r,5 e

33、69; 7 e 啊 使得(旳(沪代2011考研数学二真题一选择题1.已知当x > 0时，函数f(x) =3si nx-si n3x与cxk是等价无穷小，则A k=1,c=4 B k=a, c=-4C k=3,c=4 D k=3,c=-42.已知f(x)在X=0处可导，且f(o)= q 则 limx2f(x) -2f(X3)3xA 2f (0) B - f (0) C f (0) D03. 函数f(x) =1 n(x-1)(x-2)(x-3)的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程yLyre'exc 0)的特解形式为a a3 +ex)b ax(e'x +e®

34、;cx(ae* +bex)d x2(ae'x +bLx)5设函数f (x)具有二阶连续导数，且 f(x) 0, f (0) 0，则函数z=f(x)l nf(y)在点(o，o)处取得极小值的一个充分条件A f (0) 1, f (0) 0 B f(0) 1, f (0) <0C f(0) <1, f (0) 0 d f(0) <1, f (0) ： 06设 IIn sin xdx, J ln cot xdx, K ln cos xdx 则'、J、K 的大小关系是P0*0A IvJvK B IvKvJ二填空题C J<I<K D Kvjvl1 2x -x

35、10.微分方程y y = e公cosx满足条件y(0) = 0的解y =x-11. 曲线 ytantdt(0 _ x _ ：)的弧长 s=12. 设函数f (x)=苕九>0，则 .xf(x)dx =三解答题x 2I n(1 +t2)dt，设lim F(x) = lim F(x) =0，试求的取值范围 乂十15.已知函数F(x)二-0xa13 + 1x t t3316设函数y=y(x)有参数方程y=1t3n -，求=("的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。I. y_3317.18设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记芒是曲线I在点(x,

36、y)外切线的倾 角d 矽，求y(x)的表达式。dx dx11119. 证明：1)对任意正整数n，都有In(1)：n +1nn11、2)设an =1亠亠 亠 In n(n =1,2,)，证明an收敛。2n20. 一容器的内侧是由图中曲线绕 y 旋转一周而成的曲面，该曲面由2 2 1 2 2 1x y =2y(y ),x y =1(y) 连接而成。2 2(1 )求容器的容积。(2 )若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽岀，至少需要多少功？(长度单位：m；重力加速度为gm/ s2 ；水的密度为103kg/m3)2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题,只有一个选项符、选择题:W 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上(1)曲线yx2x一 x2 -1的渐近线条数(A) 0(B) 1(C) 2(D) 319# 设函数f (x) =(ex-1)(e2x-2川l(enx - n)，其中n为正整数,则f (0)=20(A) (1)2(n1)!(B)(_1)n