初一数学绝对值典型例题精讲

1、实用文档第三讲纟色对 内容概述它其中相关的热本思懑及致学方法規初中数学学绝对值是冇理数中菲常重要的组成部分.习的垠石.希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关如1R能够哎握要领° 绝对仇的定义及性 质简单的绝对血方程谑对血化简绝对值式，分类讨论(苓点分段法)绝对血几何您义的使用绝对值的定义及性质laL 绝对也的定义：在数轴上. 一个数所对应的点与廉点的距离称为该数的绝对值. 记作 绝对 血的tt质：. 这規绝对血非常重要的性质；绝对值的非负性. 可以用下式农示：lal>0 (1)(a>0a(代致您义)a=0) (2lal= 0(0)va (a <0; >0;若l

2、al=a.则a若(3) lal=at R'J aa, ) 4 任何一个致的勉对血都不小于这个数.也不小于这个数的相反数.FPlal> ( -a;且lal> (几何您义)a=b SL a=-b:)(5 若lal=lbl,则|a|al= (b#0)6 () labMallbl; I;|b|b222 ; l=a) (7 lal=la»>< 8()la+bllal+lbl la-blllal-lbll lal+lblla+bl lal+lblla-bl实用文档【例1(1) 对血大于2.1而小于4.2的Jt致冇多少个？(2) 若ab<lablt则下列结论正

3、确的規()A.a<0t b<0 B.a>0t b<0 C.a<0t b>0 D.ab<0(3) 下列各纽刿昕中.正确的規()A.若lal=b.则一定冇 a=bB.若lai>IbL则一定冇 a>b22 =(-b) lal=b,则一定冇 ablal >,则一定冇lai > IblD.若 C.若(4) 设比 b/t冇理数.则la+bl+9冇最小值还是垠大血?其值翅多少？分析：(1) 结合致柚画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的敛冇±3.±4, 有4个(2) 答案C不完苒. 述择 D.在此注您31习巩固如识点3。

4、(3) 这择D。(4) 根1R绝对血的菲负性可以如道la+bl>0.则la+bl>9.冇瑕小血9巩固谑对血小于3.1的樂数冇哪些？它们的科为多少？V分析：绝对值小于3.1的樂数冇0.± 1,±2.±3,和为0。巩固冇理数a与b满足lal>lbl.则下面哪个昔索正确()A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定分析：送择D。巩固若lx-3l=3-xt则x的取值范IB是分析：若lx-3l=3-x.则x-3<0. FP x<3o对如识点3的复习巩固巩固若a>bt且laklbl.则下面判昕正确的赴()A.a<0B

5、.a>0C.b<0D.b>0分析：选择C巩固设近 b妲冇理致，则-8-la-blAM大值还赴垠小值？其值是多少？分析：labl>0. -8-la-bl<-8t所以冇最大血8例2y 的血处多少？.贝'J 1)(竞赛题)若 3lx-2l+ly+3l=0 ( x?4d2)(Vl 2 ()若.求 lx+3l+(y-l)=0 y?x实用文档y3? =t x=29 y=-3t 分析：(1 )lx-2l=0t ly+3l=0x2?4?42=0.可阿 x=-3),y=loy-l=-l(2)由lx+3l+ (xy?31?n为偶数时.原式=1; n为奇数时.脈式=12>

6、0) lal>0 b 小如识点汇总：(本源 22=0则 x-a=0 且 x-b=0;若(xa) +(x-b)2=0,则 x-a=0 且x-b=();若 lxal+(xb)4?lx-al+lx-bl=0t 贝！J x-a=0 且 x-b=0;当然各项前面存在正系数时仍赭成立.菲负，项增加到多项时.每一项均为0.两个菲负致互 为相反致时.两右均为0简单的绝对值方程【例3】.那么x=) 已如x規冇理数.且1x1=1-41 (1 .那么x=巳如x扛冇理数.且-Ixl=-I2l (2) x=已如x崔冇理数.且-l-xl=-l2lt那么(3)那么.lx-yl二yx满足条件1x1=5. Iyl=2 )

7、如果x. y农示冇理数，且x, y (4的值規多少？ x+y分 析：-2 , 3) 2. 2) 2-2,()(14t -4( <0; ±29 且lxyl二yx, x-y5 (4) x=±ty= y=-2时不濒足题您；.x=5y=2时不满足题恁；当x=5,当 y=-2时满足题您.x+y=7x=5当x=-5, y=2时满足题魁；x+y=-3 :当 的血lyl=6.求代数式lx+yllxl=4【巩 固】巩固.6.所以 y二土，所以 x=±4t 因rly 1=61x1=4 分析：因为lx+yl=l2l=2;时，x=4, y=-6 当时当 x=4t y=6lx+yl=

8、ll0l=10;lx+yl=ll0l=10 . y=6 时.x=-4 lx+yl=l2l=2y=6x=-4 当时.；当 4【例】实用文档3|x?5|?5?0 ) (1 解方程：_ 2(2) I4x+8I=12(3) I3x+2I=1hx?xy?4y 的Wl(4)已如lxll=2. Iyl=3.且 x 与 y 互为相反数.求_ 32510510 -；,进而可阿：x=-t 1)原方程可变形为:lx+5l=.所以冇x+5= ±分析：( 3333(2)4x+8=± 12. x=lt x=-5(3) 此方程无解(4) lx-ll=2tx-l = ±2,x=3,x=-l,ly

9、l=3,y=±3,且 x与 y互为相反数所以x=3. lzx?xy?4y?24y=-3, 3a?ab?b【例5】 若已如a与b互为相反数.且la-bl=4t求 :l?a?ab分析：a与b互为相反敛.那么a+b=0o0aba?b?abb?aba?abJa?b|?4>a?b?4>=.2a(a?b)?la?0?l l?a?ab 当 ab=4 时.且 a+b=().那么 a=2. b=-2t -ab=4: 当 a-b=-4 时.且 a+b=O,那么 a=-2t b=2t -ab=4:a?ab?b=4综上可诲 2?ab?la 化简绝对式】【例 6|2a?4b|4211?. b=-t

10、 求的Wt 已如(1) a=- 2|a?2b|4b?3?|2a?3|(a?2b)32 (2)若lai二b,求la+bl的值(3) 化简：labl4|?1?|4218- 3?=分析：(1)质式1212472|?|?3?|?1?(?)3| 23233(2) lal=b,我们可以如逍b>0,当时，a=-b, la+bl=O;当 a>0 时.a=b, la+bl=2b(3)分类讨论°实用文档当 a-b > ()时.PP a> b. Ia-bl=a-b;当 a-b=O 时.PP a=b, la-bl=O:当 a-b< ()时.PP a < b, la-bl=

11、b-ao【巩固】 化简：(1) 13(2) 18-xl (x>8)分析：(1) 314<兀，3.1 4-ti <0t 13.14- 1= 71 -3.14(2) x>8t 8-x<0t l8-xl=x-8o【例7片r理敛a. b. c在数柚上对应点如图所示化简lb+al+la+cl+lc-bl口1AB0C=2b-2c)(cb 分析：lb+al+la+cl+lcbl二b+a (a+c) lal+lc-bl+la-cl+lb-al 在败轴上的位JI妇图所示，化简 b.c 巩固巳如atII】I bca0lal+lc-bl+la-cl+lb-al=-a+b-c-a+c+b

12、-a=2b-3a分析：la+bl+lbal+lbldlall在数轴上对应的点如图所示.規化简.b【巩固】 数a11-_> b0 a=b ) (-2a (b-a) +b分析：ki+bl+lbFl+lbllalall= (a+b) +aO?lal-lbl+la+bl+labl .化简 aob 且】【例8 (1)若_ bla+2l+la-2l0.化简<a<)若(22 lx+zl+ly+zllxylliM 已x<O<z,xy>O.lyl>lzl>lxl.求(3a0?a<0,b<0,a+b<0.ab>0 ,分析：(I)若avb b

13、lal-lbl+la+bl+labl=-a+b-a-b+ab=ab-2a la+2l+la-2l=(a+2)-(a-2)=4t <0a+2>0t a-2 因为 (2)-2<a<0,所以二x+zyzx+y=0 yvxvz:廉式 y<O<z,又lyl>lz【>lxL可阿：(3)由 x<0<z.xy>0: Ix-ml+lx-1 Ol+lx-m-101 .化简 x«10【巩固】如果 Ovmvl0 并且mlx-ml+lx-101+lx-m-1 Ol=x-m+10-x+m+10-x=20-x 分析：13+12-11+xlll化简)

14、巳如xv-3,【例9】(l|a?卩2a .试化简)若(2a<0Ia?|3a|l3+!2ll+xlll=l3+l2+l+xll=l3+l3+xll=l33xl=lxl=-x时.)当(分析：lx<-3实用文档2a?|3a|2a?3a5a5=) =(|?a3a|?a?3a|4?a4abc?所冇®能值【例10】若abc=#Ot则|c|a|b|分析：从建体考虑：abc?=3, c全正.则；1() a, h |a|b|c|abc?=l;(2) at b. c两正一员.则|c|b|acba?(3) a, =1； b. c正两负.则|c|a|b|abc?=-3ct 全负.则(4) a,

15、b|a|b|c|abcd|a|b|c|d|?l?t 求b, c. d.满足的tti【巩固】冇理数a.abcdabcd|abcd|?l如abcdvO.所以a分析：冇.b. c, d里含冇1个负数或3个负数：abcd|a|b|ci|d|?;若含冇1个负数.则=2 (1)abcd|a|b|c|d|?=-2 若含冇3个负数.则(2)abed【例 11】化简Ix+5I+I2x3l3分析：先找枣点。x+5=0t x=-5; 2x-3=Ot x=t枣点可以将数轴分成几段。_ 23, x+5 >0,2x-3 >0. Ix+5I+I2x3I=3x+2 ;当 x> 23 当-5<x v.

16、x+5>0,2x-3 < 0t Ix+5l+l2x-3l=8-x;2 当 x<-5t x+5<O,2x-3, lx+5l+l2x-3l=-3x-2【巩固】化简：I2xll1.依次枣点®以将致柚分成几段.x=2x-l= 0分析：死找枣点。 21,2x-l<0, I2x-ll=- (2x-l) =1 -2x; x<) (1 _ 21 (2) x=t 2x-l=0t t2x-ll=0 2实用文档1 1)合并写出结果Q 也®将(2)与()x>. 2x-l>0t I2xJl=2x-l (3 2 lml+lm+lm2l的Ifi 【例12】

17、求m=0J,2m-2=0.解阿.m-l=0, 分析：先找帝点.m=0 o m>21 J<m<2t m依这三个枣点将数柚分为四段：m<0,0< < =-3m+3 ) - (m-2 - m - (m-1)时，琢式 当 mv0=m+3 ) (m-2=m-(m-1) -m当 0<v 1 时，脈式二m+1 ) (m-2 (m-1)<当 Im v2 时.原式=m+=3m3m-2) 2时，脈式m+(m1)+ (m 当 绝对值几何总义的应用1汕的几何您义：在致柚上.表示这个数的点离开廉点的距离b对应致柚上两点间的距离 的 几何您义：在致轴上.农示数a, la-b

18、l 例13】求lx-3l+lx-5l+lx2l+lx+ll+lx+7l的最小值分析：由上题®如.本题中的式子血应为x所对应的点分别到3,52 -1. -7所对应的点距离才 通边致柚®以看到.当x=2时，五投距离的和冇最小Wu 16O 这里我们®以把小学奥致中的相关 如识联系到一起讲解:【小学奥致相关题 目】 如E9,在按到上冇 A. B、C、D、E五栋居民楼.现在设立一个邮简.为 使五栋楼的居民到邮筒的就势力之和最短. 邮局应立于何处？BCDE 分析：我们来分析以下 A、E两个点. 不论这个邮简放在 AE之间的哪一点.A到邮简的距离加 上E到邮简的距离就規 AE的

19、长度。也就是说邮简放在哪不介彩响这两个点到邮筒的距裔之和° 那么找们就使其他的3个点到邮筒的距离之和JR短.再看为了使B、D两个到邮简的距离之和也 Xt不变的.等于BDO垠后.只箭要考虑 C点到邮筒的距离衆近就行了°那么 当然也就理把邮简 放在C点了q 这里就体现了一个“向中心靠拢的思规”题后小结论:求lx-al+lx-al+*+lx-al6&M小Ul： n2i 当n为奇数时.把a、a、a从小到大排列 x夺于 最中间的®UA时. 该式子的 迦 值垠小。实用文档当11为偶数时，把a. a. ：!从小到大排列.X取垠中间两个数值之间的敛（tLn21括瑕中间 的

20、致）时.该式子的血垠小Q【巩固】 侏究lai与labl的几何您义分析：lai即为农示a的点 A 与廉点之问g距离. 也即为线段 AO的长度。关于l“-bl.我们可以引入兵体数值加以分析：当 a=3, b=2 时.la-bl=l ;当 a=3, b=2 时.la-bl=5 :当 a=3. b=0 时.labl=3;当 a=-3t b=-2 时.la-bl=l:从上连四种情况分别在致柚上标注出来.我们不能难发?SL： la-bl对应的規点 A 与点B之问 的距离，即线段 AB的长度u【巩固】 设a、a、a、a、a为五个冇理数.a< a< a< a< a,求lxal+lx53

21、354422inal+lx- al+lx- al+lx- al的最小值 5弭2分析：当 x=a 时冇最小Ul. a+ a- a- a 53241【例 14方丈 a<b<c<d, 求y=lxal+lxbl+lxYl+lxdllt小血.并求出此时x的取lit分析：根摒几何您义©以阿到.当1）<只<（:时.y冇垠小值为c+dab 附加习题【例 1】 若lal=l» lbl=2t lcl=3t 且 a>b>c.那么 a+b-c=分析：根摒题您可阿：a=± lt b=-2t c=3.那么a+b-=022那么 ab=巳如（a+b）+l

22、b+5l=b+5.且l2abll=02【例】2分析：因为（a+b）+lb+5l=b+5.我们可以如道b+5>0t所以脈式可以农示为：22.进而2bl=0.又 因xdl2a-b-ll=0t 进而=O（a+b）+b+5=b+5, （a+b）t a=-blllt> a=b=-, ab=-2a-b-l=0,3a=l 339 对于lm-llt下列结论正确的是（3【例】）A.lmll>lml B.lm-lKlml C. Im-ll>lml-l D. Im-ll<lml-l分析：我们可以分矣讨论.但那样对于做选择题都过于麻烦了° 我们可以用村殊血法代 入检验，对于谑对

23、血的题，口我们一般需要於入正数、负，数、0,3种数帮助找到准确苔杲。易诲答 猱为Co实用文档【例 4】 设 g bt c 为实数.且lal+a=0t labl=ab, lcl-c=0t 化简lbl-la+bl-lc-bl+la-cl 分析：lal+a=0. Ial=-at a<0; labl=ab, ab>0; lclc=0. Icl=ct c>0。所以©以诲到a<0t b<0t c>0;Ibl-la+bl-lc-bl+la-cl=-b+ (a+b)(c-b)(a-c) =b【例5】 化简：収-ll-21+lx+ll分析：先找寺点。x-l=Ot x

24、=l, lx-ll-2=Ot lx-11=2, x-l=25l x-l=-2t 可得 x=3 或古 x=l; x+l=Ot x=l；妬上所阿零点冇1“ -1,3, 依次零点可以将致柚分成几段。(1) x>3. x-l>Ot lxll2>0. x+1 >0. Ilx-1 l-2l+lx+1 l=2x-2:(2) Kx<3t x-l>0, lx-ll-2<0t x+l>0t Ilx-ll-2l+lx+11=4;(3) -Kx<lt x-l<0, lx-ll-2<0t x+l>0. Ilx-1 l-2l+lx+ll=2x+2;(

25、4) x<-l,x-I<0Jx-ll-2<0,x+1 <0. Ilx-ll-2l+lx+1 l=-2x-2|a|b|c|abc|?lt求【例6】 已如冇理数“的血.b. c濒足abccab|cb|a|a|l?1中必.ct则.若a.冇 分析：对于任您的樂数出b cbaa|abc| =1妃两正一负.则abc<0t abc【例7J若山b. c. d为互不相夺的冇理敛且la-cl=lb-cl=ld-bl=l t求ladl分析：从la-cl=lbcl我们可以知道.c到a. b的距禽都規1.且三古不相夺.那么在致柚上就冇： cb a(a)(b)d为互不相夺的冇理数.则冇：，c, b因为ld-bl=l, 且a, I1【 A dcba(a)(b)la-dl=3 显然易阿 练习三7l+l2p-ll=0.求p+2m+3n的值 1 Jm+3 l+ln-_277. m=-3. t n-m+3=0l+l2p-ll=0Jm+3 分析：绝对值为非负数.屮1 卜所以.=02pl=0RP得一 22实用文档7117, p=n=t 所以 p+2m+3n=-6+3 x =5 2222 的值为多少？ xy>0.则 x+y)巳如 1x1=2, lyl=3 且 2、(Il4x-5I=8 )解方程： (2, ±3J x=±2y=分析：(1