222降次——解一元二次方程辅导资料(含答案).

1、22.2降次解一元二次方程编读互动本章内容 一元二次方程”是课程标准 数与代数”的重要内容，解一元二次方程的 算法是一元二次方程一章的重点内容，也是方程中重点内容， 是学习二次函数等内容的 基础， 本节的主要内容是一元二次方程的解法。这部分知识是对一次方程（组）知识学习 的延续和深化，是后续内容学习的基础和工具。主要学习下列三个内容：1. 配方法配方法是继探索一元二次方程近似解的基础上研究的一种求精确解的方法它是一元二次方程的解法的通法.因为用配方法解一元二次方程比较麻烦， 一个一元二次方程需配一 次方，所以在实际解一元二次方程时，一般不用配方法.但是，配方法是导出求根公式的关键，且在以后的学

2、习中，会常常用到配方法因此，要理解配方法，并会用配方法解一元二 次方程.根据教材的特点主要设置了直接开平方法解一元二次方程和二次项系数是1的一元二次方程的解法.直接开平方法解一元二次方程比较简单， 主要设置了【典例引路】中的例1、 例2.【当堂检测】中的第 1、2题，【课时作业】中的第 1, 2, 11题配方及二次项系数是 1 的一元二次方程的解法为本节的难点，为此设置了【拓展应用】中的例2,【当堂检测】中的第3, 5题，【课时作业】中的第4,5, 6,7,8,9,10,12题，【选做题】中的第 1 , 2题，【备选题目】中的第 1, 2题。2. 公式法此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程

3、的基础，为此设计【典例引路】的例3、当堂检测的第1、2、4题，课时作业的第1 5题。3. 因式分解法利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计【典例引路】的例 4,当堂检测的第3题，选做题和备选题目的问题。4. 整体思想和数感整体思想是数与代数中常用的数学思想，为此设计拓展应用的例1 ,课标虽不要求解含字母系数的方程，为提高数感，为此设计备选题目的问题。知识点击点击一：利用直接开平方法解一元二次方程用此法可解形如X2 =c、(ax b)2 =c(c_O)或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于些特殊的方程。针对练习

4、1:方程(x 5) 2= 6的解是A. 5+ . 6 ,5+、6B. 5+、6, 5+ .6C. 5+ ,6 6,5 ,6D. 5+， 5 v 6【解析】方程两边开平方，得x 5=6 , x =5± 6 .【答案】5. 6 6,5 、一 6点击二：利用配方法解一元二次方程配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。任何一个形如 x2 - bx的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个 二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。针对练习 2:解

5、下列方程：(1) x2 12x+5=0;(2)X2 2x 8=0;答案：移项，得x2 12x= 5,配方，得 x2 12x+36= 5+36,(x 6)2=31 ,解这个方程，得x 6=± . 31 .即 xi =6+ . 31 ,X2=6 一 31 .(2) 移项，得 x2 2x=8,x2 2x+ 仁9,配方，得(x 1)2=9.解这个方程，得x仁±3,即 X1=4,X2= 2.点击三：利用公式法解一元二次方程我们可以通过配方法推导出求一元二次方程ax2亠bx亠c = 0(a = 0)的解的公式x二b - b4ac(b2 -4ac- 0)，称为求根公式。用公式的一般步骤：

6、(1 )把方程化2a2 2成一般式；(2)求出b 4ac的值，若b 4ac >0,将a、b、c的值代入求根公式，求出方程的根；若b2 4ac v0，则原方程没有实数根。针对练习3:用公式法解方程.(1) 5x+2=2x 2；(2)3+4t 2=0.2【解析】先整理成一般式，特别要注意各系数的符号【解答】(1) / a=2,b= 5,c= 2, b2 4ac=25+16=41>0.x=5 _ . 415 -415- 41- X1=,X2=4443(2) / a= ,b=4,c= 2,2 b2 4ac=16+12=28>0. t=.* -4+274+2“t1= ,t2=.3 3点

7、击四：利用因式分解法解一元二次方程当把一元二次方程的一边化为0,而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。如使方程x (x 3)=0的条件是x=0或x 3=0, x的两个值都可以使方程成立，所以方程x (x 3) =0有两个根。针对练习 4:用分解因式法解方程：(1) 3(x-2) =5x(x-2) ； (2) 2(t -1)2 t =1；( 3) (3x-1)2 - 4(2x 3)2 = 0 .3答案：(1) X1 = 2, X2 ：51(2)匕二1,七2 ：25=(3) x1 - - 7, X2-7 .典例引路类型之一

8、：直接开平方法例1.方程(X 2) 2=9的解是【解析】本题利用直接开平方法，把(x 2)看成是一个整体。【解答】Xf =5,X2 = -1类型之二：配方法例2用配方法解下列一元二次方程：2 2(1) x+12x=9 964 ;(2) 9x - 12x=1【解析】本题要求用配方法解一元二次方程，因此方程的左边应先化成(ax+b)2?的形式.对于第(1)小题，配方较为容易，只需两边都加上36即可对于第(2)小题，联想公式(a+b) 2=a2+2ab+b2,应在方程两边都加上 4，才能把左边的式子化成(ax+b) ?的形 式.【解答】(1) x2+i2x=9 964 .2两边都加上 36,得 x

9、+12x+36=9 964+36 .2即(x+6) =10 000 . x+6=100 ,或 x+6= 100 .解得 X1=94 , X2= 106.2(2) 9x 12x=1 .两边都加上 4,得 9x2 12x+4=1+4，即(3x 2) 2=5. 3x 2= 、5, 或 3x 2= . 5 .” 口2 + 752-45解得 X1=, x2=33类型之三：公式法例3解下列方程：2 2(1) 2x + x 6 = 0;(2) X + 4x = 2;22(3) 5 x 4x 12= 0; (4) 4 X + 4x+ 10 = 1 8x .【解析】把一元二次方程化成一般形式，然后计算b2 4a

10、c的值，当b2 4ac>0时，.b 、b2 - 4ac把各项系数a, b, c的值代入求根公式 x=(b2 4ac>0就可得到方程的根.2a【解答】(1)这里a= 2, b = 1, c= 6,2 2b 4ac= 1 4 >2 X ( 6)= 1 + 48 = 49,b 二 ' b? 一 4ac -仁、49 -仁 7 所以x =2a2*243即 - -2, x?2(2)将方程化为一般式，得x2 + 4x - 2= 0.2因为 b 4ac= 24,所以 x =24 = _2 _ 6 .2即捲=一26, x2 = -2 - 6 .(3) 因为 b2 4ac= 256,所以

11、x2 810得 x1 =-6,X2 =25(4)整理，得4x2+ 12x + 9= 0.因为b24ac= 0,所以一12 _0-6 -# -类型之四：因式分解法例4:解方程2 23.x 2x+1=44.x =4x2 2 21. x 25=02.(x+1) =(2x 1)【解答】1解：(x+5)(x 5)=0/ x+5=0 或 x 5=0二 X1=5,X2= 52. 解：(x+1)2 (2x 1)2=0(x+1+2x 1)(x+1 2x+1)=0 3x=0 或x+2=0 , X1=0,X2=23. 解：x2 2x 3=0(x 3)(x+1)=0 x 3=0 或 x+ 仁0 ,二 x<i=3

12、,X2= 14. 解：x2 4x=0x(x 4)=0 x=0 或 x 4=0,二 Xi=0,X2=4类型之五：综合应用例5.阅读理解.例如：因为 x2 5xx2 (2 3)x 2 3,所以 x2 5x 6 =(x 2)(x 3).所以方程x2 5x 0用分解因式法解得 x = -3, x2 = -2 .2 2又如：x -5x 6 二 x -2 (-3)x (-2) (-3).所以 x2 -5x 6 = (x-2)(x-3) 所以方程x2 -5x 6 =0用分解因式法解得 x2, x2 =3一般地，x2 (a b)x ab = (x a)(x b).所以 x2 (a b)x a 0，即(x a)

13、(x b 0 的解为= -a, x2 = -b .请依照上述方法，用分解因式法解下列方程：(1) x2 8x 7 =0 ； (2) x2 -11x 28=0 .【解答】(1) % -1,x2-7；(2)X!=4,X2= 7 .基础练习1. 解下列方程：2 2 2 2(1) x2 25=0;(2)16x2一 49=0; (3)(x 一 5)2 36=0;(4)4(6x 一 1)2=3【解析】(1)利用开平方法可解形如 x2=a(a的方程.(2)如果把x 一 5看作一个字母 y,就变成解方程y2=36 了.也就是说，如果一个一元二次方程的一边是一个含有未知数的式子 的平方，另一边是一个非负的常数，

14、那么这个一元二次方程就可以用开平方法来解，即形如(x-a)2=b(b 的一元二次方程都可以用开平方法来解.【解答】(1)移项，得x2=25./ x 是 25 的平方根， x=± 25，即 x=±5。二 Xi=5,X2= 5.2 2 49(2) 移项，得 16x =49,x =.1677Xi= ,X2=.4 42(3) 移项，得(x 一 5) =36,即卩 X 一 5=6 或 X 一 5=一 6,- Xi = 11, X2= 1.2 36方程两边都除以4，得(6x 一 1)2=46x 1= ±3,6x 仁3 或 6x 仁3,6x=4 或 6x= 2,21X1= ,X

15、2= 3 32. 用配方法解下列方程：2 2(1) x -6x-7=0 ； (2) X 3x1=0 .【解析】配方法是以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法即把一元二次方程的常数项移到方程的右边，把左边配成一个完全平方式，此时，如果右边是一个非负数，就可以通过直接开平方法求出方程的解来.【解答】(1)移项，得x2 -6x =7 .方程左边配方，得223X -2 X 33 =73,即(x-3)16 .所以X 3=也.得xi = 7, x2 - -1.(2) 移项，得 x2 3 - -1.方程左边配方，得233 23 2X 2 X ()1(),2 2 2 即(x - )2= 5 .24所以

16、x -.2 23 ,53 ,5"得 Xi, X?= x.2 22 2【点评】配方法本身是一种方法，它是公式法的基础，是一种基本的代数方法它以 配方为手段，而以直接开平方法为基础，适用于任何特点的一元二次方程，但过程较繁；23. 已知方程3x+4x=0,下列说法正确的是（）4A. 只有一个根x=3B. 只有一个根x=04C.有两个根，X1=O,X2=34D.有两个根,xi=0,X2=3【解析】C/ b2 4ac=42 4X3X0=16, / x=一4 _44,X1=0,X2=.634.用分解因式法解下列一元二次方程：2 2(1) (x 1)(x+3)=12;(2)(3x 1) =4(2

17、x+3).【解析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再分解因式; 移到左边，再用平方差公式分解因式【解析】(1)x2+3x x 3 12=0,x 2+2x 15=0,(x 3)(x+5)=0,x 3=0 或 x+5=0.二 X1=3,X2= 5.(2) (3x 1)2 2(2x+3): 2=0,:3x 1+2(2x+3) : : 3x 1 2(2x+3): =0,（2）先将方程右边的代数式(3x 1+4x+6)(3x 1 4x 6)=0,(7x+5)( x 7)=0,7x+5=0 或x 7=0,5x1= _ ,X2 = 7.-10 -# -1. 一元二次方程X2 9=0的根为（）A. x=3

18、B. x= 3D. xi=0,X2=3C. Xi =3,X2= 3【解析】C 可解形如x2=a(a >的方程.2. 用配方法解下列方程时，配方错误的是()222781A.x +2x 99=0 化为(x+1) =100B.2x 7x 4=0 化为(x)=-4162 2 2 2 10 C.x +8x+9=0 化为(x+4) =25D.3x 4x 2=0 化为(x )=-39【解析】C检验的办法是把配方后的结果展开对照.23.解方程 x -4x - 3 = 0 .【解答】移项，得x2 -4x =3 ,配方，得 x2 -4x (-2)2 =3 (-2)2 , (x-2)2 =7 .解这个方程，得

19、x-2=7.即为=2 x2 =2 -.4. 用公式法解方程.2(1)5x+2=2x ；3 2 t +4t 2=0.2【解析】先整理成一般式，特别要注意各系数的符号.【解答】(1) / a=2,b= 5,c= 2, b2 4ac=25+16=41>0._ 5 _、415、415 -、41x=. . X1=,X2=4 443/ a= ,b=4,c= 2,2 b2 4ac=16+12=28>0. t=巳 283丄_4+2爸4+2万t1=,t2=.335. 已知一元二次方程X2 2x+仁0的两个根为X1, X2,则X1+ X2+ X1 X2的值是A.3B.2C. 3D. 2【解析】由根与系

20、数的关系，得：X1+ X2=2 , X1 X2=1。 X1 + X2+ X1 X2=2 +仁3。【答案】3-12 -6. 解方程 x2 12x = 2008.【解析】此题常数项绝对值较大，因数较多，采用因式分解法、公式法都不简便，应 考虑配方法.原方程变为：x2 12x + 36= 2044,即(X 6) 2= 2044,两边开方，得x 6 = 土 2044 ,X 1 = 6+ 2.511 , x 2 = 6 2.511.【评注】当方程含未知数的项与完全平方式相近并且常数项又较大时，常采用配方法 解这个方程.7. 方程 2x(x 3)=5(x 3)的根是()5A.x=B.x=325 2C.X1

21、=,X2=3D.x=25【解析】C 2x(x 3)=5(x 3), 2x(x 3) 5(x 3)=0 , (x 3)(2x 5)=0,x 3=0 或 2x55=0，X1 =3,X2=28. 阅读材料：为解方程(x2 1)2 5(x2 1) + 4 = 0,我们可以将x2 1看作一个整体， 然后设x2 1 = y，那么原方程可化为 y2 5y + 4= 0，解得y1 = 1, y2= 4.当y= 1时，x2 1 = 1，二 x2= 2，二 x= ± 2 ；当 y= 4 时，X2 1 = 4，二 x2= 5,二 x= ± 5，故原方程的 解为 X1 = -.j2 , X? =

22、- . 2 , X3 = >_'5 , X4 = -. 5 .解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用 法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；请利用以上知识解方程 X4 X2 6= 0 .【解析】易知上述解一元二次方程用的是换元法，换元的目的是将原方程变形为较简单易解的方程，解出换元后的未知数还应代入所换元的关系式，求出原方程的解。本题通过换元，达到了降次的目的。【解答】换元法设x2= y，那么原方程可化为 y2 y 6 = 0解得 y1 = 3, y2= 2当 y= 3 时，x2= 3当y= 2时，x2=- 2不符合题意，舍去原方程的解为：Xi= J

23、3 , X2= _ 3【评注】此题是阅读理解题， 这是近几年中考题中新出现的数学考题类型本题在考查元二次方程解法的同时，还考查了换元法备选题目1. 已知x2+8x+k2是完全平方式，则k的值是()A.4B. 4C. ±D.16【解析】C形如“a±2ab+b2"的为完全平方式，所以k2=42,满足题意的k为2. 设 a、b、c 都是实数，且满足(2 a)2+a2 b c+|c+8|=0, ax2+bx+c=0，求代数式 x2+x+1 的值.【解析】先求出a、b、c的值，然后即可解方程，最后求代数式的值.【解答】由题意，得2 -a =0,a =2,a2 b c =0,

24、解得 b = 4,|c 亠8 = 0.c = -8.2 2-ax +bx+c=0,. 2x +4x 8=0,即 x2+2x 4=0,解得 xi= 1+ i 5 ,X2= 1 . 5 .当 x= 1+ .、5 时，x2+x+ 仁6 、5 ,当 x= 1 ,5 时，x2+x+1=6+、5 .【评注】本题综合考查了完全平方式、算术根、绝对值的非负性，一元二次方程的解法及求代数式的值的问题，解题时应注意正确地运用各知识点之间的互动关系3. 某中学有一块长为 a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修建宽都是2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪。(1) 如图，请分别写出每条道路的面积(

25、用含 a或含b的代数式表示)(2) 已知a:b=2:1,并且四块草坪的面积之和为312米2 ,试求原来矩形场地的长和宽各为多少米？a【解析】虽然表示出两条道路的面积为2a米2和2b米2，但由于两条道路有重合的部分，草坪的面积是矩形场地的面积减去两条道路的总面积(2x+4x - 4)米2【解答】(1)这两条道路的面积分别为2a米2和2b米-16 -# -(2 )设b=x米，贝U a=2x米，由题意可得x?2x (2x+4x 4)=312即 x2 3x 154=0(x - |)2=625242523 253所以x=或x =2 22整理得：xi=14 ,X2= 11(舍负根)所以 b=14,a=28

26、即矩形的长为28米，宽为14米。4 2 24. 解方程：x 6x +8=0(提示：设x =y).【解析】本题运用了换元法，将原方程降次，在解方程时遇到高次方程，常用换元法 解，换元法是数学中常用的一种思想方法.【解答】设x2=y，则原方程化为y2 6y+8=0，解得y1=2,y2=4.当 y=2 时，x2=2, X1= 2 ,X2= i 2 ;当 y=4 时，x2=4, X3=2,X4= 2.课时作业:A等级21 一元二次方程(2x -1) =9的根是2 一元二次方程(x，1)(x-2) =0的根是23.方程2x - 3x T =0的根是24 .方程x =2x -1的根为25 方程x -2x-

27、8=0的根为2 26. x -3x+=（x-）.7. 写出一个符合条件的一元二方程 ,使它的一个根为0 ,另一个根在-3与-1之间.2328.已知x x -0，贝U x x -x 3的根为9.若 x2 3x 1 =0，则 x 1 -x10已知三角形的两边长分别是第三边的长是方程 2x2 -5x 3 = 0的根，则三角形的周长为B等级11.方程x2 =0的根的个数是-18 -# -D 以上答案都不对12.方程(x 3)(x -2) =0 的根是(-# -# -=3,13 .方程x2 = x 1的根是（）C.214.把方程x8x 0的配方后，得（2 2A. (x 4)-7 B . (x 4)-25

28、C.2(x 4) - -92D. (x 8)= 74 215 .已知x=3是关于x的方程一x -2a 0的一个解，则2a的值是（）3A . 11B . 12 C . 13 D . 1416 .如果关于X的一元二次方程X2px0的两根分别为X1=3 ,X2=1，那么这个一元二次方程是（）22A. x3x 4=0B. x-4x 3 = 022C. x4x-3=0D. x 3x-4=017. 党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值以2020年比2000年翻两番.在本世纪的头二十年(2001年2020年)，要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增

29、长率都是x，那么x满足的方程为( )A. (1 X)2 =2B. (1 X)2 =4C. 1 2x =2D. (1 x) 2(1 xH 4三、用心做一做，马到成功18. 用指定的方法解下列方程(1) 2(3x 2)2 =8 ；(直接开平方法)(2) x -6x 3 =0 ;(配方法)(3) 2x(x 41 .(公式法)19. 用适当的方法解下列方程.(1) (3x -2)2 -(2x-3)2 =0 ；(2) x2 -2、5x 2 =0；2(3) x -8x =84 .20. 请尽可能多地找出下列两个方程的相同点和不同点.2 2(1) x 2x-3 =0 ； (2) x 2x 3 = 0 .C等

30、级21. 一元二次方程x2 -2x -2 =0用配方法化成(x a)2二b的形式为则此方程的根为.22. 若方程4x2 -(m -2)x 1 = 0的左边是一个完全平方式，则m的值是23. 若关于x的一元二次方程 x2 mx - n = 0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m, n的实数值可以是 m =, n =.224.三角形的两边长分别为3cm和6cm，第三边是方程 x - 6x 8 = 0的解，则这个三角形的周长是.225.已知方程(x-a)(x-3)=0和方程x 2x-3=0的解相同，贝U a二26. 用配方法解下列方程：2(1) x2 6x -10 ；(2) 2x 6 =7x .2

31、7. 用因式分解法解下列方程:(1) (x-3)2 =3-x ；(2) 3x(x -2)2(x -2) = 0.28. 用公式法解下列方程:(1) x2 2x-1 =0 ；2(2) 16x 8x=3 .29. 观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题:方程2x 7x 6 = 0,为=1 , x22=6，而 x -7x 6 = (x-1)(x-6)；方程2x 4x-5=0 , x|=5, x2二 -1，而 x24x5 二(x_5)(x 1);方程24x -12x 9=0,x 二3，而 4x212x 9=4 x 3 x3 ;2 2 2方程3x2 7x 4 =0,x2=-1，而 3x2+7x + 4

32、= 3 x + 4 (x+1);I 3丿(1) 探究规律：当方程 ax2 bx c = 0(" 0)时，(2) 解决问题：根据上述材料将下列多项式分解： x2 _ x _ 2 ；2 2x 3x2 .(3) 拓广应用：已知，如图，现有 11 , a a的正方形纸片和1 a的矩形纸片各若 干块，试选用这些纸片(每种纸片至少用一次)在下面的虚线方框中拼成一个矩形(每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹)，使拼出的矩形面积为22a 5a 2，并标出此矩形的长和宽.30. 观察下列方程： 2x2-27x 91=0 ; 2x2 -23x 66 =0 ; 2x2-19x 45=0 ;