2021年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断检测数学试卷及答案

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断检测数学数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴为条形码的 “准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2 .回答选择题时，选出每小即答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5皂米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作 答.若在试题卷上作答，答案无效。3 .考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共

2、40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。c. jnCRB=0C. 10 + 5iD. /1UCr8 = RD. 10-5i1 .己知集合集= x|-2vxW2, 8 = x|-K,则A. ACB = AB.2 .复数 z 满足 N（2-i）=|3 + 4i|,则£ =A. 2 + iB. 2 i3 .已知命题p:小>0, -x A.- +x>0,则命题p的否定为A. Hr WO, -x2 + x >0B.-C. Vx>0, -x2 + x>0D. Vx>0, -x? + x这04 .已知公差不为0的等差数列q中，2+。4=即，则

3、40 =A. -B. 5C. 10D. 4025 .已知函数/(x)="一""一"在R上单调递增，则实数Q的取值范围是 log°x, xl.A. (0, 1)B. (1, 2C. 2, 4)D. (1, 4)6 .已知一组数据L 2, a, b, 5, 8的平均数和中位数均为4,其中a, AwN、在去掉其中的一个最大数后，该组数据的7.A.平均数不变B.中位数不变C.众数不变D.标准差不变己知实数a, b, c成等差数列,则点尸(2, -1)到省线ar +勿+ c = 0的最大距高是A V22B.D. 28.b2= l(a>0, />

4、;>0)的左焦点为尸，直线y =区与双曲线。交于4 B两点(其中点第二次联合诊断检测(数学)第3页 共4页n V2B.3乂位于第一象限)，4iFB = 9。，且A/XB的面积为aat则直线/尸的斜率为2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。9.已知函数/(x) = sin(2x + 2),则下列说法正确的是A.函数/(x)的最小正周期为九B.函数/(x)的图象关于直线x = 2对称 24C.函数/*)的图象关于点(-g, 0)对称D.函数/(x)在(0,二)上单调递增4。为AP48所

5、在平面内点，若"。是边长10 .函数/(幻=。射111工(麦为常数)的图象可能是11 .已知AP48中，AB = 2, PA = PB.。是边力8的中点,为2的等边三角形，则彳户60的值可的是A. 3 +百B. 1 + V3C.D. 1-7312 .已知函数/(x)=/ + a + at + l (a = 0),则A.存在。使得/(x)恰有三个单调区间B./(x)有最小值C.存在。使得/(x)有小于0的极值点D.当内 <0<且$ +毛 >0时，/(X)v Jx2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .若平面向量。=(1, 一2), |/|=3,则|

6、。一切的最小值为.14 .已知某信号传送网络由信号源甲和三个基站乙、丙、丁共同构成，每次信号源甲等可能地向三个基站中的一 个发送信号，乙基站接收到的每条信号等可能地传送给丙基站和丁基站中的一个,丙基站接收到的每条信号 只会传送给基站，基站只接收信号.对于信号源甲发出的一条信号，丙基站能接收到的概率为.15 .已知多项式(l + x) + (l + x)2 + + (l + x)”+ + «/"，若q+% + + 4, =57 ,则正整数的值为.16 .已知球。的半径为巫,以球心。为中心的正四面体的各条极均在球O的外部，若球。的球面被的 2四个面截得的曲线的长度之和为8冗，则

7、正四面体的体积为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 . （10 分）在&中，角4 B,。对应的边分别为5 6, c,若4工色，且.2（1）求Q的值：（2）若力=&，求A48C周长的最大值.3®3acosB + 3bcos A = ac ；34cos8 + a6cos/i =3c ；6cosC+ccos8 = 3这三个条件中选一个补 充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18 . （12 分）已知数列q的前项和为S”，且6, 2s力，4成等差数列.（1）求 为 ;（2）是否存在m wN,使得

8、q/+ 与%+ 04.1 >64对任意 £ N成立？若存在，求机的所有取值: 否则，请说明理由.19 . （12 分）如图，在三棱柱/8C-44G中，BC = BB, BCyrByC = O.彳。，平面84。.（1）求证：AB工；（2）若/48C = 60'，直线44与平面B8CC所成角为30, 求二面角4 - 8£- A的余弦值.20 . （12 分）到2020年年底，经过全党全国各族人民共同努力，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困 县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.在接下来 的

9、5年过渡期，为巩固脱贫成果，将继续实行“四个不摘”，某市工作小组在2021年继续为己脱贫群众的生产 生活进行帮扶，工作小组经过多方考察，引进了 种新的经济农作物，并指导一批农户于2021年初开始种植.已 知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，由于天气、市场经济等因素的影响, 近几年该经济农作物的亩产量与每千克售价具有随机性，且互不膨响，其具体情况如下表：该经济农作物市场价格（元/kg）1015该经济农作物每年亩产量（kg）400600概率0.40.6概率0.250.75（1）设2021年当地某农户种植一亩该经济农作物的纯收入为矛元，求X的分布列:（2）已知当地某

10、农户在2021年初种植了 3亩该经济农作物，假设各亩地的产量相互独立，求该农户在2021 年通过种植该经济农作物所获得的纯收入超过12000元的概率.（注：纯收入=种植收入-种植成本）21 . （12 分）己知椭圆C：W + W = 1的右焦点厂恰为抛物线E：V=4x的焦点，P（x0,友）是椭圆C与b3抛物线E的一个公共点.（1）求椭圆。的方程；（2）过点/且不与k轴平行的直线/交椭圆C干X、8两点,线段的中垂线分别交x、y轴于A/、N 两点，求色生;的取值范围.MN22 . （12 分）已知函数 /（x） = e'" + ax2 + 2ax （a e R）.<1）若/

11、（x）在（-1, +8）上单调递增，求a的取值范围；（2）若/（x）存在两个极值点与 （玉<），旦一内卜2,求a的取值范围.第二次联合诊断检测（数学）第4页 共4页2021年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断检测 数学参考答案一、选择题1-4 DBDA二、选择题5 8CCCA9. AB 三、填空题13. 3 布10. ABC IL BD 12. BC114- 215. 516. 182四、解答题17. （10 分）解：（1）若选，则山正弦定理得3 sin A cos 8 + 3 sin 5 cos N =。sin C = 3 sin(J + B) =。sin C =>3

12、 sin C = asinC => a = 3 i5分若选，则山正弦定理得3 sin Acos B + asin B cos A = 3 sin C => a sin B cos 4 = 3sin(月+ 8)-3sin A cos B=> a sin B cos A = 3 cos sin = 3 ： 5分若选，则由正弦定理得sin B cos C+sin C cos 8 = sin 力？ = sin(8 + C) = = 3 ；aa5分?TT1(2)若月=2,则由余弦定理得公十/-9 二 2儿(一；)，即3 + c)2-9 = 6c,7分又(土与,故S + c)2_9W(

13、+。二,即 + cW2石，当且仅当 = C = 6时取等，24，。+6 +。的最大值为3 + 2410分18. （12 分）解：（1）由题知4s+ 6,故4s = +6 ,（ 2 2）,两式相减得4 =a -a 1，=-a （ 2 2）,n n一i一i、zn n /i-in刀一i 、当 =1时，4sl =4+6, .%=2,故“是以2为首项，一，为公比的等比数列，/. = 2.（-V：6 分（2）凡。,田二4（一广,.题中不等式等价于4（_,十（_ J，十.十（- i）2w-'>12.（-：广,-1.（1 - J-）9分m = 2成立,即一户一3-（-1r，即和一 J）（一；尸对

14、取£n*成立,191113V1一一1且 一y时11,，（ 尸一2，显然切为偶数,9"938当?24时（一；）第一2故7=212 分19. （12 分）解：（1）由题知8CG为菱形，片CJL8G，又力。1平面8G。，.4018。,.4。_1平面2。3,4。，/3；.5分(2);44/8,.,/8与平面84。所成角为30°, 乂/1O上平面8B】CC, ,/49 = 30”,设 40 = 1,则 5。=",又菱形 54GC 中 N80C = 6O°,7分yB以。为原点，两，0Cea分别为务y, z釉的正方向建立空间苴角坐标系,则4 (L 0, 0)

15、, G(0, 73, 0), 40, 0, 1), 8(0, -4，0),由刀函知4（1, 8 1）,故彳=（o, -", 1）,瓯=（一1,也,0）, q4=（b o, 1）,-&y + z = 0设平面ABC的法向量为2 = 3 y, z）,则-X4- >/3y = 0 r 令y = 1 得z = (6 L 后)，9分 同理可得平面44G的一个法向量3 = （、瓦1, -73）,11分- -111故cosv/，=一，所以二面角4-4G-1的余弦值为一12分万."7720. （12 分）解：（1）由题知一亩地的种植收入可能为4000, 6000, 9000,

16、故X的所有可能取值为3000, 5000, 8000 P（X = 3000） = 0.4x 0.25 = 0.1, P（X = 5000） = 0.4x0.75 + 0.6x0.25 = 0.45 ,P（X =8000） = Q6xO.75 = 0.45, X的分布列为： 一工照一6分P | 0.1| 0.45 | 0.45（2）纯收入超过12000元，即3亩地种植收入超过15000元，若价格为10元7kg,则3亩地的总产量超过1500kg, 400x2+600<1500, 400+2x600 > 1500.符合条件的概率为(Cj x0.75? x 0.25 + (JIS?)x0.

17、4 = 0.3375.若价格为15元/kg,则3亩地的总产量超过1000kg, 3x400>1000,尸（纯收入超过12000元） = 0.6+ 0.3375 = 0.937512分21. （12 分）95.5解：（1）由点尸在抛物线e上知，/二一，则p到抛物线准线的距高为L设椭圆左焦点为耳，则I r , K 7S 7历=J（2>+（工）2 =, .2 =。一 = 4, 1 = 2,又 c = l,椭圆 C 的方程为133333£ +91;4分43（2）设直线/的方程为x = /+ 1,与椭圆C的方程联立得（3/+4）_/46少一9 = 0,一6,一9设力（占，州），伙&

18、quot;尢），则为+% 二 , 丁丁凹 ， 7，6分3厂 +43厂 +4由/44_LMN知上变=四二回，| . 一必|=）（匕+ 尸一4），跖=I2也廿L8分MN |x.v-0|1 -2，23/+4设44中点坐标为（x , y ），则y =!.+"-=-也一，x = niy + 1 = - 。“。23/+4003/+43加41故/心中垂线方程为歹+、=一次行；一）,令y = 0得一，1。分3"+43“+ 43”+4丹"L = 12/J+1 w12, +8）12分MN22. （12 分）解：（1）由超知/'（幻=。川+ 2久+ 2>0在（-1, +8）上恒成立， 2分即2aN在（-1,+8）上恒成立，令世幻=,%>-1,x+1x+le 丫则（） =-,力（外在（-L 0）上单增,在（0, +8）上单减