第七节平面曲线的曲率ppt课件

1、第七节第七节 平面曲线的曲率平面曲线的曲率运动在某点运动在某点 处的情形处的情形. . 一、曲率圆一、曲率圆1 1、实践问题：、实践问题：一质点作曲线运动，一质点作曲线运动，可用圆周曲线来替代这点可用圆周曲线来替代这点L，这样就可这样就可问题：什么样的圆周曲线在点问题：什么样的圆周曲线在点 更接近曲线？更接近曲线？MDMxyo)(,(00 xfxM调查调查部分情形时，部分情形时，附近的曲线附近的曲线以用圆周运动的知识来析以用圆周运动的知识来析这点处的曲线运动这点处的曲线运动.)(xfy L讲解方法一：讲解方法一：0 x2 2、试求一个圆周曲线、试求一个圆周曲线 ：C(1)222)()( yx

2、使之满足 过点 ： )(,(00 xfxMC(2)22020)()( yx 与 在点 有一样斜率：CLM)(000 xfyyyxx (3) 与 在点 有一样凹性：CLM(1)(1)式两边对式两边对 求二阶导：求二阶导： x0)(2)(2 yyx 0)(2)(222 yyy 0)(000 xfyyyxx(4)(4)(3)(3)和和(4)(4)式代入上面两式有：式代入上面两式有： 从从(6)(6)式解出式解出: :再代入再代入(5)(5)式解出：式解出：(5)0)()()(000 xfxfax (6)0)()()(10020 xfxfxf )()(1)(0200 xfxfxf )()(1)(000

3、0 xfxfxfx 代入代入(2)(2)式解出：式解出： 3 3、定义：、定义：曲线曲线 即即 上点上点 处在其凹处在其凹L)(xfy )(,(00 xfxM为半径的圆为为半径的圆为 在点在点 的曲率圆的曲率圆. LM)()(102302xfxfMD ),( D向一侧的法线上取一点向一侧的法线上取一点 为圆心，以为圆心，以 )()(1 02320 xfxf . .为曲率半径为曲率半径. .1 1曲率就是曲线在某点处的弯曲程度曲率就是曲线在某点处的弯曲程度. .如路如路二、曲率二、曲率2. 2. 定义：定义：弯度大，车子离心率越大；梁普通在弯的最厉害弯度大，车子离心率越大；梁普通在弯的最厉害的地

4、方断裂；的地方断裂；圆的半径越小弯的越厉害，于圆的半径越小弯的越厉害，于是是23020)(1)(1xfxfk 为曲线为曲线 在点在点 处曲率处曲率. . )(xfy )(,(00 xfx解：解：例例1 1 直线的曲率恒为零直线的曲率恒为零. .解：解： 直线直线 ，因，因 ，故各点处曲，故各点处曲baxy 0 y率为零，所以直线不弯率为零，所以直线不弯. .例例2 2 抛物线抛物线 上哪点曲率最大？上哪点曲率最大？ cbxaxy 2由于由于 ， ，故，故 ,baxy 2ay2 232)2(1 2baxak abx2 当当 ，即，即 时，时， 取最大值取最大值 ,02 baxka2处曲率最大处曲率最大 . .故抛物线故抛物线 在在 顶点顶点cbxaxy 2)44,2(2abacab 砂轮半径砂轮半径 抛物抛物解：解：率最大，率最大，线上各点处曲率半径线上各点处曲率半径的最小者，的最小者，坏工件内外表，坏工件内外表，知抛物线在顶点处曲知抛物线在顶点处曲才不会破才不会破由例由例2 2曲率半径最小曲率半径最小. .削其内外表，半径多大适宜？削其内外表，半径多大适宜？xy8 . 0 8 . 0 y，8 . 0)01(8 . 0)0 , 0(23 k，所以砂轮半径不能大于所以砂轮半径不能大于1.2