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文档简介

1、第七节 拉普拉斯定理、行列式的乘法一、拉普照拉斯定理一、拉普照拉斯定理定义1 在n阶行列式D= 中任取K行、K列，位于这些行、列相交处的元素按原来的相对次序构成的K阶行列式S称为D的一个K阶子式；在D中去掉S所在的行与列，剩下的元素按原来的相对次序构成的n-k阶行列式M称为S的余子式；设S来自D的第 行和第 列，这里 ，我们把 称为S的代数余子式。kiii,.,21kjjj,.,21,.,.2121kkjjjiiiMAkkjjjiii).().(2121) 1(ija定理1(拉普拉斯定理) 在n阶行列式D中任取K个行(或K个列) (1Kn),由这K行(列)元素构成的K阶 子式(共有 个)与它们

2、的代数余子式 的乘积之和等于行列式D.knc即D=tASASASt.2211 为某K个行构成的K阶子式; 分别是它们的代数余子式. tsss,.,21tAAA,.,21例1 把行列式2100121001210012D按第1,2两行展开.解: 由第1,2两行可以得到 =6个2阶子式:24c. 00100, 00201, 11201, 00102, 21102, 32112654321ssssss由于0653sss所以只需求出 42, 1,sss的代数余子式. 02010) 1(, 22011) 1(, 32112) 1()32()21(4)31()21(2)21()21(1AAA于是. 5)2.

3、(23 . 3442211ASASASD二二 行列式的乘法公式行列式的乘法公式定理2 两个n阶行列式nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbDaaaaaaaaaD.,.21222211121122122221112111的乘积等于一个n阶行列式,.2122221112111nnnnnncccccccccD 其中 是 的第i行元素与 的第j列对应元素的乘积之和,即ijc1D2D).,1 (.2211njibababacnjinjijiij证明: 作2n阶行列式nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbaaaaaaaaaD.1.00.0.10.0.010.00.0.00.0.00.2122221

4、11211212222111211利用拉普拉斯定理把 按前n行展开.由于 的前n 行中除了左上角的n阶子式 之外,其他子式全为零,所以DD1D212).21().21(1) 1(DDDDDnn下面我们来证 .为此,对于I=1,2,n,将 的第n+1行的 倍,第n+2行的 倍,第2n行的 倍加到第i行,得DD D1 ia2iainannnnnnnnnnnnbbbbbbbbbcccccccccD.1.00.0.10.0.01.0.00.0.00.0.00212222111211212222111211.) 1() 1() 1(1.00.0.100.01.) 1()1(22)12(2)2.)2()1().21(DDDDDnnnnnnnnn

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