第三章微分运动和速度ppt课件

1、第第3章章 微分运动和速度微分运动和速度学习内容：学习内容：1 微分关系微分关系 2 坐标系的微分运动坐标系的微分运动 3 雅克比矩阵的相关运算及其与速度雅克比矩阵的相关运算及其与速度 之间的关系之间的关系学习重点：雅克比矩阵的计算学习重点：雅克比矩阵的计算1 微分关系的概念微分关系的概念微分运动就是指机器人的微小运动推导不同杆件微分运动就是指机器人的微小运动推导不同杆件间的速度关系，而微分关系是指微分运动与速度间的速度关系，而微分关系是指微分运动与速度之间的关系。之间的关系。2 微分关系的实际推导微分关系的实际推导下面这幅图是具有两个自在度的简单机构。其中每下面这幅图是具有两个自在度的简单机

2、构。其中每个连杆都能独立旋转，个连杆都能独立旋转， 表示第一个连杆相对于参表示第一个连杆相对于参考坐标系的旋转角度，考坐标系的旋转角度， 表示第二个连杆相对于第表示第二个连杆相对于第一个连杆的旋转角度。一个连杆的旋转角度。3.1 微分关系微分关系12让我们计算一下让我们计算一下B点的速度点的速度ABABVVV/根据物理学中的相关公式，可以得到根据物理学中的相关公式，可以得到212122121121221211)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllVVYXBB接下来让我们对接下来让我们对B点的位置方程求微分点的位置方程求微分)sin(sin)cos(cos2121121

3、211llYllXBB方程两边对方程两边对 和和 求微分，可得到求微分，可得到12212122121121221211)cos()cos(cos)sin()sin(sinddlllllldydxBB可以看到，微分方程与速度方程极为类似，只不可以看到，微分方程与速度方程极为类似，只不过二者表达的物理含义不同，假设在微分方程的过二者表达的物理含义不同，假设在微分方程的两边同时除以两边同时除以dt，那么两方程就完全一样了。，那么两方程就完全一样了。3 微分方程的构造微分方程的构造212122121121221211)cos()cos(cos)sin()sin(sinddlllllldydxBBB点的

4、微分点的微分运动方程运动方程雅克比矩阵雅克比矩阵关节的微关节的微分运动分运动3.63.2 雅克比矩阵雅克比矩阵1 雅克比矩阵的意义雅克比矩阵的意义由式由式3.6可以看到，雅克比矩阵将单个关节的微分运可以看到，雅克比矩阵将单个关节的微分运动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也可动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也可以将单个关节的运动与整个机构的运动联络起来。以将单个关节的运动与整个机构的运动联络起来。2 雅克比矩阵的计算雅克比矩阵的计算由式由式3.6可以看到，由于角度是时变的，所以雅克比可以看到，由于角度是时变的，所以雅克比矩阵也是时变的。所以我们可以经过对位置方程中矩阵也是时变的。所

5、以我们可以经过对位置方程中的一切变量求导的方法来计算雅克比矩阵。的一切变量求导的方法来计算雅克比矩阵。假设有一组变量为假设有一组变量为 的方程的方程 ：那么变量和函数间的微分关系可以表示为：那么变量和函数间的微分关系可以表示为：jxiYjjiijjiijixxfYxxxxfxfxfxfxfxfYYY或211121211121根据上述关系，我们可以建立机器人的关节微分根据上述关系，我们可以建立机器人的关节微分运动和机器人手坐标系微分运动之间的关系。运动和机器人手坐标系微分运动之间的关系。654321ddddddzyxdzdydx雅克比机器人机器人手机器人手沿沿x,y,zx,y,z轴的微分轴的微分

6、运动运动机器人手绕机器人手绕x,y,z轴的微轴的微分旋转分旋转关节的关节的微分运微分运动动D D J矩阵两端都除以dt, 就是速度，所以本章主要针对文分运动讲解。例题：给定某一时辰的机器人雅克比矩阵，给定关例题：给定某一时辰的机器人雅克比矩阵，给定关节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。动和角位移微分运动。100000000100002000000010000101010002J2 . 0001 . 01 . 00DzyxdzdydxJDD2 . 01 . 001 . 01 . 002 . 0001 . 01 . 00100

7、000002000100000000000010010101002解：由例题可知：由例题可知： 刚体或坐标系的微分运动包含微分挪动矢量和微刚体或坐标系的微分运动包含微分挪动矢量和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分挪动组成；分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分挪动组成；后者由绕三轴的微分转动组成。后者由绕三轴的微分转动组成。雅克比矩阵的构造：雅克比矩阵的构造：一、矢量积分法；一、矢量积分法；二、微分变化法。二、微分变化法。3 SCARA四自在度机器人的连杆速度及雅可比矩阵四自在度机器人的连杆速度及雅可比矩阵 nnnnvXV 雅可比矩阵雅可比矩阵 末端连杆的角速度和线速度相对于末端连杆的角速度

8、和线速度相对于基坐标系简写为基坐标系简写为 ，根据广义速度公式，根据广义速度公式nnv,它与关节速度它与关节速度q q之间的关系就是由雅可比矩阵组之间的关系就是由雅可比矩阵组成的线性映射成的线性映射 qqJXnn)(2. SCARA四自在度机器人的连杆速度、雅可比矩阵四自在度机器人的连杆速度、雅可比矩阵 SCARA四自在度机器人的构造和运动具有如下特点：四自在度机器人的构造和运动具有如下特点：四个关节，四个关节中有三个是转动关节关节四个关节，四个关节中有三个是转动关节关节1、2、4，一个是挪动关节关节，一个是挪动关节关节3。根据速度传送法可。根据速度传送法可推导出雅可比矩阵如下：推导出雅可比矩

9、阵如下： 旋转矩阵：旋转矩阵：10000111101csscR10000222212csscR10001000123R10000444434csscR由于基坐标系固定不动，因此由于基坐标系固定不动，因此 ；000000v 连杆连杆1的角速度和速度为的角速度和速度为001100011v连杆连杆2的角速度和速度为的角速度和速度为212200022111122clslv连杆连杆3 3的角速度和速度为的角速度和速度为 21223300321212112133)(dlclslv手爪手爪4 4的角速度和速度为的角速度和速度为42144000)()(214212412142124144clclslslv由以

10、上推导可得雅可比矩阵由以上推导可得雅可比矩阵)(qJT= )(qJT1011000000000000000042421414242141clclclslslsl)cos(inmc)sin(inms其中：其中：，以下一样。以下一样。旋转变换旋转变换R03： R03= 10000124124124124cssc末端手爪相对于基坐标系末端手爪相对于基坐标系00角速度和速度为角速度和速度为 42140003211221112112211140)()(dclclslslv末端手爪的笛卡尔广义速度为末端手爪的笛卡尔广义速度为 4321122122111221221144444444410110000000

11、001000000dclclclslslslvvvvVzyxzyx由以上推导可得雅可比矩阵为由以上推导可得雅可比矩阵为 10110000000001000000)(12212211122122110clclclslslslqJ例例3.1 3.1 给定某一时辰的机器人雅克比矩阵如下，给定某一时辰的机器人雅克比矩阵如下，计算给定关节的微分运动，求机器人手坐标系计算给定关节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。的线位移微分运动和角位移微分运动。100000000100002000000010000101010002J2 . 0001 . 01 . 00D解：将上述矩阵代入式解

12、：将上述矩阵代入式(3.10)(3.10)，得到：，得到： zyxdzdydxJDD2 . 01 . 001 . 01 . 002 . 0001 . 01 . 001000000020001000000000000100101010023.3 坐标系的微分运动坐标系的微分运动 假设有一个机器人要将两片工件焊接在一同，为假设有一个机器人要将两片工件焊接在一同，为了获得最好的焊接质量，要求机器人以恒速运动，也了获得最好的焊接质量，要求机器人以恒速运动，也就是说要求指定的手坐标系的微分运动能表示按特定就是说要求指定的手坐标系的微分运动能表示按特定姿态的恒速运动。姿态的恒速运动。 这就涉及到坐标系的微

13、分运动，而该运动是由机这就涉及到坐标系的微分运动，而该运动是由机器人产生的。如下图：器人产生的。如下图：坐标系微分运动可以分为：坐标系微分运动可以分为：微分平移微分平移微分旋转微分旋转微分变换微分变换我们首先研讨坐标系的微分运动，然后研讨机器人我们首先研讨坐标系的微分运动，然后研讨机器人机构的微分运动，最后建立两者之间的联络。机构的微分运动，最后建立两者之间的联络。1 微分平移微分平移微分平移就是坐标系平移一个微分量，因此它可以用微分平移就是坐标系平移一个微分量，因此它可以用Trans(dx,dy,dz)来表示，其含义是坐标系沿来表示，其含义是坐标系沿3条坐标轴条坐标轴做了微小量的运动。做了微

14、小量的运动。2 微分旋转微分旋转微分旋转是坐标系的小量旋转，它通常用微分旋转是坐标系的小量旋转，它通常用 来来描画，即坐标系描画，即坐标系 轴转动轴转动 角度。角度。绕三轴的转动分别定义为绕三轴的转动分别定义为 由于转动很小，所以由于转动很小，所以),(dkRotkd1cos(sinxxx用弧度）z, y, x10000100001001),(10000100100001),(zzzzRotxxxxRot10000100010001),(yyyyRot1000010001000110000100100001),(),(yyxxyyRotxxRot另外我们还要留意矩阵乘法的顺序，不同的顺序会产生

15、不另外我们还要留意矩阵乘法的顺序，不同的顺序会产生不同的结果。同的结果。10000101001xyxzxy上述矩阵违反了每个向量长度为上述矩阵违反了每个向量长度为1的规定，例如的规定，例如 。然。然而由于微分值很小，在数学上，高阶微分是可以忽略不计的。而由于微分值很小，在数学上，高阶微分是可以忽略不计的。所以我们可以接受这样的向量长度。所以我们可以接受这样的向量长度。1122x100001010011000010010000110000100010001),(),(xyxyyxxxyyxxRotyyRot假设忽略掉一切的高阶微分变换，上述两式的假设忽略掉一切的高阶微分变换，上述两式的结果是一样

16、的，因此乘法的顺序并不重要。结果是一样的，因此乘法的顺序并不重要。1000010101),(),(),(),(zyxzxyxzyxyxzyzzzRotyyRotxxRotdkRot绕普通坐标轴的三个微分运动可以表示为：绕普通坐标轴的三个微分运动可以表示为：1000010101xyxzyz02. 0,05. 0, 1 . 0zyx例题：求绕三个坐标轴作微分旋转所产生的总例题：求绕三个坐标轴作微分旋转所产生的总微分变换。微分变换。1000011 . 005. 001 . 0102. 0005. 002. 011000010101),(xyxzyzkRot解：3 坐标系的微分变换坐标系的微分变换坐标

17、系的微分变换是微分平移和微分旋转运动的合坐标系的微分变换是微分平移和微分旋转运动的合成。假设用成。假设用T表示原始坐标系，并假定由于微分变表示原始坐标系，并假定由于微分变换所引起的坐标系换所引起的坐标系T的变化量用的变化量用dT表示，那么有：表示，那么有： ),(),(),(),(TIdkRotdzdydxTransdTTdkRotdzdydxTransdTT或可令：可令：),(),(IdkRotdzdydxTransTdT我们称我们称 为微分算子，用它乘以一个坐标系将导为微分算子，用它乘以一个坐标系将导致坐标系的变化。致坐标系的变化。进一步求得：进一步求得：00000001000010000

18、10000110000101011000100010001),(),(dzxydyxzdxyzxyxzyzdzdydxIdkRotdzdydxTrans例题：例题： 对如下的坐标系对如下的坐标系B,绕绕y轴做轴做0.1弧度的微分转动，然弧度的微分转动，然后微分平移后微分平移0.1，0，0.2，求微分变换的结果。，求微分变换的结果。10003010500110100BBdB提示：解：解：00008 . 01 . 00000004 . 001 . 000, 1 . 0, 0, 2 . 0, 0, 1 . 0BdBzyxdzdydx其中，其中，dB矩阵表示坐标系矩阵表示坐标系B的变化，该矩阵的每个元

19、素表示的变化，该矩阵的每个元素表示坐标系中相应元素的变化。如，本例中坐标系中相应元素的变化。如，本例中 dB意味着该坐标系意味着该坐标系沿沿x轴挪动了轴挪动了0.4个单位的微小量，沿个单位的微小量，沿y轴无运动，沿轴无运动，沿z轴挪动轴挪动了了-0.8个单位的微小量。它也意味着坐标系的旋转使得个单位的微小量。它也意味着坐标系的旋转使得 向向量没有改动，量没有改动， 而在向量而在向量 的分量的分量 上改动了上改动了0.1，在向量，在向量 的分量的分量 上改动了上改动了-0.1。微分变化的了解微分变化的了解naoxoza10002 . 21 . 01050014 .1011 . 0000008 .

20、 01 . 00000004 . 001 . 0010003010500110100dBBBoriginalnew由此，我们可求上例中坐标系由此，我们可求上例中坐标系B运动后的位姿，如下：运动后的位姿，如下：本次课的内容：本次课的内容：坐标系之间的微分变化坐标系之间的微分变化机器人及机器人手坐标系的机器人及机器人手坐标系的微分变化微分变化雅克比矩阵的计算雅克比矩阵的计算建立雅克比矩阵和微分算子建立雅克比矩阵和微分算子之间的关联之间的关联雅克比矩阵求逆雅克比矩阵求逆3.4 坐标系之间的微分变化坐标系之间的微分变化 前面引见的微分算子 是相对于固定参考坐标系来说的，同样的，我们可以定义另外一个微分

21、算子，是相对于当前坐标系的，这样使得可以在该坐标系当前中计算同样的变换。 由于是相对于当前坐标系的，必需用右乘该坐标系的。如下式所示：111TTTTTTTTdTTTT 因此，上式可以用来计算相对于本身坐标系的微分算子 。将上式矩阵相乘并加以简化，得到的结果如下：T10001paaaapoooopnnnnTzyxzyxzyx0000000dzxydyxzdxyz 00000001dzxydyxzdxyzTTTTTTTTTTTTdpadzdpodydpndxazoynxTTTTTT应留意， 看上去好像 矩阵，但一切元素都是相对于当前坐标系的，这些元素可从以上矩阵相乘的结果求得，结果归纳如下：T例：

22、例： 对如下的坐标系对如下的坐标系B，绕，绕y轴做轴做0.1弧度的微分转动，然后微分平移弧度的微分转动，然后微分平移0.1，0，0.2，求微分变换的结果。，求微分变换的结果。10003010500110100B解：解：00008 . 01 . 00000004 . 001 . 001000301050011010000002 . 0001 . 000001 . 01 . 0000, 1 . 0, 0, 2 . 0, 0, 1 . 0BdBzyxdzdydx举例阐明如何求得相对于本身坐标系的微分算子，回想下举例阐明如何求得相对于本身坐标系的微分算子，回想下面的例题上节课出现过：面的例题上节课出现

23、过： 8 . 004 . 02 . 001 . 0 103 . 0 103 . 0351001 . 002 . 001 . 001 . 003510001 100010，dpkjipdpaon如今求出相对于本身坐标系的微分算子：如今求出相对于本身坐标系的微分算子：由给定的信息中可以得到以下向量，用来计算向量由给定的信息中可以得到以下向量，用来计算向量BdBB001 . 04 . 08 . 00azoynxdpadzdpodydpndxBBBBBB 00000001dzxydyxzdxyzTTTTTTTTTTTTdpadzdpodydpndxazoynxTTTTTT公式公式代入可得：代入可得：0

24、0004 . 001 . 008 . 01 . 00000001000301050011010000002 . 0001 . 000001 . 01 . 00010001000131005010:,00004 . 001 . 008 . 01 . 00000000 , 0 , 1 . 04 . 0 , 8 . 0, 01BBdBBdBBBBBBB解：上例中的直接根据微分算子计算例与前面相同。得到的结果矩阵后，右乘的值并不同，但是用的值与可以看出3.5 机器人及机器人手坐标系的微分运动机器人及机器人手坐标系的微分运动 前面引见的都是坐标系的变换结果，而不涉及变换是如何实现的。如今我们就研讨一下机

25、器人手坐标系的变化是如何由机器人的运动转换来的。 我们要做的就是找出机器人关节的微分运动是如何与手坐标系的微分运动关联的，尤其是与dT的关系。 这种关系取决于： 机器人的构型和设计的函数； 机器人即时位姿的函数。举例阐明：举例阐明： 简单的旋转机器人和斯坦福机械手臂简单的旋转机器人和斯坦福机械手臂 区别：构型不同区别：构型不同 结果：要产生类似一样的机械手速度，所要求的关结果：要产生类似一样的机械手速度，所要求的关 节速度会有所不同。节速度会有所不同。由此可知：由此可知： 对于上述的任何一种机器人，手臂能否可以完全地伸展对于上述的任何一种机器人，手臂能否可以完全地伸展 以及能否指向恣意方位，都

26、需求将其转化为不同的关节以及能否指向恣意方位，都需求将其转化为不同的关节 速度从而产生一样的手的速度。速度从而产生一样的手的速度。 我们可以经过雅克比矩阵建立关节运动与手运动之间的我们可以经过雅克比矩阵建立关节运动与手运动之间的 联络，如下所示：联络，如下所示：654321ddddddzyxdzdydx雅克比机器人机器人手机器人手沿沿x,y,z轴轴的微分运的微分运动动机器人手绕机器人手绕x,y,z轴的微轴的微分旋转分旋转关节的关节的微分运微分运动动D D J雅克比矩阵雅克比矩阵3.8 雅克比矩阵的计算雅克比矩阵的计算a、雅克比矩阵的每一个元、雅克比矩阵的每一个元素是对应的运动学方程对素是对应的

27、运动学方程对其中一个变量的导数其中一个变量的导数雅克比矩阵的含义：jjiijjiijixxfYxxxxfxfxfxfxfxfYYY或211121211121b、D中的第一个元素是中的第一个元素是dx，它表示第一个运动学方程必需沿，它表示第一个运动学方程必需沿x轴的运轴的运动，当然也就是动，当然也就是Px。换句话说，。换句话说，Px表示手的坐标系沿表示手的坐标系沿x轴的运动，它的轴的运动，它的导数为导数为dx。同样，。同样，dy和和dz也是如此。假设思索用也是如此。假设思索用 表示的矩阵，表示的矩阵，对相应的元素对相应的元素Px，Py和和Pz求微分就得到求微分就得到dx,dy和和dz。 6543

28、21DJDddddddzyxdzdydx或雅克比机器人paon，回想第二章一道例题10000010000011111CSSCA1000010000222222222aSCSaCSCA1000010000333333333aSCSaCSCA1000001000444444444aSCSaCSCA10000010000055555CSSCA10000100000066666CSSCA用用D-H法建立坐标系并求出变化矩阵法建立坐标系并求出变化矩阵1)()(122323423422323423412232342341aSaSaSaCaCaCSaCaCaCCpppzyx求出总变化矩阵：求出总变化矩阵：1

29、000)()()()()()()()(22323423452346234652346523422323423415152341651623465234165162346523412232342341515234165162346523416516234652341654321aSaSaSSSCCCCSCCSaCaCaCSCCSCSSSCCSCCCSSSCSSCCCSaCaCaCCCSSCCSSSCSCCCCCSSSSCCCCAAAAAATHR我们关怀取简单旋转臂机器人的正动力学方程的最后我们关怀取简单旋转臂机器人的正动力学方程的最后一列为：一列为：00)(:)2(66221)(:1661554

30、2341144323423411332232342341122223234234111144234133234234122232342341123234234112232342341JPJPaSCJPaSaSCJPaSaSaSCJPaCaCaCSJpdaSCdaSaSCdaSaSaSCdaCaCaCSdpdpxdpxdpxdpaCaCaCCppxxxxxxxxxx的第一列为由此，得到雅可比矩阵求导得对 对于下面两行也可以同样处置。但是，由于没有哪个方程可以普遍适用于绕三条轴的转动。因此我们需求用不同的方法对他们进展计算。 现实上，相对于最后一个坐标系T6的雅克比矩阵的计算要比相对于第一个坐标系

31、简单的多。因此，我们将用下面的方法进展计算。 DJDTT66将相对于最后一个坐标系的速度方程写成： 此时，意味着，用一样关节的微分运动来左乘最后一个坐标系的雅克比矩阵，那么可得到机器人首相对于最后一个坐标系的微分运动。我们可以用以下简单的方程来计算最后一个坐标系的雅克比矩阵：方程的微分运动关系可以写成：654321666156514641363126222116121166666666666666666666ddddddJJJJJJJJJJJJJJdddTTTTTTTTTTTTTTzTyTxTzTyTxT 假设假设A1,A2An的恣意组合可以用相应的的恣意组合可以用相应的n,o,a,p矩阵矩阵

32、表示，那么矩阵中相应的元素可以用来计算雅可比矩阵。表示，那么矩阵中相应的元素可以用来计算雅可比矩阵。 假设所思索的关节假设所思索的关节i为旋转关节，那么：为旋转关节，那么：ziTxyyxiTnJpnpnJ4166)(ZiTxyyxiToJpopoJ5266)(ziTxyyxiTaJpapaJ6366)( 假设所思索的关节假设所思索的关节i为滑动关节，那么：为滑动关节，那么：04166iTziTJnJ05266iTziTJoJ06366iTziTJaJ元素。雅可比矩阵的第二行的求出简单旋转机器人的用它的具体计算如下列用对于上面两式，对第1)()(1:,2232342342232342341223

33、234234166565646546365436265432616543216061aSaSaSaCaCaCSaCaCaCCpzpypxATAATAAATAAAATAAAAATAAAAAATTii例：例：整理得：分计算：表达式进行如下的求微行元素，必须对式中的关于雅可比矩阵的第二解：)()()()()(2223232343242341122323423416622112232342341daSddaSdddaSSdaCaCaCCdpdpdpdpdpaCaCaCSppyyyyyyx00)()()()(626665255544234142414332342341323332223234234122

34、2221223234234112111dJdpdJdpdaSSdJdpdaSaSSdJdpdaSaSaSSdJdpdaCaCaCCdJdpyyyyyy411166JJTT和可比矩阵中的求简单旋转机器人的雅6234652344223234234652232342341651623465234122323423416516234652341122323423452346234652346234652342232342341515234165162346523416516234652341223234234151523416516234652341651623465234165432166)()()

35、()()()(1000)()()()()()()()(SCCCSnJaCaCaCCSaCaCaCCSSCSSCCCSaCaCaCSCSSSSCCCCpnpnJaSaSaSSSCCCCSSCCCSaCaCaCSCCSCSSSCCSCCCSSSCSSCCCSaCaCaCCCSSCCSSSCSCCCCCSSSSCCCCAAAAAATziTxyyxiTHR例题例题3.9 建立雅可比矩阵和微分算子之间的关联建立雅可比矩阵和微分算子之间的关联 在讨论过雅可比矩阵和微分算子之后，我们将二者联络到一同。 假设机器人的关节挪动一个微分量，由式3.10以及知的雅可比矩阵可以计算出D矩阵，它包括了 的值(机器人手的

36、微分运动)。先求微分算子。然后计算dT，由此来确定机器人手的新位姿。这样，机器人关节的微分运动就与机器人手坐标系联络起来了。zyxdzdydx,10002010310051 . 001622TRRP置。经微分运动后手的新位构型，求运动，这个机器人具有具体数值以及一组微分的雅可比矩阵的器人手的坐标系和这时给定如下的五自由度机1000101010000400010200003J01 . 005. 01 . 01 . 054321ddddd例题：例题：10001 . 201085. 21001 . 5001100020103100500100001 . 0001 . 015. 00001 . 001

37、 . 0000001 . 0001 . 015. 00001 . 001 . 0000000001 . 004 . 015. 03 . 001 . 005. 01 . 01 . 01000101010000400010200003666ORIGINALTdTTdzxydyxzdxyzzyxdzdydxJDD解：3.10 雅可比矩阵求逆雅可比矩阵求逆 为了计算机器人关节上的微分运动(或速度)以得到所需求的手的微分运动(或速度)，需求计算雅可比矩阵的逆，并且将它用于以下方程： DJDDJJDJDJDDJJDJJDDTTTTTT666666111111类似的 这就是说，知道了雅可比矩阵的逆，就可以计

38、算出每个关节需求以多快的速度运动，才干使机器人的手产生所期望的微分运动获到达期望的速度。实践上，微分运动分析的主要目的是分析而不是进展计算。 我们知道，雅可比矩阵中一切元素的实践值都是时变的，因此，虽然雅可比矩阵的符号方程一样，但他们的数值改动了。所以我们为了可以在每秒内计算出足够多的准确关节速度，需求保证计算过程非常高效和快速，否那么，结果将是不准确的。 常用的雅可比矩阵求逆的方法是，可以用逆动力学方程来计算关节的速度。 方法如下：11111111111111111111111)(180)arctan(0SpCpCdpSdpdCdpSdpSpCpddSpCdpdCpSdpCpSpppCpSpyxyxyxyxyyxxyxxyyx和)()(2)()(222)()(0000)()()()()(43223444234432234411111142341133323223222423424234113234112342341111112344322344322341111112341143223423411234dddCadpaSpdddSadCpdpSdSpdpCaCSpCpdSaaaaaaaSpaCSpCpCdpdadodndpdadodndpdadodndTaCaSaCCda