命题及其关系、充分条件与必要条件知识点与题型归纳

1、v1.0 可编辑可修改1. 理解 命题的概念2. 了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题 的相互关系3. 理解 充分条件、必要条件与充要条件的含义 .，以选择题为主，试题多为中低档题目，重点主要有两个：， 主要考查命题的四种形式及命题， 这也是 历年高考命题的重中之 命题的 热点是利用关系或条件求解参数范围问题， 考逆向思维.名师一号P4命题及四种命题1、命题的概念判断真假其中 判断为真 的语句叫真命题，判断的语句叫假命题命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。2四种命题及其关系（1） 四种命题间的相互关系（2） 四种命题的真假关系两个命题互为逆否

2、命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题 或 互否命题 ，它们的 真假性无关注意： （ 补充 ）1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题（3） 常见词语的否定原词语等于（=）大于（）小于（）是否定词语不等于（）不大于（）不小于（）不是原词语都是至多有一个至多有n 个或否定词语不都是至少有两个至少有n+1 个且原词语至少有一个任意两个所有的任意的否定词语一个也没有某两个某些某个知识点二充分条件与必要条件1、 充分条件与必要条件的概念（ 1）充分条件：p q 则 p 是 q 的 充分 条件p 就能充分地保证结论q 的成立，亦即要使 q 成立，有p 成立就足够了，即有它即可（2）必要条件：p

3、q 则 q 是 p 的 必要 条件pq q p即没有 q 则没有 p ，亦即 q 是 p 成立的必须要有的条件 ，即 无它不可 。（ 补充 ） （3）充要条件p q且 q p即 p q则 p 、 q 互为 充要 条件 （既是充分又是必要条件）“ p是 q 的充要条件”也说成“p等价于 q”、“q 当且仅当 p ”等（ 补充 ） 2、充要关系的类型（1）充分但不必要条件定义： 若 p q ，但 q p ，则 p是 q的 充分但不必要条件 ；（2）必要但不充分条件定义： 若 q p ，但 p q ，则 p是 q的 必要但不充分条件（3）充要条件定义： 若 p q ，且 q p ，即 p q ，则

4、p 、 q 互为 充要 条件 ；（4）既不充分也不必要条件定义： 若 p q ，且 q p ，则 p 、 q 互为 既不充分也不必要条件 3、判断充要条件的方法：名师一号P6 特色专题定义法；集合法；逆否法（等价转换法）逆否法 利用互为逆否的两个命题的等价性集合法 利用集合的观点概括充分必要条件若条件 p 以集合A的形式出现，结论 q 以集合 B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断（1）若AB ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若BA，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若A B ，则 p 是 q 的充要条件（4）若A B ，且 A B ，则p 是q 的既不必要也不充分

5、条件（ 补充 ） 简记作 若A、 B 具有包含关系，则（1）小范围是大范围的充分但不必要条件（2）大范围是小范围的必要但不充分条件二、例题分析（一）四种命题及其相互关系例 1.（1） 名师一号P4 对点自测1命题“若x， y 都是偶数，则xy 也是偶数”的逆否命题是（）A若x y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B若x y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C若x y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D若x y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数答案 C例 1.(2) 名师一号P5 高频考点例 1下列命题中正确的是()“若a0，则ab 0”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若m>0，则x2

6、 x m 0 有实根”的逆否命题；1“若x32是有理数，则 x是无理数”的逆否命题AB C D 解析 :中否命题为“若a 0，则ab 0”，正确；中逆命题不正确；中， 1 4m，当m>0时， >0，原命题正确，故其逆否命题正确；中原命题正确故逆否命题正确答案 B注意： 名师一号P5 高频考点例 1 规律方法在 判断四个命题之间的关系时，首先要 分清命题的条件与结论，再 比较每个命题的条件与结论之间的关系要 注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念

7、的命题的判定要从概念本身入手例 1.(3) 名师一号P4 对点自测2(2014·陕西卷 )原命题为“若z1， z2互为共轭复数，则 | z1| | z2| ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真B假，假，真C真，真，假D假，假，假解析 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，设z1 3 4i ， z2 43i ，则有 | z1| | z2| ，但是 z1 与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假注意： 名师一号P5 问题探究问题 2四种命题间关系的两条规律(1) 逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假(2) 当

8、判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假同时要 关注“特例法”的应用 例2(1)( 补充)( 2011 山东文 5) 已知a， b， c R，命题“若 a b c =3，则a2b2c2 3”的否命题 是( )(A) 若 a+b+c 3，则a2 b2 c2 <3(B) 若 a+b+c=3，则a2 b2 c2 <3222(C) 若 a+b+c 3，则a b c 3(D) 若 a2b2 c2 3，则a+b+c=3【答案】A【解析】命题“若 p ，则 q ”的否命题是：“若 p ，则 q例 2 （2） （ 补充 ）命题：“若 xy 0 ，则 x 0 或 y 0”的否定

9、是： 【答案】若xy 0 ，则 x 0 且 y 0【解析】命题的否定只改变命题的结论。注意：命题的否定与 否命题 的区别（二）充要条件的判断与证明例 1.（1） （补充 ） （ 07 湖北） 已知 p是 r 的充分条件而不是必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题： s是 q的充要条件； p是 q 的充分条件而不是必要条件；r 是 q 的必要条件而不是充分条件；p是s的必要条件而不是充分条件； r 是 s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（）A. B. C. D. 注意：1、利用定义判断充要条件名师一号P6 特色专题方法一 定义法定义法

10、 就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与 q 之间的充要关系p q 则 p是q的 充分条件；q 是p 的 必要条件2、利用逆否法判断充要条件名师一号P6 特色专题方法三 等价转化法当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系， 对命题进行等价转换常利用原命题与逆命题的真假来判断p 与 q 的关系令p 为命题的条件，q 为命题的结论，具体对应关系如下：如果原命题真而逆命题假，那么p 是q 的充分不必要条件；如果原命题假而逆命题真，那么p 是q 的必要不充分条件；如果原命题真且逆命题真，那么p 是q 的充要条件；如果原命题

11、假且逆命题假，那么p 是q 的既不充分也不必要条件简而言之, 逆否法 利用互为逆否的两个命题的等价性例 1.(2) 名师一号P6 特色专题例 1(2014·北京卷 )设 an是公比为q 的等比数列则“ q>1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件B 必要而不充分条件C充分必要条件D 既不充分也不必要条件【规范解答】若q>1，则当a11 时，anqn 1， an为递减数列，所以“ q>1” ?/“ an为递增数列”；111若 an 为递增数列，则当an2 时，a12， q 2<1，即“an为递增数列”? /“ q>1”故选D.例 1.(3) 名师一

12、号P6 特色专题例 2(2014·湖北卷)设 U 为全集A， B 是集合，则“存在集合 C使得 AC， B ? UC”是“A B”的 ()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件如图可知，存在集合C，使AC，21B ? UC，则有A B. 若 A B，显然存在集合C.满足 AC， B ? UC.故选C.例 1.(4) 名师一号P4 对点自测5已知 p：4<k<0， q：函数y kx2 kx 1 的值恒为负，则p 是 q 成立的 ()A充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件解析 : 4<k<0? k<

13、0， k2 4k<0，函数y kx2kx 1 的值恒为负，但反之不一定有4<k<0， 如 k 0时，函数y kx 2 kx 1 的值恒为负，即p? q，而q?/ p.可用定义或集合法 注意：3、利用集合法 判断充要条件名师一号P6 特色专题方法二 集合法涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性具体对应关系如下：若条件p 以集合A的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断（1）若AB ，则p 是q 的充分但不必要条件（2）若BA，则p 是q 的必要但不充分条件（3）若AB

14、，则p 是q 的充要条件（4）若AB ，且A B ，则 p 是 q 的既不必要也不充分条件（ 补充） 简记作 若 A、 B 具有包含关系，则（ 1）小范围是大范围的充分但不必要条件（ 2）大范围是小范围的必要但不充分条件例 2. 名师一号P5 高频考点例 3log 2x， x>0，函数 f (x) x有且只有一个零点的2x a， x0充分不必要条件是()1A a0 或 a>1 B 0<a<2 < a<1 D a<0解析 : 因为f(x)log 2x， x>0，2 a， x0有且只有一个零点的充要条件为a0或 a>1. 由选项可知，使“a0或

15、a>1”成立的充分条件为选项D.注意： 名师一号P5 高频考点例 3 规律方法有关探求充要条件的选择题，解题关键是：首先， 判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项 ；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论务必审清题，明确“谁是条件”！此题选项是条件！练习： ( 补充 )已知 p : x 3 且 y 2 ， q : x y 5 ，则 p 是 q 的条件。答案 : 既不充分条件也不必要条件例 3. 名师一号P6 特色专题例 3已知命题p：关于x 的方程4x2 2ax 2a 5 0 的解集至多有两个子集，命题q： 1 m x 1 m， m>0， 若 p 是q 的必要不充分条件，求实数m的

16、取值范围【规范解答】 p 是 q 的必要不充分条件，p 是 q 的充分不必要条件对于命题p，依题意知（ 2a） 2 4· 4（2a 5） 4（a2 8a 20） 0，2 a 10，令Pa| 2a10，Qx|1 mx1m，m>0，由题意知P Q ，m>0， m>0，1 m< 2， 或1 m2，1 m 101 m>10，解得m 9. 因此实数m的取值范围是m|m 9注意： （ 补充 ）凡结合已知条件求参数的取值范围是求满足条件的等价条件即充要条件 练习： （ 补充 ）已知p : 2 x 10; q :1 m x 1 m（m 0）若p 是 q 的必要但不充分条

17、件，求实数 m 的取值范围解： p 是 q 的必要但不充分条件即 p q 且 q p 等价于q pp q即 p是 q 的充分但不必要条件令 A x 2 x 10则A1B即1x1 m x 1 m(m 0)m2解得 m 9m 10所以实数 m的取值范围是m m 91m 2注： A是 B 的真子集，须确保1 m 10中的等号不同时取得例 4. （ 补充 ）求证：关于x的方程ax2 2x 1 0 至少有一个负根的充要条件是a 1.证明： 充分性： 当 a 0时，方程为2x 1 0 的根为1x2，方程有一个负根，符合题意a<0 时，4 4a>0，方程ax2 2x 1 0 有两1个不相等的实根

18、，且<0，方程有一正一负根， 符合题意a0<a1时， 4 4a 0，2<02a方程 ax 2x 1 0 有实根，且1>0a故方程有两个负根，符合题意综上：当a1时，方程ax2 2x 1 0 至少有一个负根必要性： 若方程ax2 2x 1 0 至少有一个负根当a 0 时，方程为2x 1 0 符合题意当a0时，方程ax2 2x 1 0 应有一正一负根或4 4a02 1<0两个负根则<0 或 aa1 >0 a解得 a<0或 0<a 1.综上： 若方程ax2 2x 1 0 至少有一负根，则 a 1.故关于 x的方程ax2 2x 1 0 至少有一个负根的充要条件是a 1.注意： ( 补充 )证明充要条件务必 明确 充分性 和 必要性 并分别给予证明练习：( 补充) 已知f (x) 是定义在R上的函数，求证： f (x)为增函数的充要条件是任意的x1、x2R,且 x1x2恒有f (x1 ) f (x2 )x1 x