人教版八年级下册第17章勾股定理培优专题训练(附答案)

1、8C. 16642.已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为A . 30 cmB. 80 cmC.90 cm120 cm人教版八年级下册第17章勾股定理培优专题训练.选择题（共11小题）1.如图，两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的面积为（3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（52B .1!13452 .2A . 3 , 4 ,C.9, 41, 402, 3, 44. 如图：a, b,c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积,则下列结论正确的是 （ab= cC. a+b= cD. a+b = c25. A ABC中，AB = AC

2、= 5, BC= 8，点P是BC边上的动点，过点 P作PD丄AB于点PE丄AC于点E,贝U PD + PE的长是（）A . 4.8B. 4.8 或 3.8C. 3.8D. 56. 若直角三角形的两条直角边长为a, b，斜边长为c,斜边上的高为h，则有（）2A . ab= hB.-a b hC.D. a2+ b2= 2h2a V h2 27. 在厶 ABC 中，若 a= n - 1, b= 2n, c= n +1 ,则厶 ABC 是（ ）A .锐角三角形B .钝角三角形C.等腰三角形D .直角三角形&有一个面积为1的正方形，经过一次"生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形,其

3、中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（2009C. 20109我国是最早了解勾股定理的国家之F面四幅图中，不能证明勾股定理的是（B.10如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面 2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（A . 2.7 米B . 2.5 米C. 2米D. 1.8 米11. 如图，一个梯子 AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，

4、这时梯子下端 B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米.B . 1C. 1.5填空题(共6小题)12. 点P (- 5, 12)到原点的距离是DE / AC ,过点E作EF丄13. 如图，在等边厶 ABC中，点 D、E分别在边 BC、AB上，且2DE,交CB的延长线于点 F.若BD = 5,贝U EF =CD = 12 , BD13,/ BAC = 90° .则四,AB= 13 米，BC= 1215.如图所示的一块地，已知AD = 4米，CD = 3米，/ ADC =米，这块地的面积为.8厘米的圆柱形杯子中,16如图，将一

5、根长 12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米.17如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图 2，其中四边形 ABCD和四边形EFGH都是正方形， ABF、 BCG、 CDH、 DAE是四个全等的直角三角形.若EF = 2, DE = 8,贝U AB的长为.S1闰2三.解答题(共7小题)18. 如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米,DA长7米，/ C= 90°，求绿地 ABCD的面积.19. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具

6、有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt ABC中，/ ACB = 90°,若AC= b, BC = a，请你利用这个图形解决下列问题：(1) 试说明 a2+b2= c2；(2) 如果大正方形的面积是 10，小正方形的面积是 2，求(a+b) 2的值.20. 如图，将 Rt ABC绕其锐角顶点 A旋转90°得到Rt ADE，连接BE,延长 DE、BC相交于点F，则有/ BFE = 90°，且四边形 ACFD是一个正方形.(1) 判断 ABE的形状，并证明你的结论；(2) 用含b代数式表示四边形 ABFE的

7、面积；(3) 求证：a2+b2= c2.21. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”观察：3、4、5; 5、12、13; 7、24、25; 9、40、41;，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ;(2) 若第一个数用字母 n (n为奇数，且n3)表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为 和，请用所学知识说明它们是一组勾股数.22. 如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB= 30海里，问乙船每23. 如图，花果山上有两只猴子

8、在一棵树CD上的点B处，且BC = 5m,它们都要到 A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳 DA线段滑到A处已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm.(1 )请用含有x的整式表示线段 AD的长为m；(2 )求这棵树高有多少米?D24.如图， ABC 中，CD 丄 AB 于 D,且 BD : AD :CD = 2 : 3:4,(1)试说明 ABC是等腰三角形;(2)已知Sabc= 40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段 BA向点A运动，同时动点 N从点A出发以相同速度沿线段 AC向点C运动，当其中一点到达终点时

9、整个运动都停止.设点M运动的时间为t (秒), 若 DMN的边与BC平行，求t的值； 若点E是边AC的中点，问在点 M运动的过程中， MDE能否成为等腰三角形？若 能，求出t的值；若不能，请说明理由.选择题（共11小题）1.如图，两个较大正方形的面积分别为8参考答案225、289,则字母A所代表的正方形的面积为（）C. 16D. 64【解答】解：正方形 PQED的面积等于225,即 PQ2= 225,正方形PRGF的面积为289, PR2= 289,又厶PQR为直角三角形，根据勾股定理得:pr2= PQ2+QR2,2 2 2qr2= PR2 - PQ2= 289 - 225= 64,则正方形Q

10、MNR的面积为64.2. 已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）A . 30 cmB . 80 cmC. 90 cmD. 120 cm【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为acm, bcm,斜边为ccm,根据勾股定理得：a2+b2 = c2,2 2 2 a2+b2+c2= 1800, 2c2 = 1800，即 c?= 900,则 c = 30cm.故选：A.3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）2 2 2A . 3 , 4 , 5B .C. 9, 41, 40D. 2, 3, 4345【解答】解：A、92+162工252，故不是直角三角形，故不符合题意；

11、B、（一）2+ （丄）2工（一）2,故不是直角三角形，故不符合题意；345C、92+402= 412,故是直角三角形，故符合题意；D、22+32工42,故不是直角三角形，故不符合题意.故选：C.则下列结论正确的是 （）4. 如图：a, b,c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积,C. a+b= cD. a+b = c2【解答】解：T a、b、c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积, a = AC2, b= BC2, c= AB2.又在直角厶 ABC 中，AC2+bc2= AB2. a+b = c.BC= 8，点P是BC边上的动点，过点P作PD丄AB于点D ,PE丄AC于点E,贝U PD

12、 + PE的长是（）A . 4.8B. 4.8 或 3.8C. 3.8D. 5【解答】解：过 A点作AF丄BC于F，连结AP,/ ABC 中，AB= AC = 5, BC = 8, BF = 4, ABF 中，AF = '，汀-i -= 3,X 8x 3=-Lx 5X PD+丄 X 5X PE,2 2 212X 5X( PD + PE)2PD+PE= 4.8.6.若直角三角形的两条直角边长为a, b,斜边长为c,斜边上的高为h，则有（A . ab= h21 1 1 I? h【解答】解：丄ab =2D. a2+b2= 2h2h =7.在 ABC中，若A .锐角三角形钝角三角形C.等腰三角

13、形D 直角三角形n2- 1)2+ (2n) 2=( n2+1) 2,cab1 =已+bL|i2, 2 a ba 2a= n - 1, b= 2n, c= n +1 ,则厶 ABC 是(b2rlh2.故选C.三角形为直角三角形,故选：D.&有一个面积为1的正方形，经过一次"生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A. 2008B. 2009C. 2010【解答】解：设直角三角形的是三条边分别

14、是a, b, c.根据勾股定理，得2.2a +b = c ,即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形 C的面积=1 .推而广之，“生长”了 2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2010X 1 = 2010.9我国是最早了解勾股定理的国家之F面四幅图中，不能证明勾股定理的是(【解答】解:整理得：a2+b2= c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;B '.4X +c =( a+b),.整理得：a2+b2 = c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;整理得：a2+b2 = c2,即能证明勾股定理，故本选项不符合题意;C、2 = c2,(b a)D、根据图形不能证明勾股定理

15、，故本选项符合题意;故选：D.10如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离心了米为0.7米，顶端距离地面 2.4米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端D. 1.8 米A . 2.7 米B . 2.5 米C. 2 米【解答】解：由题意可得：AD2= 0.72+2.42= 6.25,在 Rt ABC 中，2 2 2/ ABC= 90 ° , BC = 1.5 米，BC2+AB2= AC2 , AB2+1.52= 6.25, AB=± 2,/ AB> 0, AB=2 米，小巷的宽度为 0.7+2 = 2.7 (米).故选：A

16、.篥米d 了米11. 如图，一个梯子 AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在 DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了 ()米.B . 1C. 1.5【解答】解：在 Rt ABC 中，AB = 2.5 米，BC = 1.5 米，故 AC = .- - = , 一 十=2米，在 Rt ECD 中，AB= DE = 2.5 米，CD = (1.5+0.5)米，故 EC=-=1.5 米，故 AE = AC - CE = 2 - 1.5= 0.5 米.故选：A.二.填空题(共6小题)12. 点P (- 5, 12)到原点的距离是13【解

17、答】解：点 P (- 5, 12),点P到原点的距离= a/&2 + 122 =13.故答案为：13.13. 如图，在等边厶 ABC中，点 D、E分别在边 BC、AB上，且 DE / AC ,过点E作EF丄2DE,交CB的延长线于点F.若BD = 5,则EF =75.【解答】解： ABC是等边三角形,/ C= 60°,/ DE / AC,/ EDB = Z C= 60°,/ EF 丄 DE ,/ DEF = 90 ° ,/ F = 90°-/ EDB = 30°,/ ABC= 60。，/ EDB = 60°, EDB是等边三角

18、形.二 ED = BD = 5,/ DEF = 90。，/ F = 30°, DF = 2DE = 10,EF2= DF2 - DE2= 75.故答案为：75.14.已知：如图，四边形ABDC , AB = 4, AC = 3, CD = 12 , BD = 13,/ BAC = 90° .则四边形ABDC的面积是36 .【解答】解：连接/ A= 90°，AB = 4，AC= 3 BC= 5,/ BC= 5, BD = 13, CD = 12 BC2+CD2= BD2 BCD是直角三角形 S 四边形 ABCD= SaBCD+SABC = * X 4 X 3j- X

19、 5 X 12= 36 ,故答案为：3615.如图所示的一块地，已知AD = 4米，CD = 3米，/ ADC = 90°, AB= 13米，BC= 12米，这块地的面积为24m2 .【解答】解：如图，连接 AC由勾股定理可知AC=d曲灿算”4片沪=5，又 AC2+BC2= 52+122= 132 = AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面积= ABC的面积- ACD的面积=丄-二-= 24 (m2).16如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为 6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中, 则筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米.【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的咼，圆柱的直径正好构成直

20、角三角形， 勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即，-.,；10cm,筷子露在杯子外面的长度至少为 12 - 10= 2cm ,17如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图 2，其中四边形 ABCD和四边形EFGH都是正方形， ABF、 BCG、A CDH、 DAE是四个全等的直角三角形.若EF = 2, DE = 8，贝U AB的长为10 .图1闰2【解答】解：依题意知，BG = AF = DE = 8, EF = FG = 2 BF = BG - BF = 6,直角 ABF中，利用勾股定理得：AB = a希.廿-二 .| .：

21、= 10.故答案是：10.三.解答题（共7小题）18. 如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米,DA 长 7 米，/ C =90 °,求绿地 ABCD的面积.BD .如图所示：/ C= 90°, BC = 15 米，CD = 20 米，.BD =寸眈丸十卅=25 （米）；在厶 ABD 中，T BD = 25 米，AB = 24 米，DA = 7 米,2 2 2 2 2 224 +7 = 25，即 AB +DA = BD , ABD是直角三角形. S 四边形 ABCD= SABD+SBCD=-AB?AD+-BC?CD2 2=X 24

22、X 7+丄 X 15 X 202 2=84+150=234 （平方米）;234平方米.19. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt ABC中，/ ACB = 90°,若AC= b, BC = a，请你利用这个图形解决下列问题:(1) 试说明 a c2= 4X丄ab+ (a- b) 2= 2ab+a2- 2ab+b2 即 c2 = a2+b2.;+b2= c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是 2，求（a+b） 2的值.-a) 2,c2，直角三角形面积

23、为亠ab，小正方形面积为（b(2)由图可知，(b - a) 2= 2, 4Xab = 10- 2= 8,2ab= 8,2 2( a+b)=( b- a) +4ab= 2+2 X 8= 18.20. 如图，将 Rt ABC绕其锐角顶点 A旋转90°得到Rt ADE，连接BE,延长 DE、BC相交于点F，则有/ BFE = 90°，且四边形 ACFD是一个正方形.(1) 判断 ABE的形状，并证明你的结论；(2) 用含b代数式表示四边形 ABFE的面积;(3) 求证：a2+b2= c2.【解答】(1 ) ABE是等腰直角三角形，证明： Rt ABC绕其锐角顶点 A旋转90

24、76;得到在Rt ADE ,/ BAC=Z DAE ,/ BAE =Z BAC + Z CAE = Z CAE+Z DAE = 90°,又 AB= AE, ABE是等腰直角三角形;(2)四边形ABFE的面积等于正方形 ACFD面积,四边形ABFE的面积等于：b2.(3 ) S 正方形 ACFD = SaBAE+Sa BFE(b+a) (b- a),22整理：2b = c + (b+a) (b - a) a2+b2 = c2.21. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”观察：3、4、5; 5、12、13; 7、24、25; 9、40、41;，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从

25、3起就没有间断过.(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11, 60, 61(2)若第一个数用字母 n (n为奇数，且n3)表示，那么后两个数用含n的代数式分另U表示为请用所学知识说明它们是一组勾股数.【解答】解：(1) 11, 60, 61;2 (2 )后两个数表示为- 7和.r -I - 、+一 ，2二22 力又T n3,且n为奇数，n2-!2 ，n2+l三个数组成的数是勾股数.2 |故答案为：11，60, 61.由 n,22. 如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB= 30海里，问乙船

26、每小时航行多少海里？O卜X'【解答】解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行, AO 丄 BO，甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时， OB= 16X 1.5= 24 海里，AB = 30 海里，在RtA AOB中，AO 肿刑兀让仟18,乙轮船每小时航行 18十1.5= 12海里.23. 如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC = 5m，它们都要到 A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳 DA线段滑到A处已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm.(1 )请用含有x的整式表示线段 AD的长为 15- x m；(2 )求这棵树高有多少米？【解答】解：(1)设BD为x米，且存在BD + DA = BC+CA,即 BD+DA = 15, DA = 15- x,故答案为：15-x;(2)/ C = 90°2 2 2 AD = AC +DC( 15 - x) 2=( x+5) 2+102 x= 2.5 CD = 5+2.