14全称量词与存在量词

1、课课前预习导学 目标目标导航 学习目标 1.通过教学中的实例,能记住全称量词和存在量词的含义; 2.会判定全称命题和特称命题的真假; 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 重点、难点 重点:全称命题与特称命题的真假判断与否定; 难点:对全称量词和存在量词的理解. 预习预习导引 1 .(1)短语“ 对所有的”“对任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“ ?” 表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题. (2)短语“ 存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“ ?” 表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)全称命题“ 对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”

2、可用符号?xM,p(x)表示,读作“ 对任意 x 属于 M,有 p(x)成立”. (4)特称命题“ 存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立” ,可用符号?x0M,p(x0)表示,读作“ 存在一个 x0属于 M,使 p(x0)成立”. 预习交流交流 1 (1)同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一? 提示:不唯一.对于同一个全称命题或特称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.例如:平行四边形的对角线互相平分,是省略全称量词的,实际应理解为:所有的平行四边形的对角线互相平分. (2)下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假: 所有直线都存在斜率;存在 xN,使

3、2x-70. 提示:是全称命题,是假命题;是特称命题,是真命题. 2 .全称命题 p:? xM,p(x),它的否定是?p:? x0M,?p(x0).特称命题p:? x0M,p(x0),它的否定是?p:? xM,?p(x). 预习交流交流 2 (1)对于“ 全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题” 这一结论,你是如何理解的? 提示:因为全(特)称命题的否定,首先将其全称(存在)量词改为存在(全称)量词,然后把结论否定,所以全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题. (2)写出下列命题的否定,并判断真假且说明理由: p:? xR,x +20; 3q:? x0Z,x0+1=0.

4、 2提示:? p:? x0R,x0+20恒成立, 即 p为真命题, 所以? p是假命题. ? q:?xZ Z, x+10, 是假命题. 这是因为 x=-1时, x+1=0. 33课课堂合作探究 问题问题导学 一、全称命题和特称命题的判定 活动与探究 1 (1)下列命题中全称命题的个数是( 任意一个自然数都是正整数; 所有的素数都是奇数; 有的等差数列也是等比数列; 三角形的内角和是 180 . A.0 B.1 C.2 D.3 思路分析:分析命题中是否含有全称量词. 答案:D 解析:含有全称量词,而命题可以叙述为180 ” ,故是全称命题. ) ,从而判定是否是全称命题“ 每一个三角形的内角和都

5、是(2)下列命题中特称命题的个数是( ) 有的自然数是偶数; 存在 ,使sin +sin =sin (+); 至少有一个函数 f(x)既是偶函数又是奇函数; 圆内接四边形的对角互补. A.1 B.2 C.3 D.4 思路分析:分析命题中是否含有存在量词,从而判定是否是特称命题. 答案:C 解析:是特称命题,可以叙述为“ 所有的圆内接四边形的对角互补” ,是全称命题. 11对任意 a,bR,若 ab,则a0 D.?xR,2 0 x3思路分析:首先判断命题中含有哪种量词,进而确定是哪种命题,然后正面推理证明或举反例说明命题的真假. 答案:C 解析:A是特称命题,存在x=1时使lg x=0成立,所以

6、A为真命?题;B是特称命题,存在 x=4时,tan x=1 成立,所以B是真命题;C是3全称命题,存在 x=-1,使 x =-10 恒成立,所以D为真命题. x( 2) 已知命题 p:?xR R, 使si n x=; 命题 q:?xR R, 都有 x+x+10. 52给出下列结论: 2命题“ pq” 是真命题; 命题“ p( ? q) ” 是假命题; 命题“ ( ? p) q” 是真命题; 命题“ ( ? p) ( ? q) ” 是假命题. 其中正确的是( ) A. B. C. D. 思路分析: 先判断命题 p, q的真假, 再判断所给结论中命题的真假. 答案答案: :B 解析解析: : ?x

7、R R,si n x-1, 1 , 不存在x, 使si n x=21成立, p为假命题. 2132 x+x+1= x+2 +40对 xR R恒成立, q为真命题. 5 “ pq” 是假命题, “ p( ? q) ” 是假命题, “ ( ? p) q” 是真命题, “ ( ? p) ( ? q) ” 是真命题. 迁移与应用 1 .下列命题中,真命题是( ) A.?mR,使函数 f(x)=x +mx(xR)是偶函数 B.?mR,使函数 f(x)=x +mx(xR)是奇函数 C.?mR,函数 f(x)=x +mx(xR)都是偶函数 D.?mR,函数 f(x)=x +mx(xR)都是奇函数 答案:A

8、解析: m=0 时,f(x)=x 为偶函数, A项为真命题. 222222.判断下列命题的真假: (1)若 a0,且 a 1,则对任意实数 x,a 0; (2)对任意实数 x1,x2,若 x1x2,则tan x1tan x2; (3)?T0R,使|sin(x+T0)|=|sin x|; 2(4)?x0 R,x0+10. 解:命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题;命题(2)是全称命题,存在 x1=0,x2=,虽然 x10,故该命题为假命题. 2(1)全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素 x 验证 p(x)成立;但要判定全称命题是假命

9、题,却只要能举出集合 M 中的一个 x=x0,使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“ 举出一个反例” ). (2)特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题. 三、全称命题和特称命题的否定 活动与探究 3 写出下列命题的否定,并判断真假: 1(1)p:? xR,x -x+ 0; 42(2)q:所有的正方形都是矩形; 2(3)r:? x0R,x0-2x0+80. 思路分析:先分清是全称命题还是特称命题,对命题进行否定时既要改变量词,又要否定结论. 21解:(1)? p:? xR,x -x

10、+40 恒成立, 故? p 为假命题. (2)? p:对于任意的实数 a,b,有|a-1|+|b+2|0, 当 a=1,b=-2时,|a-1|+|b+2|=0. 故? p 为假命题. 22 (1)在含有一个量词的命题的否定中,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题. (2)注意有些原命题无关键量词,但隐含着其含义,要注意辨析.如:实数的绝对值是正数,它的否定应是:存在一个实数,它的绝对值不是正数,而不能写成:实数的绝对值不是正数. 当堂当堂检测 1 .下列命题是特称命题的是( ) A.偶函数的图象关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于 3 答案:D 解析:D中含有存在量词,故是特称命题. 2 .命题“ 存在实数 x,使 x1” 的否定是(A.对任意实数 x,都有 x1 B.不存在实数 x,使 x 1 C.对任意实数 x,都有 x 1 D.存在实数 x,使 x 1 答案:C 解析:该命题为存在性命题,其否定为“) 对任意实数 x,都有 x 1”. 3 .下列命题中,是真命题且是全称命题的是( A.对任意实数 a,b,都有 a2