六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示ppt课件

1、 几何变换 二维变换 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 二维变换的复合 窗口到视口的变换 效率问题 三维变换的矩阵表示 三维变换的复合 坐标系的变换二维及三维空间的变换概念、矩阵表示、三维视图二维、三维空间的变换概念及其矩阵表示二维、三维空间的变换概念及其矩阵表示几何变换几何变换本讲引见计算机图形学经常用到的根本的二维和三维几何变换，其本讲引见计算机图形学经常用到的根本的二维和三维几何变换，其中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形运用程序来说极其中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形运用程序来说极其重要。重要。许多运用程序或图形子程序软件包需求用到各种变换，例如：一个许多运用程序或图形子

2、程序软件包需求用到各种变换，例如：一个城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到适宜城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到适宜的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图符的大小。普通来说，很多运用程序在绘图时都要用到几何变换来符的大小。普通来说，很多运用程序在绘图时都要用到几何变换来改动物体也称为图符或模板的位置、方向和大小。本讲还引见改动物体也称为图符或模板的位置、方向和大小。本讲还引见如何运用三维变换如何运用三维变换( (旋转变换、平移变换和比例变换旋转变换、平移变换和比例变换) )作为创

3、建三维作为创建三维物体的二维显示过程的一部分。物体的二维显示过程的一部分。 P=RP二维变换二维变换变换前 一座房子的平移变换.变换后 旋转变换矩阵旋转变换矩阵 房子的比例变换。两个方向上的变换比例不同，并且房子改动了位置。比例变换前 比例变换后旋转之前 旋转之后房子的旋转变换，旋转的同时也改动了位置。x=sx xy= sy yx=x+dx , dx = x-x y=y+dy , dy= y-y P=P+T平移变换平移变换比例变换矩阵比例变换矩阵旋转矩阵的推导旋转矩阵的推导小结小结rr正向旋转其中:齐次坐标系和二维变换的矩阵表示齐次坐标系和二维变换的矩阵表示平移矩阵平移矩阵 齐次坐标表示齐次坐

4、标表示P P=T+P P=T+P P=S=SP P P P=R=RP P希望能用一种一致的方法希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。来表示这三种变换。将将x,y)x,y)附加第三个坐标附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用，于是每个点的坐标都用一个三元组一个三元组(x,y,W)(x,y,W)来表来表示，称为点示，称为点x x，y)y)的齐的齐次坐标。在齐次坐标系中次坐标。在齐次坐标系中，我们以为两组齐次坐标，我们以为两组齐次坐标(x,y,W)(x,y,W)和和(x(x,y,y,W,W) )代表同一点当且仅当代表同一点当且仅当(x,y,W)(x,y,W)与与(x(x,y,y,W,W) )互为倍数

5、，因此互为倍数，因此(2,3,6)(2,3,6)和和(4,6,12)(4,6,12)是用不同的三是用不同的三元组坐标表示的同一点。元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次坐标也就是说每个点齐次坐标不独一。要求齐次坐标中不独一。要求齐次坐标中至少有一个不为零，即至少有一个不为零，即(0,0,0)(0,0,0)是不允许的。假是不允许的。假设坐标设坐标W W不为零，那么我不为零，那么我们可以用它作为除数：由们可以用它作为除数：由(x,y,W)(x,y,W)得到得到(x/W,y/W,1)(x/W,y/W,1)，它们代表同一点。普通，它们代表同一点。普通来说，当来说，当W W不为零时，我不为零时，我们采

6、用们采用W W为为1 1的坐标，并将的坐标，并将x/Wx/W和和y/Wy/W称为齐次点称为齐次点(x,y,W)(x,y,W)的笛卡儿坐标。的笛卡儿坐标。而而W=0W=0的点被称为无穷远的点被称为无穷远点，在这里我们不讨论此点，在这里我们不讨论此类点。类点。平移变换平移变换齐次坐标几何意义齐次坐标几何意义三元组普通用来表示三维空间中三元组普通用来表示三维空间中的点，但是此处是用来表示二维的点，但是此处是用来表示二维空间的点。这两种表示之间具有空间的点。这两种表示之间具有以下联络：假设取一切代表同一以下联络：假设取一切代表同一点的三元组，即一切方式为点的三元组，即一切方式为(tx,ty,W)(tx

7、,ty,W)的三元组其中的三元组其中t0t0，便可得到三维空间中的一条直线，便可得到三维空间中的一条直线，因此，每一个齐次点就代表了三因此，每一个齐次点就代表了三维空间中的一条直线。又由于我维空间中的一条直线。又由于我们可以将一点的坐标齐次化经们可以将一点的坐标齐次化经过除以过除以W W而得到方式为而得到方式为(x,y,1)(x,y,1)的坐标，因此，齐次化的点就构的坐标，因此，齐次化的点就构成了成了(x,y,W)(x,y,W)空间中的一个平面空间中的一个平面, ,由等式由等式W=1W=1定义。图中示出了这种定义。图中示出了这种联络，留意：无穷远点没表示在联络，留意：无穷远点没表示在该平面中。

8、该平面中。XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影到该平面上的点PX，Y，W平面二维变换的矩阵表示二维变换的矩阵表示两个延续的旋转变换是可叠加的证明留作习题。平移变换平移变换旋转变换旋转变换比例变换比例变换特殊正交阵特殊正交阵special orthogonalspecial orthogonal左上角有个左上角有个2 22 2的子矩阵，我们可以将其中的每的子矩阵，我们可以将其中的每一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几个特点：个特点：1 1每个都是单位向量。每个都是单位向量。2 2每两个向量之间相互垂直它们的点积为零每两个向量之间相互垂直它们

9、的点积为零。3 3假设将每个向量所指的方向旋转假设将每个向量所指的方向旋转R()R()，那么，那么这些方向量便可位于正这些方向量便可位于正x x轴、轴、y y轴方向上，轴方向上，即即: :前两个特点也适用于该前两个特点也适用于该2 22 2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个方向量就是沿方向量就是沿x x轴和轴和y y轴正方向的向量轴正方向的向量(i,j,k)(i,j,k)经矩阵经矩阵R R变换后而得到的变换后而得到的. .因此，当知旋转变换的结果时，这些特点便因此，当知旋转变换的结果时，这些特点便为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。为如

10、何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵。具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵。特殊正交阵01 sin cos 0刚体变换仿射变换刚体变换仿射变换 单位正方体单位正方体 旋转旋转45度度 在在x轴方向拉伸轴方向拉伸上图是单位正方体先旋转45度，再进展不均匀的比例变换，结果是单位立方体的仿射变换，只保管线段之间的平行关系，不坚持长度和角度不变。 对于形如：的变换矩阵，假设其左上角的主子式是正交的，那么该矩阵变换保角保长。也就是说，一个单位的正方形经该矩阵变换后依然是一个单位的正方形，特殊正交阵既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称为刚体

11、变换，由于进展变换的物体不会有任何变形。恣意顺序的旋转、平移变换都等同于这种方式的矩阵。一系列恣意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换，它们可以坚持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位正方体旋转45度，然后进展不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都发生了变化，但那些原来平行的线仍坚持平行，再继续进展旋转、比例和平移变换也不会改动线的平行性，R()、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R()、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。对单位正方体进展简单的错切变换，对单位正方体进展简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超越了

12、每一种变换情况，斜边的长度都超越了1。错切变换一种仿射变换错切变换一种仿射变换 单位正方体 方体在x方向上错切 正方体在y方向上错切二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。其中a、b是比例常量。留意：SHxx y 1T=x+ay y 1 T，表示在x方向上的比例变化是y的函数。 SHyx y 1T=x bx+y 1 T表示在y方向上的比例变化是x的函数。SHx沿沿x x轴的错轴的错切变换矩阵切变换矩阵Shy沿沿y y轴的轴的错切矩阵错切矩阵二维变换的复合二维变换的复合(例一例一如今思索绕恣意一点如今思索绕恣意一点P1P1旋转物体的

13、问题。旋转物体的问题。1 1将将P1P1点平移到原点；点平移到原点；2 2旋转；旋转；3 3平移复原平移复原P1P1点。点。 (x1,y1) (x1,y1)二维变换的复合二维变换的复合(例二例二关于恣意关于恣意点点P1P1比例比例变换一个变换一个物体。物体。二维变换的复合小结二维变换的复合小结假设我们想要使图中的房子以恣意点假设我们想要使图中的房子以恣意点P1P1为中心进展旋转、平移和缩放比例变换为中心进展旋转、平移和缩放比例变换。这时详细步骤与上述类似：先将点。这时详细步骤与上述类似：先将点P1P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后再将房子从坐标原点

14、平移到新的位置再将房子从坐标原点平移到新的位置P2P2，因此记录变换的数据构造可以是包含比例，因此记录变换的数据构造可以是包含比例变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据构造，或者只是简单地记录复合变换变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据构造，或者只是简单地记录复合变换矩阵的数据构造：矩阵的数据构造： 假设假设M1M1和和M2M2分别代表一个根本的平移变换、比例变换或旋转变换，那么在什么情况分别代表一个根本的平移变换、比例变换或旋转变换，那么在什么情况下有下有M1M2=M2M1M1M2=M2M1呢？或者说，何时呢？或者说，何时M1M1和和M2M2可交换呢？当然，普通来说矩阵乘法可交换呢？当

15、然，普通来说矩阵乘法是不可交换的，但是，在下面的特殊情况下，是可以进展交换的：是不可交换的，但是，在下面的特殊情况下，是可以进展交换的： M1 M2 M1 M2平移变换平移变换 平移变换平移变换比例变换比例变换 比例变换比例变换旋转变换旋转变换 旋转变换旋转变换 比例变换比例变换(sx=sy) (sx=sy) 旋转变换旋转变换因此，在这些情况下，我们不用关怀矩阵乘法的顺序。因此，在这些情况下，我们不用关怀矩阵乘法的顺序。T(x2,y2) R() S(sx,sy) T(-x1,-y1)习题习题写出综合变换矩阵.1200345678234567811234567812345678窗口到视口的变换窗

16、口到视口的变换窗口到视口的变换步骤窗口到视口的变换步骤将一个空间坐标系的窗口变换到视口的步骤:所期望的结果点坐标由所期望的结果点坐标由P =Mwv x y 1TP =Mwv x y 1TP P 代表了视口内新点坐代表了视口内新点坐标标,x,y,1,x,y,1代表了窗口内点坐标代表了窗口内点坐标. .视图变换：就是把用户坐标系表视图变换：就是把用户坐标系表示的点在视口坐标系表示出来。示的点在视口坐标系表示出来。窗口的剪切和视口的关系窗口的剪切和视口的关系许多图形软件包将窗口到视口的变换和窗口中输出图元的剪切结合起来，许多图形软件包将窗口到视口的变换和窗口中输出图元的剪切结合起来，上图举例阐明了窗

17、口的剪切和视口的关系。上图举例阐明了窗口的剪切和视口的关系。空间坐标系中的输出图元被窗口剪切，保管的部分在视口中显示出来。空间坐标系中的输出图元被窗口剪切，保管的部分在视口中显示出来。效率问题效率问题要计算一个向量与一个要计算一个向量与一个3 33 3的矩阵的乘积的矩阵的乘积MPMP，那么必需做九次乘法和六次加法。，那么必需做九次乘法和六次加法。上面左侧公式的最后一行为固定构造，因此实践操作将变为四次乘法和四次加法：上面左侧公式的最后一行为固定构造，因此实践操作将变为四次乘法和四次加法： x x=x=x r11+y r11+y r12+tx r12+tx y y=x=x r21+y r21+y

18、 r22+tyr22+ty假设有些硬件的矩阵乘法器具有并行加法器和乘法器，那么无需思索这一效率问假设有些硬件的矩阵乘法器具有并行加法器和乘法器，那么无需思索这一效率问题。题。旋转方程旋转方程R R需求进展四次乘法和两次加法，当需求进展四次乘法和两次加法，当角非常小时只需几度，角非常小时只需几度，coscos非常接近于非常接近于1 1，根据这一点可减少计算量，因此旋转变换公式可近似地表示，根据这一点可减少计算量，因此旋转变换公式可近似地表示成：成： x=x-ysin, y=xsin+yx=x-ysin, y=xsin+y然而，该式只是然而，该式只是xx和和yy的近似值，每计算一次，都会产生误差积

19、累。假设我们反的近似值，每计算一次，都会产生误差积累。假设我们反复无限次地运用该公式，会使其结果完全变成误差，使得旋转图象看起来就象随复无限次地运用该公式，会使其结果完全变成误差，使得旋转图象看起来就象随意画的线段集合。意画的线段集合。 另一种更好的近似方法是在上面式子的第二个公式中用另一种更好的近似方法是在上面式子的第二个公式中用xx替代替代x x：x=x-ysin,x=x-ysin,y=xsin+ y = (x - y sin)sin+ y= x sin+ y(1 sin2)y=xsin+ y = (x - y sin)sin+ y= x sin+ y(1 sin2)这种近似上一个公式要好

20、。这种近似上一个公式要好。三维变换的矩阵表示三维变换的矩阵表示(坐标系坐标系)在齐次坐标系中，二维变换可以用在齐次坐标系中，二维变换可以用3 33 3的矩阵表示，假定我们也用的矩阵表示，假定我们也用齐次坐标来表示三维空间中的点，那么三维变换便可用齐次坐标来表示三维空间中的点，那么三维变换便可用4 44 4的矩阵的矩阵表示。因此，我们用表示。因此，我们用(x,y,z,W)(x,y,z,W)而不是而不是(x,y,z)(x,y,z)来表示三维空间中的来表示三维空间中的一点，其中假设一个四元组是另一个四元组的非零倍数，那么以为一点，其中假设一个四元组是另一个四元组的非零倍数，那么以为它们代表同一点，并

21、且四元组它们代表同一点，并且四元组(0,0,0,0)(0,0,0,0)是不允许的。和二维空间是不允许的。和二维空间一样，恣意点一样，恣意点(x,y,z,W)(x,y,z,W)W0)W0)的规范表示为的规范表示为(x/W,y/W,z/W,1)(x/W,y/W,z/W,1)，将坐标转化成这种方式被称为齐次化，而将坐标转化成这种方式被称为齐次化，而W W为零的点那么称为无穷为零的点那么称为无穷远点。同样，齐次化的几何解释也存在：三维空间中的每一个点可远点。同样，齐次化的几何解释也存在：三维空间中的每一个点可以看作是从四维空间的原点出发的一条线，且齐次化的点组成了四以看作是从四维空间的原点出发的一条线

22、，且齐次化的点组成了四维空间中由简单等式维空间中由简单等式W=1W=1确定的三维子空间。本课中的三维坐标系确定的三维子空间。本课中的三维坐标系采用右手系，如右以下图所示，按照习惯定义，右手系下的正向旋采用右手系，如右以下图所示，按照习惯定义，右手系下的正向旋转的规定是：当从一个正向轴向原点望去时，那么另一个正向轴逆转的规定是：当从一个正向轴向原点望去时，那么另一个正向轴逆时针旋转时针旋转9090度后与第三个正向轴重合，如下表所示度后与第三个正向轴重合，如下表所示 旋转轴旋转轴 正向旋转的方向正向旋转的方向 x y x y z z y y z z x x z z x x y y应留意，并不是一切

23、的图形学教科书都沿袭这一商定。应留意，并不是一切的图形学教科书都沿袭这一商定。在三维图形学中采用屏幕上的左手系会很方便在三维图形学中采用屏幕上的左手系会很方便( (如右上图所示如右上图所示) )，由，由于在左手系下，可以很自然地解释于在左手系下，可以很自然地解释z z值越大，点离察看者越远的情值越大，点离察看者越远的情况，但这里我们依然运用右手系，由于它符合规范的数学商定。请况，但这里我们依然运用右手系，由于它符合规范的数学商定。请留意，当从左手系的正向轴向原点望去时，正向旋转是顺时针的留意，当从左手系的正向轴向原点望去时，正向旋转是顺时针的(x(xy)y)。正向旋转的定义使本节中的旋转矩阵既

24、可以用于右手坐标。正向旋转的定义使本节中的旋转矩阵既可以用于右手坐标系也可以用于左手坐标系。系也可以用于左手坐标系。显示屏上的左手坐标系。右手坐标系右手坐标系三维变换的矩阵表示公式三维变换的矩阵表示公式.1000100010001),(zyxzyxddddddT平移.1000000000000),(zyxzyxssssssS比例.1000010000cossin00sincos)(zR绕z旋转.10000cossin00sincos00001)(xR绕x旋转1000333231232221131211zyxtrrrtrrrtrrrM综合.10000cos0sin00100sin0cos)(yR

25、绕y旋转,00001100010001),(yxyxxyshshshshSH01在xy方向上错切三维变换的矩阵表示平面方程三维变换的矩阵表示平面方程单个点的变换曾经讨论。线段的变换可以经过对两端点进展变换来实现。假设平面是由三单个点的变换曾经讨论。线段的变换可以经过对两端点进展变换来实现。假设平面是由三点定义的，可用同样的方法处置。假设平面由一个平面方程来定义，也需求对平面方程的点定义的，可用同样的方法处置。假设平面由一个平面方程来定义，也需求对平面方程的各个系数进展变换。各个系数进展变换。为了处置这种情况，平面方程系数的列向量为了处置这种情况，平面方程系数的列向量N= A B C D TN=

26、 A B C D T，点坐标点坐标 P= x y z 1 T P= x y z 1 T ，那么有，那么有 ：N N P=0 P=0，其中，其中“表示向量的点积。表示向量的点积。点积结果得到平面方程点积结果得到平面方程 Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0，即行向量，即行向量N TN T和列向量和列向量P P相乘：相乘： N TP=0 N TP=0假设平面上的点假设平面上的点P P经过某一矩阵经过某一矩阵M M进展变换，即进展变换，即MP MP 。假设使变换后的点仍满足假设使变换后的点仍满足N TP=0N TP=0， N N必需经过某一矩阵必需经过某一矩阵Q Q待定进展变换，于是便

27、可得待定进展变换，于是便可得到到(QN) TMP=0(QN) TMP=0。由于。由于 (QN) T =N TQ T (QN) T =N TQ T，那么，那么N TQ TMP=0N TQ TMP=0。只需当只需当Q TMQ TM是单位矩阵的倍数时等式才成立。假设该倍数为是单位矩阵的倍数时等式才成立。假设该倍数为1 1，那么有，那么有Q T =M -1Q T =M -1或或Q=(M Q=(M -1) T-1) T。经过。经过M M变换后得到的平面的系数列向量为：变换后得到的平面的系数列向量为： N N= Q= Q N=(M -1) TN N=(M -1) TN (5-48)(5-48)矩阵矩阵(M

28、 -1) T(M -1) T并不一定存在，由于并不一定存在，由于M M的行列式能够为的行列式能够为0 0。例如，当。例如，当M M包含一个投影变换时我包含一个投影变换时我们能够想调查一下在平面上的透视投影的效果，就有能够发生这种情况。此时利用克莱们能够想调查一下在平面上的透视投影的效果，就有能够发生这种情况。此时利用克莱姆姆CramerCramer法那么，采用求法那么，采用求M M的逆用到的辅助矩阵来替代的逆用到的辅助矩阵来替代(M -1) T(M -1) T。 假设只想对平面的法线进展变换，并且假设只想对平面的法线进展变换，并且M M只是平移变换、旋转变换和比例变换矩阵的只是平移变换、旋转变

29、换和比例变换矩阵的复合，那么计算会更加简单。这时等式复合，那么计算会更加简单。这时等式5-485-48可以简化为可以简化为AA B B C C 0T 0TW W为为0 0的点代的点代表一个无穷远点，可以视为一个方向。表一个无穷远点，可以视为一个方向。三维变换的复合三维变换的复合本节，我们将结合一个详细的例子来详细讨论如何复合三维变换矩阵。本节，我们将结合一个详细的例子来详细讨论如何复合三维变换矩阵。如上图所示，我们要将其中的有向线段如上图所示，我们要将其中的有向线段P1P2和和P1P3从从a中的初始位置变换到中的初始位置变换到b中的最终位置，于是，点中的最终位置，于是，点P1被移到坐标原点，被

30、移到坐标原点，P1P2与与z轴重合，轴重合，P1P3落在落在y值为正的值为正的y, z平面内，但线段的长度在变换中没有发生改动。平面内，但线段的长度在变换中没有发生改动。实现该变换的方法有两种：第一种方法是按部就班地构造一系列变换实现该变换的方法有两种：第一种方法是按部就班地构造一系列变换T，Rx，Ry和和Rz，这种方法虽然有些冗长乏味，但很容易了解。第二种方法是运用上节引见，这种方法虽然有些冗长乏味，但很容易了解。第二种方法是运用上节引见的正交矩阵，此方法非常简要，但是变换过程也更加笼统。的正交矩阵，此方法非常简要，但是变换过程也更加笼统。 a初始位置 b最终位置 将P1、P2和P3 从初始

31、位置a变换到最终位置b 利用前述的原始变换，便可将整个复杂的问题分割成几个相对比较简单的小问题。详细来说，整个变换可以分为4个步骤： 将P1点平移到坐标原点； 绕y轴旋转使得P1P2落在y, z平面上； 绕x轴旋转使得P1P2与z轴重合； 绕z轴旋转使得P1P3落在y, z平面上；原始变换方法原始变换方法(综述综述) 绕绕y轴旋转：长度为轴旋转：长度为D1的的P1P2 的投影旋转到与的投影旋转到与z轴重轴重合，角合，角表示围绕表示围绕y轴正向旋转的方向，旋转的角度是轴正向旋转的方向，旋转的角度是 (90)。第一步：将第一步：将P1平移到坐标原点平移到坐标原点平移变换矩阵平移变换矩阵.10001

32、00010001),(111111zyxzyxTa初始位置初始位置将将T运用到点运用到点P1、P2和和P3便可得到：便可得到：,1000),(11111PzyxTP,1),(12121221112zzyyxxPzyxTP,1),zyyxxPzyxTP变换图示变换图示第二步第一步第二步：绕第二步：绕y轴轴 旋旋 转转 绕绕y轴旋转：长度为轴旋转：长度为D1的的P1P2 的投影旋转到的投影旋转到与与z轴重合，角轴重合，角表示围表示围绕绕y轴正向旋转的方向轴正向旋转的方向，旋转的角度是，旋转的角度是(90)。右图示出了线段右图示出了线段 P1P2 在第一步完成后的位在第一步

33、完成后的位置，并且可看到它在置，并且可看到它在x, z平面上的投影。平面上的投影。本步旋转的角度是本步旋转的角度是 (90)= 90，这时，这时有：有：P2 的的x坐标是零，坐标是零，z坐标是坐标是D1.10)90(11222TyDyyPRP 21221222221)()()()(xxzzxzD,cos)90sin(,sin)90cos(1121211212DxxDxDzzDz绕x轴旋转：P1P2旋转正向角后与z轴重合其中D2是线段的长度，线段P1P3没有在图上画出，由于它不能决议旋转的角度。这两条线段都用Rx()变换来旋转。.10000cos0sin00100sin0cos)(yR绕y旋转第

34、二步：绕第二步：绕y轴轴 旋旋 转结果转结果绕x轴旋转：P1P2旋转正向角后与z轴重合，其中D2是线段的长度，线段P1P3没有在图上画出，由于它不能决议旋转的角度。这两条线段都用Rx()变换来旋转。第三步：绕第三步：绕x x轴旋转轴旋转右图是线段右图是线段P1P2在第二步完成后的位置在第二步完成后的位置.绕绕z轴旋转：长轴旋转：长度 为度 为 D 3 的的P1P3的投影旋的投影旋转转角后与角后与y轴重轴重合 ， 从 而 使 得合 ， 从 而 使 得P1P3落在落在y, z平面上。平面上。而且而且P1P 2的长度为的长度为D2=|P 1P 2|，但由于旋，但由于旋转变换和平移变换坚持长度不变，所

35、以转变换和平移变换坚持长度不变，所以P1P2与与P1P2的长度是相等的，即有：的长度是相等的，即有：第三步旋转变换的结果是第三步旋转变换的结果是:从该式可以看出，如今从该式可以看出，如今P1P2已和已和Z轴重轴重合。合。绕绕x轴旋转：轴旋转：P1P2旋转旋转正向角正向角后与后与z轴重合，其轴重合，其中中D2是线段的长度，线是线段的长度，线段段P1P3没有在图上画出没有在图上画出，由于它不能决议旋转的，由于它不能决议旋转的角度。这两条线段都用角度。这两条线段都用Rx()变换来旋转。变换来旋转。2222sin,cosDyDz .)()()(21221221221212zzyyxxPPPPD .10

36、0)90()()90()()(212222TyxyxxPPPTRRPRRPRP .10000cossin00sincos00001)(xR)43.5(绕绕x旋转旋转第四步：绕第四步：绕Z轴旋转轴旋转右下角的图示出了线段右下角的图示出了线段P1P2和和P1P3在第三步终了后在第三步终了后的位置，其中的位置，其中P2与与z轴重合，而轴重合，而P3位于：位于：本步旋转的角度为本步旋转的角度为正向角正向角，且满足：，且满足：. )(,/sin,/cos232333333yxDDxDy .),()90()(131113333PzyxTRRzyxPyxT 其中其中R =Rz Rx Ry 90。整个变换过程

37、为：整个变换过程为：TRzyxTRRRyxz),()90()()(111.1000010000cossin00sincos)(zR绕绕z旋转旋转第二种方法第二种方法:利用正交矩阵的性质利用正交矩阵的性质利用正交矩阵的性质利用正交矩阵的性质,R 的的每个单位行向量经每个单位行向量经R旋转变旋转变换后便成为各个坐标轴即换后便成为各个坐标轴即x,y,z轴。轴。.321321321zzzyyyxxxrrrrrrrrrR令：令：Rx、Ry、Rz分别为分别为R的第的第一、二、三行的行向量。一、二、三行的行向量。由于由于 Rz是沿是沿P1 P2的单位向量的单位向量，并且将旋转到正向，并且将旋转到正向z轴，所

38、轴，所以有：以有：另外，单位向量另外，单位向量Rx与点与点P1、P2和和P3所确定的平面垂所确定的平面垂直，并且将旋转到正向直，并且将旋转到正向x轴轴，所以，所以，Rx一定是该平面一定是该平面内两个向量的单位叉积：内两个向量的单位叉积：最后，很容易得到最后，很容易得到Ry：xzTyyyyRRrrrR321它将旋转到正向它将旋转到正向y轴的轴的位置。于是，整个复合位置。于是，整个复合矩阵为：矩阵为：,),(1000000111321321321TRzyxTrrrrrrrrrzzzyyyxxx右图示出了单个的向量右图示出了单个的向量Rx、Ry和和Rz。单位向量单位向量Rx、Ry和和Rz 将被旋转将

39、被旋转到与各个坐标轴重合。到与各个坐标轴重合。正交矩阵的性质正交矩阵的性质行向量性质行向量性质列向量性质列向量性质旋转矩阵旋转矩阵01-sincos将将P1P1、P2P2和和P3 P3 从初始位置从初始位置a a变换到最终位置变换到最终位置b b表示图表示图b最终位置最终位置a初始位置初始位置飞机的例子飞机的例子xp，yp，zp坐标系坐标系中的一架飞机。中的一架飞机。上图中的飞机平移到上图中的飞机平移到P点，并且点，并且机头转向机头转向DOF所指方向。所指方向。zp = DOF xp= yDOFyp= zpxp = DOF yDOF右上图显示的是一架定义在坐标系右上图显示的是一架定义在坐标系xp，yp，zp中的飞机，其中飞机的中心位中的飞机，其中飞机的中心位于原点。我们变换的目的是想将这个飞机的头部转到矢量于原点。我们变换的目的是想将这个飞机的头部转到矢量DOF飞行方向飞行方向所指的方向，其中心位于所指的方向，其中心位于P点而且机身不侧倾，如右以下图所示。该变换需求点而且机身不侧倾，如右以下图所示。该变换需求先把飞机的头部转向规定的方向，然后将飞机从原点平移到先把飞机的头部转向规定的方向，然后将飞机从原点平移到P点。为了得到旋点。为了得到旋转矩阵，我们只需先确定转矩阵，我们只需先确定xp，yp，zp轴在右以下