均值与方差例题

1、第三章 随机变量的数字特征的例题【例】例3 某种产品表面上的疵点数服从泊松分布，平均一件上有08个疵点,若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元,疵 点数大于1不多于4为二等品,价值8元,4个以上者为废品,求 产品为废品的概率以及产品的平均价值.解(1)设X表示该种产品表面上的疵点数,A表示产品为 废品已知E(X)-0.8,又X服从泊松分布,故A =E(X)-0.8, Po.8(机严厂：机=o,2,而 P(A) = P(X >4)=1 - P(K 4) = 1 -Le0.001411例4游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整 点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行,假设一游

2、客在早八 点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60±服从均匀分布, 求该游客等候时间的数学期望解 已知XU0,60,其密度为于(工)=吉，0 X 600,其它设随机变量Y是游客等候电梯的时间(单位分),则例5设一辆汽车经过巾个车站,车上有和位乘客如果毎 位乘客等可能在任一站下车且他们的行动相互独立，汽车只在有 人下车时才停站,记X为停站次数,求X的期望E(X)解 汽车停站次数X二0、1、2、珈，引进新的随机变量冷_ 1,第,站有人下车(至少有1人下车)£0,第，站无人下车根据题意有mX - 壬例6把敎字1、2、5任意地排成一列，如果数字匕恰好岀现在第人个位置上，则称有一个

3、巧合.求巧合数X的数学期望E(X),方罡D(X)并隶X的分布.解 本题先求X的分布律有困难,引进新的随机变量耳_1；数字&出现在第上个位置上可=0,数字女未出现在第上个位置上则 X= lfti - (01)分布第堆占据排列中的第-1)和第2d号位置上,第-1) 嘗位置可以从2刃只手套中任取一只有2并种取法，当它定了以 后,为使恰成一副，第2d号位置就只有一种取法了，当它也取好 后,剩下的(2拜-2)只则可任意排,共有心-2)!种排法因此P (第 i 堆恰成一副) = 2nl(2n-2)! /(2n )!=石匕故 E(HJ 二2兀 = 1,2,，,因而 E(X) = IJE(Xl) =

4、2i 由 D(X)=E (X?) - E2(X),需求出 E(0) = E (x,)2)=E(js:;)= E()2+ 着E(JYrj)由于可(0-1)分布,故 XIi =Xr因此'''(4) = £ E(HJ = 2 L If = 1厶TI1i 7 时，E(HijCj) = P(JCd = I F = I)= P(第 i,j 堆都恰成一副)=F(兀=1 )P (旳“ I 乞=)=2, 1.122)J 二2)(2里-4)! _(2/2-2)!一(2 祝-1)(2 歼一 3)故D(X)= E(X2)-E2(X)= n H? - 7l _ / n *2n 1(2n

5、 1)(2?Z 3) 2n 1 /_4卅( _ 尸i (2n 一 1)(2丹 一 3)例8从学校乘汽车到火车 站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相 互独立的,并且概率都是舟.设X为途中遇到红灯的次数，求随 机变量X的分布律、分布函数和数学期望.解 X服从二项分布&（3,y）X的可能取值为0、1、2、3,从PQ =0)=(-r27一 125P(Jr =1) c 5 (?-)2 = P(X =二 2)=C遵厂M)=I8一 125P(X = 3) = Cl(I)J(I-X的分布函数为F(X) = P(X)=117125lx <22jc<3E(X) = +2 +

6、 31255例9 Ig设一部机器在一天内丨发生故障的概率为0.2,且一旦发生故障就全天停止工作按一周 5个工作日计算,如果不发生故障,可获利润10万元,如果只发生 1次故障仍可获利润5万元,如果发生2次故障不获利润也不亏 损,如果发生3次或3次以上故障就要亏损2万元,求一周内利润 的期望值.解 此题与例3有些类似,利润与故障次数相关,但故障次数 与利润是两个不同的随机变量.设X表示一周内发生故障的次数，y表示一周内的利润，则 XB(5,0.2),即并=5,JP = O2 的二项分布tP(x = C(02)F 02户7疋 m2,5,具体的:P( =O) = 0.85 03277P(X = 1)=

7、 Cb (0,2)×0840.4096P(Z = 2) = & (0.2)2 × 0.83 0,2048F(z3) = I-P(Z = O)-PQ - 1)一 P(Jr = 2)=0.0579YJRfi 10、5、0、-2,且P(Y = 0)= F(H = 0)P(Y=： 5)二 P(H = 1) P(Y=O)- P(X =2) P(Y =- 2) = P(x>3)于是E(Y)= IOXP(Y = Io)+ 5 XP(Y = 5)十 OXF(Y = O)十(一 2) X P( Y =-2)=10 ×0.3277 ÷ 5x0,4096 + 0

8、 -2 x0.0579- 5.2092(万元)例1"假设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)fiK从正态分布N(H1).内径小于10或大 于12为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利,销售每件 不合格品亏损，已知销售利润丁(单位：元与销售零件內径広有 如下关系,-1,若工 <10T = <20,若 10x12- 5.若 X >12问平均內径取何值时,销售一个零件的平均利润最大？解平均利润E(T)= 20 × P(10 X 12) + (- 1) ×(x < 10) + (-5) X P(H > 12)=20d(12 - “)-O

9、(10-p )l -(10-)51 - (12-AZ)J=25(12 一 “) - 21(105£e(T)= 25(l2 ) ÷ 21(10 一 )其中(工和卩(H)分别为标准正态分布函数和标准正态密度函 数.令上式为O得-O252e即A25T = 21e-均利润最大例11某保险公司规定，如果在一年内顾客的投保事件A 发生,该公司就赔偿顾客元若一年内事件A发生的概率为 P，为便公司收益的期望值等于Q的JO%,该公司应该要求顾客交 多少保险费？解 设顾客应交保险费工元,公司收益为3元,则工是普通变量,y是随机变量Q的取值与事件A的发生有关由题意若事件A不发生若事件A发牛且已知

10、例12设随机变量X的概率分布密度为 /(x)=yefxl,-<x< + ,(1)求X的数学期望E(%)利方差D(X);(2) OOV(XJXl) = E(XlXl)-E(X)E(X)÷0O1U x x a"7e'l"r dx-0-QOL故有Px,x = 0,因此X与X不相关(3) 独立性不能由不相关性来判定，要从独立性的定义来 判断X与I Xl相互独立的充要条件是对任意的a.b9P(x<af X<) = P(<)P(z<ft)取 ab>Oi显然事件(IHl <)C(x<),且CU 1f+ o°

11、 1P(H < a)= 齐dr < ye",x,dx = 1 CO ZJ 一8 ZP(l X l> ) >0因此P(x<, jcl<) = Px<i* I X I < = P(I 工 I < )而 P(x<)P(x<)<P(!x<),故 X 与|%|不独立 注:此例说明不相关性与独立性是不等价的.例13设两个随机变量X-了相互独立，且都服从均值为0,方差为号的正态分布求碍机变量 IX-Yl的方差.E(2) = D(X) = ,E(V2) - D(Y)二 因而D(IX-Yl) = D(Z) = 1IB法二 按二维随机变量处理因X与Y相互独立,且都服从N(,y),故(X, Y)的联合 密度函数为 、 1 _ 2 1 _ 2/&Q)= 7ze Jr "Fe V Tr1 2 2=丄E a - < X <+ 8, - 8 < y <+ 8 JrE(IX-Yl)4 xz2 JoI cos 一 Sin 卩 I=4/2 ×于是D(IX -