231直线与平面垂直的判定定理精编版

1、2.3.1 直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 复习引入复习引入 1.直线和平面的位置关系是什么直线和平面的位置关系是什么? （1）直线在平面内（无数个公共点）；）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）直线和平面平行（没有公共点）. 2.在直线和平面相交的位置关系中，有一种相交是很在直线和平面相交的位置关系中，有一种相交是很特殊的，我们把它叫做垂直相交特殊的，我们把它叫做垂直相交. 这节课我们重点来探究这种形式的线面相交这节课我们重点来探究这种形式的线面相交 . 实例

2、研探实例研探 探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢 ? ? 生活中线面垂直的实例生活中线面垂直的实例 : : 旗杆与地面垂直旗杆与地面垂直 路灯与地面垂直路灯与地面垂直 实例研探实例研探 探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直探究：什么叫做直线和平面垂直呢？当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢 ? ? A 生活中线面垂直的实例生活中线面垂直的实例 : : 在阳光下观察直立于地面的

3、旗杆在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直（如图）所在的直线垂直（如图）. . 事实上，旗杆事实上，旗杆ABAB所在直线与地面所在直线与地面内任意一条不过点内任意一条不过点B B的直线也是垂的直线也是垂直的直的. . C C1 B B1 1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 ?内的内的任意一条直线任意一条直线都垂直，都垂直，l和一个平面和一个平面 (1)如果一条直线如果一条直线 l ?l与平面与平面?则称直线则称直线

4、 互相垂直，记作互相垂直，记作 . ?的的垂线垂线，平面，平面 ?叫做直线叫做直线 l叫做平面叫做平面 l的的垂面垂面. . 直线直线 它们惟一的公共点它们惟一的公共点P P叫做叫做垂足垂足. . 画法：通常把直线画成与表示平面的画法：通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直平行四边形的一边垂直. 注注1： 定义中的定义中的“任意一条直线任意一条直线”与与“所有直线所有直线”是同义词，但与是同义词，但与“无数条直线无数条直线”不同不同. 该定义作用：该定义作用：“线面垂直线面垂直? ? 线线平行线线平行”，这是判断两条直线，这是判断两条直线a ?,b?a?b垂直时经常使用的一种方法，垂

5、直时经常使用的一种方法，即即辨析 探究探究 有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ 1.能不能像判定直线与平面平行那样，利用直线与平能不能像判定直线与平面平行那样，利用直线与平面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢？面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直呢？ l C m B l n ? 2.一条直线不行，那么又能不能像判断平面与平面平一条直线不行，那么又能不能像判断平面与平面平行那样，利用直线行那样，利用直线l与平面内两条直线与平面内两条直线m，n都垂直来判都垂直来判定直线与平面垂直呢？定直线与平面垂直呢？ 当平面内当平面内m，n平行

6、的时候，这并不能判定平行的时候，这并不能判定l垂直于垂直于. 探究探究 有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？ 活动：请同学们准备一块三角形活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的纸片，我们一起来做如图所示的试验：的试验：过过ABC的顶点的顶点A翻折翻折纸片，得到折痕纸片，得到折痕AD，将翻折后的，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（纸片竖起放置在桌面上（ BD、DC与桌面接触）与桌面接触）. 问问:折痕折痕AD与桌面垂直吗？如何与桌面垂直吗？如何翻折才能保证折痕翻折才能保证折痕AD与桌面所在与桌面所在平面垂直？平面垂直？

7、 ACD?B当且仅当折痕当且仅当折痕 AD 是是 BC 边上的高时，边上的高时，AD所在直线与所在直线与?垂直垂直 桌面所在平面桌面所在平面 2.直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 (1)定理：如果一条直线和一个平面内的定理：如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线两条相交直线 都都垂直垂直，则这条直线垂直于这个平面，则这条直线垂直于这个平面. 注注2：该定理的条件中，：该定理的条件中，“平面内的两条相交直线平面内的两条相交直线”是关键性词是关键性词语语.不能用不能用“两条直线两条直线”，“无数条直线无数条直线”替换替换.即即 l?m,l?n?m?,n?l /?mn?A?l?m

8、A n 该定理作用：该定理作用：“线线垂直线线垂直? ? 线面垂直线面垂直” 应用该定理，关键是证明在平面应用该定理，关键是证明在平面?内有两条相交直线与已知直线内有两条相交直线与已知直线垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的垂直，至于这两条直线是否与已知直线有公共点则是无关紧要的. a/ b,a?，求证：，求证：例例 如图，已知如图，已知 ?.b证明：在平面证明：在平面 ?内作两条相交直线内作两条相交直线m，n a?， 因为直线因为直线 根据直线与平面垂直的定义知根据直线与平面垂直的定义知 a?m ,a?n.abn又因为又因为 b/a?m所以所以 b?m ,b?n .又又

9、m?,n?,m ,n是两条相交直线，是两条相交直线， 所以所以 b?.例例 正方体正方体 1B1? 面DB1B1D1AABCD?A1B1C1D1中，求证：中，求证：A1B1C1D1是正方形,?A1C1?B1D1.DD1? 面A1B1C1D1,?DD1?A1C1.又B1D1DD1=D1A1DABD1B1CC1?A1C1? 面DBB1D1?A1C1?BD1，A1C1?DB1另证： DD1? 面A1B1C1D1,DD1? 面DBB1D1? 面A1B1C1D1? 面DBB1D1又面A1B1C1D1面DBB1D1?B1D1，且A1C1? 面A1B1C1D1，A1C1?B1D1?A1C1? 面DBB1D1

10、小结论：小结论： 正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面；正方体中，面的对角线垂直于过另一条面的对角线的对角面； 正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直正方体中，异面的体对角线和面对角线互相垂直. 练练 如图为直四棱柱如图为直四棱柱 (ABCD?ABCD侧棱与底面垂直侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱），其底面的棱柱称为直棱柱），其底面 ABCD是一个是一个菱形菱形. 求证：求证： C?BDAP66 探究：直四棱柱探究：直四棱柱 ABCD?ABCD中，底面四边形中，底面四边形满足什么条件时，能使得满足什么条件时，能使得 . AC?BD底面四边形的对角线互相垂直！底面四边形的对角线

11、互相垂直！ A B A B D C D C 3.直线和平面所成角直线和平面所成角 1) 斜线斜线: 和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线 2) 斜足斜足: 斜线和平面相交的交点斜线和平面相交的交点 P 3) 斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影: 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影的射影. ?A O 平面的平面的斜线斜线和它在平面内的和它在平面内的射影射影所成的所成的锐角锐角， 叫做叫做直线和平面所成的角直线和平面所成的角 . 在Rt POA

12、中，求解?PAO的大小.说明说明:若直线若直线垂直垂直平面，则直线和平面所成的角为平面，则直线和平面所成的角为90 若直线与平面若直线与平面平行平行或直线或直线在平面内在平面内，则直线和平面所成的角为，则直线和平面所成的角为0 直线和平面所成角的取值范围为直线和平面所成角的取值范围为 00,90,90 例例 如图，正方体如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：中，求： (1) 直线直线A1B和平面和平面BCC1B1所成的角；所成的角； (2) 直线直线A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角. 分析分析: 关键是找出平面关键是找出平面BCC1B1和平面和平面A1B1CD内的垂线内的垂线. D D1 1 A A1 1 C C1 1 B B1 1 O D D C C B B A A 一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 (1)定义：定义： l?l垂直于平面?内的所有直线.(2)判定定理：判定定理：l 垂直于平面?内的两条相交直线?l?(3)线线垂直的常用证明方法：线线垂直