一元二次方程综合运用试题

1、5学习好资料欢迎下载一元二次方程综合运用试题一、填空题:1 1 方程(m 3)x4n_ (m - 1)x -仁0是关于 x x 的一元二次方程，则m n =答案：一 3 3； 1 1解析：根据一元二次方程的定义可知：m 3故m一3,且4-2n =2.故n =1.2.2. 关于 z z 的方程mx2- m(x 2) = x(2x 3)1;(1)(1) 当 m m_ 时，这个方程是一元二次方程；(2)(2) 当 m m_ 时，这个方程是一元一次方程.答案：(1)2; (2)=2解析：(1)(1)原方程化为一般形式为(m-2)x2-(m 3)x-2m-1 = 0,当二次项系数m-20时，这个方程是一

2、元二次方程，故m孑2:(2)(2)当二次项系数m-2=0时，m=2.此时二次项系数为零，而一次项系数恰好不为零，故m = 2时这个方程是一元一次方程.3.3. 已知方程x2-k( ,2 -1) = k -1的根是x =2,则k =,3(3+72)答案：k二7解析：因为x2是方程x2-kC 2 -1)x = k -1的根，所以x = .2应适合于方程，把x = 2代入方程得到关于 k k 的一元一次方程，解得k二337二、选择题：4 4. (2004(2004 郴州市) )方程x2 6x - 5二0的左边配成完全平方后所得方程为()()2A.(x 3)=14C.(x 6)2 =12答案：A A5

3、 5已知：关于 2 2 的方程mx2- 2(3m - 1)x 9m -1 = 0有两个实数根，则/ 口J1A.mB.m且m洋0C.mD.m -5555答案：B B解析：.方程mx 2(3m1)x+9m-1 = 0有两个实根.14mf4mf 9 9m -1)一0,解得m 且m以0,故 B B 正确.注意：不能丢掉m 0的隐含条件.2B.(x-3) =14D D 以上答案都不对m m 的范围为()()I2_4ac=-2(3m _1)2口护0,学习好资料欢迎下载6 6已知 a a、b b、c c 是-ABC的三条边，且方程(c-b)x2 2(b-a)x a-b = 0有两个相等实数根，那么，这个三角

4、形是()()A A等边三角形B B等腰三角形C C直角三角形D D等腰直角三角形答案 B B解析：根据题意，得厶二2(b -a)2-4(c-b)(a-b) =0,2 2 2b -2ab a - ac be ab - b =0,2a -ab be - ac = 0,a(a -b) -c(a -b) = 0,(a -b)(a - c) = 0,.a-b=0或a-c=0,. a=b或a =c.故 B B 正确.注意：a =b与a = C之间是“或者”关系，不是“并且”关系，所以不能得到a = b = c.7 7. (2004(2004 海南省) )已知关于 2 2 的方程x2-(2m-1)x - m

5、2= 0有两个不相等的实数根，那么m m 的最大整数值是()()A.-2B.-1C.0D.1答案：C C解析：。方程有两个不相等的实数根.2 21.-(2m -1) - 4m 0,. m ,4- -m m 的最大整数值是 0 0,故 C C 正确.三、解答题：& &用因式分解法解下列方程：2(1)4(x -3) x(x3)=0(2)7x(x-3) =3x-9(3)16(1 x)2=25;(4)25(3x -2)2=(2x -3)2.解析：此题要注意运用换元的思想.解：(1) (x 3)4(x -3) -x =0, (x -3)(3x -12) = 0,x -3 =0或3x -12二0,解得为=

6、3,X2二4(2) 7x(x一3) =3(x 3),7x(x -3) 3(x -3) =0,(x 3)(7x 3)=0,x 3=0或7x 3=0,3解得：x1= 3, x2=37(3) 16(1 x)225 =0,4(1 x) 54(1 x) -5 =0,(4x9)(4x -1) =0;4x 9=0或4x -1 =0,91解得: :x1, x24422(4) 25(3x - 2)- (2x - 3)= 0,5(3x - 2)(2x - 3) 5(3x - 2) - (2x _ 3) = 0(17x -13)(13x -7) =0,17x -13 =0或13x - 7 =0,学习好资料欢迎下载9

7、 9解方程x2_5|x| 4 =0.解析：解含未知数绝对值的方程一般有两种思路：一是设法填绝对值符号，把原方程化为关于| x |的一元二次方程，先求I X |的值，再进一步求 2 2 的值；二是设法脱去绝对值符号，把原方程 化为关于 z z 的一元二次方程，脱去绝对值符号的方法是要对2 2 分类讨论.2 2 2解法：；x =|x| ,原方程可化为：|x| 5|X| y=：0,(I X| -1)(| x I -4) =0,|x|=1R|x| = 4, x一土 1 1 或x =4.解法二：当x二0时，原方程左右两边的值不相等，.x：0,当x 0时，原方程可化为2x - 5x 4 = 0,捲=1,

8、x2= 4当x : 0时，原方程化为x25x 4 = 0, x3- -1, x4- -4.1010. (1)(1)已知方程x2-10 xy 9y2= 0,求证：x = 9y或x =y;3已知方程4x25xz -6z2= 0,求证：x =-2z或x乙4证明：原方程化为(x_5y) =16y ,x_5y=+=+4y, x = 9y或x = y;2(2)(2)原方程化为(x5z)2二已已1：,X -z=11z, x = -2z或x =3z.8648841111. m m 为何值时，方程2(m 1)x2 4mx (2m -1) =0有两个不相等的实数根？解析：注意不可漏掉隐含条件m 1二0.解：2 2

9、 2 2b -4ac = (4m) - 4 2(m 1)(2m -1) = 16m -16m 8m - 16m 8 = -8m 80, m：1,2m 1二0,. m圭一1厂 当m：1且m -1时，方程2(m 1)x 4mx (2m -1) = 0有两个不相等的实数根.1212已知方程(m -1)x2 2mx m -2二0有实根，求 m m 的取值范围.解析：注意讨论一元一次方程和一元二次方程两种情况.1解：根据题意得当m1=0时即m = 1,原方程为2x = 1x=，2解得：x113721713学习好资料欢迎下载当m -1玉0时即m于1,有b2-4ac二(2m)2-4(m T)(m -2) =

10、 4m2-4m212m -8二12m -8丄0, m丄232-m的取值范围是m - 3学习好资料欢迎下载学习好资料欢迎下载11313若关于 2 2 的方程x2-(a _1)x a2=0有两个不相等的实数根，试化简代数式44a2-12a 9 -4a 4a2.1解析：注意负数的绝对值等于其相反数，当a：时，| 2a 3131 等于3 - 2a.211解：厶=-(a一1)2-4 a2二a2-2a 1 - a2- -2a 1 0,. a ,421当a时 原式=|2a - 3|-|1 2a|=32a -(1 2a) =32a 1 2a=2.21414、 当 m m 是什么整数时，mx2-4x *4 =

11、0与x2-4mx 4m2-4m-5=：0的根都是整数？解：o. 一元二次方程mx2-4x +4 =0有整数根2 2,.b -4ac=(-4) -4 4m亠0,md1,又。.o方程x2-4mx 4m2-4m -5=0有整数根2 2 2,b -4ac=(-4m) -4(4m -4m-5)_0,m45由、得：m乞1,；m为整数，.m - -1,0,1,4当m =0时，方程mx2-4x 4=0的二次项系数为零，不合题意，舍去；当m=1时，方程mx2-4x 0为x2-4x 4 = 0,其根为治=x2二2;方程x2-4mx 4m2-4m-5 =0为x2-4x -5二0,其根为x1= 5, x2二-1;当m

12、- -1时，方程mx24x 4 = 0为x2 4x4 = 0,其根不是整数；.当m= 1时，关于 2 2 的一元二次方程mx24x 4二0与方程x4mx 4m24m5 = 0的根都是整数.15.15. 求方程14x2- 4xy T1 y2- 88x亠34y 149 = 0的实数解.解：把原方程整理成关于 2 2 的二次方程，得14x2-4(y 22)x 11y234y 140,因为此方程有实数解，所以b2-4ac =-4(y 22)2-4 14 (11y234y 149) = -600(y 1)2 0,2 2(y 1)乞0,又(y 1) -0, y 1=0,y = -1,当y - -1时，原方

13、程化为2x -6x二。,.人=X2=3.原方程的实数解为% =x2=3,y = y2 = t .学习好资料欢迎下载16.16. 设 a a、6 6、c c 为三角形的三条边长.求证：方程b2x2(b2c2a2)x - c2= 0无实根.22 2、2 2 2 22 2 22 2证明：=(b c -a ) -4b c = (b c-a2 bc)(bc -a -2bc)2 2 2 2 ”二(b c) _a (b -c) _a = (b - c a)(b c _a)(b _c a)(b - c - a),a.b.c是三角形的三条边，.b c a 0, b c - a 0, b - c a 0,b -

14、c - a：0,心v0,二原方程无实根.17.17.若方程(a2C2)x22(b2-c2)x c2-b2=0有两个相等的实数根，且a a、b b、c c 是ABC的三条边，求证：ABC是等腰三角形.证明：22、_2一22、/2. 242242 22 24,22:二2 (b -c ) -4(a c )(c-b) = 0,. b -2 b c c -ac a b-c bc二0,b -b c -a c ab = 0,b(b - c ) a (b - c)=0,(b- c )(ab )=0,(ab )(b c)(b-c)=0, a、b、c是ABC的三条边,a2b20,b c 0,只能b-c=0,. b

15、 = c, =ABC是等腰三角形.18.18. 设mk k 为有理数，当 k k 为何值时，关于 z z 的方程x2 4mx 4x 3m22m 4k = 0的根为有理数？解：把原方程化为x2-4(m -1)x (3m2-2m 4k) =0,2 2 2 2.b -4ach6(m-1) -4(3m -2m 4k)=4m -6m (4-4k).要使方程的根为有理数，其判别式应为完全平方式，即关于m m 的二次三项式m2-6m (4-4k)所对应的方程有等根.因此它的判别式b2-4ac =(-62) -4(4-4k) = 0,5即36-1616k =0,k,45.当k时，方程的根为有理数.419.19. 已知关于 x