7 4积分与路径无关精编版

1、 ?F?ds?P(x,y)dx?Q(x,y)dyLL 一般地，第二类曲线积分值是与积分曲线一般地，第二类曲线积分值是与积分曲线L有关的，有关的， 具体是指：具体是指： 1. 积分曲线的起点与终点；积分曲线的起点与终点； 2. 积分曲线的路径（形状）；积分曲线的路径（形状）； 但个别第二类曲线积分只与起点和终点有关，但个别第二类曲线积分只与起点和终点有关， 而与积分路径无关。而与积分路径无关。 y dx?2xydy引例引例. 计算计算? ，其中，其中L为为: L2(1) 从点从点O(0，0)沿上半圆沿上半圆x2 +y2 =2x到点到点A(2，0)。 (2)从点从点O(0，0)沿折线沿折线y=1-

2、|1-x|到点到点A(2，0)。 (3) 从点从点O(0，0)沿沿x轴到点轴到点A(2，0)。 可以算得可以算得: (1)?y dx?2xydy2?0L2(2)?y dx?2xydy? 0L2y B (3)?y dx?2xydyL?0o 1 A x 2 注意：被积函数相同，起点和终点也相同，注意：被积函数相同，起点和终点也相同， 路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同 !. !. 第二类曲线积分与路径无关？第二类曲线积分与路径无关？ 一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义 二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件 三、求原函数三、求原函数 四、全

3、微分方程四、全微分方程 一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义 设设D是平面开区域，函数是平面开区域，函数P(x,y)、 Q(x,y)在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数. 如果如果D内内任意任意两个指定点两个指定点A, B, 以及在以及在D内从点内从点A到点到点B的的 任意任意两条有向曲线两条有向曲线L1，L2 , 恒有：恒有： ? ?L1Pdx? ?Qdy? ? ?LPdx? ?Qdy成立，成立， 2则称曲线积分则称曲线积分 ? ?Pdx? ?Qdy在在D内与路径无关内与路径无关, L问题：在什么条件下，第二类曲线积分与积分路径无关？问题：在什么条件下，第二类曲

4、线积分与积分路径无关？二二 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件 定理定理1 设设D为平面内的为平面内的单连通区域单连通区域，函数，函数P(x，y)，Q(x，y)在在D上有上有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价，则下列四个命题等价， (1) 沿沿D内内任任一闭曲线一闭曲线L，有，有 P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy在在D内与积分路径无关；内与积分路径无关； (2) (3) P(x，y)dx+Q(x，y)dy在在D内是某一函数内是某一函数u(x，y)的全微分，的全微分， 即即du(x，y)= P(x，y)dx+Q(x，y)dy. (4) 在在D内内每一

5、点每一点满足满足 ? ?Q ? ?L? ?LP(x，y)dx? ?Q(x，y)dy 0? ?P? ? ?x? ?yu(x，y)? ? ?P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy方法：方法： 求函数求函数 (x，y )00(x，y)（M0(x0,y0)为定点，为定点，M(x,y)为任意点为任意点, 且积分与路径无关！）且积分与路径无关！） M0NM为积分路径：为积分路径： 1. 选取选取 Y M(x，y)u(x，y)? ? ?(x，y )? ? ? ? ?M NNM00(x，y)P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy? ? ?0M0(x0，y0)yN(x,y0)?M0N?P(x，y0)dx ,x0

6、 xX?NM?Q(x，y)dy ,y0? ?u(x ，y)? ? ?P(x ，y0)dx? ? ?Q(x ，y)dyx0y0 xyM0KM为积分路径：为积分路径： 2. 选取选取 u(x，y)? ? ?(x，y )00(x，y)P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy?xM0K?KM?M0K?yy0Q(x0，y)dy ,?KM?P(x，y)dxx0u(x，y)? ?Y ? ?yy0Q(x0，y)dy M(x，y)? ?xx0P(x，y)dxK(x0,y)M0(x0，y0)X 由定理由定理1知：知： （两个常用结论）（两个常用结论） 设设D为单连通区域，函数为单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，

7、y)在在D内有连续的一阶偏导数，内有连续的一阶偏导数， P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy在在D内与积分路径无关内与积分路径无关 1、? ? L? ?Q? ?P? ? ?x? ?y 2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是是D内某一函数内某一函数u(x，y)的全微分，的全微分， 即即du(x，y)= P(x，y)dx+Q(x，y)dy. ? ?Q? ?P? ? ?x? ?y且且 u(x，y)? ? ?(x，y)(x0，y0)P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy（称（称 u(x,y) 为为P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个的一个原函数原函数） y dx?2xydy引例引例. 计算计算

8、? ，其中，其中L为为: L2(1) 从点从点O(0，0)沿上半圆沿上半圆x2 +y2 =2x到点到点A(2，0)。 (2)从点从点O(0，0)沿折线沿折线y=1-|1-x|到点到点A(2，0)。 (3) 从点从点O(0，0)沿沿x轴到点轴到点A(2，0)。 可以算得可以算得: (1)?y dx?2xydy2?0L2(2)?y dx?2xydy? 0L2y B (3)?y dx?2xydyL?0o 1 A x 2 ?Q?P? 2y?x?y所以该积分与路径无所以该积分与路径无关关 例例 1 计算：计算： 解：解： ? ?(0 ， 1)（2, 0 ）(x? ?y)(dx? ?dy ).? ?(0,

9、 1)（2 , 0 ）(x? ?y)(dx? ?dy )? ? ?(0, 1 )（2, 0 ）(x? ?y)dx (y? ?x)dy? ?Q? ?P? ? ? ?1? ? ?x? ?yP?x?y,Q y-x .与路径无关，与路径无关， 故可如图选取路径：故可如图选取路径： ?Q?P?由于由于 在整个平面在整个平面(单连通区域单连通区域)上均成立，则此积分上均成立，则此积分 ?x?y原式 ?(x?y)dx?(y?x)dy?(x?1) dx?033? ?0? ? ?222L1?L2(x?y)dx?(y?x)dy1 O ?01(y? 2)dyL1(2，1) L22 xedy? ?yedx，其中，其中

10、L: x2 + xy + y2 =1 为为 例例2： 求求 L逆时针方向逆时针方向 解：解： ? ?x2? ?y21? ?xy? ?Lxe x2? ?y2 dy? ?ye1?xy1? ?xydx? ? ?x e L1? ?xy dy? ?ye1? ?xydxP?ye ，Q x e1?xy.? ?Q? ?P1? ?xy 由由 在整个平面上均成立，在整个平面上均成立， ? ?(1? ?xy )e? ? ?x? ?y知知 ? ?x e L1? ?xy dy? ?ye1? ?xydx在整个平面上与路径无关在整个平面上与路径无关 ?xeLx2?y2dy?ye1?xydx? ?x e L1?xy dy?y

11、e1?xydx? 0 总结总结: 计算计算 ? ?P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy , L? ?DL(D为单连通区域，为单连通区域， ?Q?PP,Q有连续偏导数有连续偏导数) 若 ? 在D 内成立，?x?y则则 该积分在单连通区域该积分在单连通区域D内与路径无关内与路径无关! 1. 若若L是封闭曲线，且是封闭曲线，且 L? ?D,则则?LP(x，y)dx?Q(x，y)dy 02. 若若L是未封闭的曲线，可选取是未封闭的曲线，可选取 简单的路径简单的路径来计算积分来计算积分. 注意注意: 第二类曲线积分与路径无关的定理要求第二类曲线积分与路径无关的定理要求 区域区域 D是单连通的是单连通的

12、，且函数，且函数P(x，y)，Q(x，y)在在D内有内有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数，否则，否则 结论未必成立。结论未必成立。 例如：例如： ? ?Lxdy? ?ydxx? ?y22（L为简单闭曲线，方向为逆时针为简单闭曲线，方向为逆时针， 见见P186,例例3） L ?yx22P?22，Q2 ,2 ( x?y?0)x?yx?y? ?Qy? ?x? ?P22? ?2? ?， (x? ?y? ?0 )? ?x(x? ?y2)2? ?y22所以在不含原点的所以在不含原点的单连通区域单连通区域内，积分与路径无关。内，积分与路径无关。 即即 当当L不包含原点时，不包含原点时， O ? ?Lxdy?

13、 ?ydxx? ?y22? ? 0 当当L所围区域所围区域D含原点时，含原点时，P、Q在（在（0，0）点无意义（如图）。）点无意义（如图）。 ?Lxdy?ydx2?22x?yL O （L方向为逆时针）方向为逆时针） (x? ?y)dx? ?(x? ?4y)dy 例例3： 求求 ，其中，其中L为从点为从点(1，Lx2? ?4y2? ?0)沿上半圆沿上半圆x2 + y2 =1到点到点(-1，0)。 解：解： P?x?yx?4y22，Q x?4yx?4y22 (x?y?0.)22?Q?x2?8 xy?4y2?P?在整个平面上除原点外均成立，在整个平面上除原点外均成立， 22 2(x?4y )?y?x

14、则此积分在不含原点的则此积分在不含原点的单连通区域单连通区域内与路径无关，内与路径无关， 故可选取故可选取 新路径新路径： L? ?: x? ?4y? ?1, ( y? ?0)则则 221L ? ?L(x? ?y)dx? ?(x? ?4y)dyx? ?4y(x? ?y)dx? ?(x? ?4y)dy22L? ? ?11? ?L? ?22x? ?4y? ? ?(x? ?y)dx? ?(x? ?4y)dy? ?L? ?O 1L? ?:x? ?cos t，y? ?sin t其中其中 t 从从0到到 ? ?2? ?L(x? ?y)dx? ?(x? ?4y)dy? ?11? ?(cost? ?sint)

15、(? ?sint)? ?(cost? ?2sint)costdt022? ?122? ? ?(cos t? ?sin t)dt0222? ? ?1? ? ?dt20L? ?: x? ?4y? ?11? ? ? ? ?1O 2.P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy的方法的方法： 计算计算 ? ?L(平面上的第二类曲线积分平面上的第二类曲线积分) 方法一方法一: 积分与路径无关。积分与路径无关。 ?Q?P?需计算及 ，?x?y方法二方法二: 格林公式。格林公式。 ?方法三方法三: 直接转化为定积分。直接转化为定积分。 三、求原函数三、求原函数 若若 存在可微函数存在可微函数u(x,y), 使使

16、du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, 则称则称 u(x,y)是是P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个的一个原函数原函数. 由定理由定理1知知 ，若，若P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域在单连通区域D 内存在连续的一阶偏导数，则内存在连续的一阶偏导数，则 P(x，y)dx+Q(x，y)dy是是D内某一函数内某一函数u(x，y)的全微分，的全微分， 即即du(x，y)= P(x，y)dx+Q(x，y)dy. 且且 ? ?Q? ?P? ? ?x? ?yu(x，y)? ? ?(x ，y )00(x，y)P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy（M0(x0,y0)为为D内定点，内定

17、点，M(x,y)为任意点为任意点, 且积分与路径无关且积分与路径无关!） u(x，y)? ? ?P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy的方法：的方法： 求原函数求原函数 (x，y )00(x，y)（M0(x0,y0)为定点，为定点，M(x,y)为任意点为任意点, 且积分与路径无关！）且积分与路径无关！） M0NM为积分路径：为积分路径： 1. 选取选取 Y M(x，y)u(x，y)? ? ?(x，y )? ? ? ? ?M NNM00(x，y)P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy? ? ?0M0(x0，y0)yN(x,y0)?M0N?P(x，y0)dx ,x0 xX?NM?Q(x，y)dy

18、,y0? ?u(x ，y)? ? ?P(x ，y0)dx? ? ?Q(x ，y)dyx0y0 xyM0KM为积分路径：为积分路径： 2. 选取选取 u(x，y)? ? ?(x，y )00(x，y)P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy?xM0K?KM?M0K?yy0Q(x0，y)dy ,?KM?P(x，y)dxx0u(x，y)? ?Y ? ?yy0Q(x0，y)dy M(x，y)? ?xx0P(x，y)dxK(x0,y)M0(x0，y0)X (x? ?2xy? ?2y )dx? ?(x? ?4xy)dy在整个在整个xOy面上面上 例例4 验证验证 222是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数

19、。是某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。 解：解： P?x?2xy?2y，Q - x?4xy .222? ?Q? ?P? ? ? ?2x? ?4y? ?在整个平面上均成立在整个平面上均成立 ? ?x? ?y 故在整个平面上故在整个平面上 (x? ?2xy? ?2y )dx? ?(x? ?4xy)dy 是某函数是某函数u(x,y)的全微分；的全微分； 且且 u(x，y)?222?x(x ，y)(0, 0)(x?2 xy?2 y)dx?(x?4 xy )dyy20222?x dx?(x?4xy)dy02(x，y) 1322? ?x? ?x y? ?2xy .3O (x，0) 四、全微分方程四、

20、全微分方程 定义定义 如果方程如果方程P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?0的左边的左边P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy恰好是某函数恰好是某函数u? ?x,y? ?的全微分的全微分, ,则称方程则称方程P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?0 为全微分方程为全微分方程. .判别：判别： P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域在单连通区域D 若若内存在连续的一阶偏导数，则内存在连续的一阶偏导数，则 P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?0为全微分方程为全微分方程? ? ?P? ?Q? ?.? ?y? ?x求

21、解全微分方程：求解全微分方程： 若若P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?0为全微分方程为全微分方程, ,则存在函数则存在函数u? ?x,y? ?,使得使得du? ?x,y? ? ?P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?0与与 du? ?x,y? ? ?0 同解同解. ? ?u? ?x,y? ? ?C亦是亦是P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?0的通解的通解. .故求解全微分方程故求解全微分方程 P? ?x,y? ?dx? ?Q? ?x,y? ?dy? ?0亦即求亦即

22、求P(x,y)dx+Q(x,y)dy的一个原函数的一个原函数 u(x,y) 。 而而 du? ?x,y? ? ?0的通解为的通解为: u? ?x, y? ? ?C(C为任意常数为任意常数) 例例5 求解微分方程求解微分方程 (2x-y2 )dx-(2xy+1)dy=0。 解：解： P?2x?y2，Q? ?2xy?1.? ?Q? ?P? ? ? ?2y? ? ?x? ?y故故 (2x-y2 )dx-(2y+1)dy=0是全微分方程；是全微分方程； u(x，y)? ? ?x0(2x? ?y )dx? ?(2 xy? ?1 )dy(如图取积分路径如图取积分路径) (0 , 0 )y0(x，y)2?2

23、xdx?(2 xy?1) dy? ?x? ?xy? ?y则方程的通解：则方程的通解： 22(x，y) x? ?xy? ?y? ?C22O (x，0) 求解全微分方程的步骤：求解全微分方程的步骤： 1. 判定方程是否为全微分方程判定方程是否为全微分方程 ? ?Q? ?P(? ?)? ?x? ?y2. 求求P(x，y)dx+Q(x，y)dy 的原函数的原函数u(x，y)； 3. 写出通解写出通解u(x，y)=C； 其中其中u(x，y)? ? ?(x，y)(x0，y0)P(x，y)dx? ?Q(x，y)dy注注: : 有些非全微分方程可以转化为全微分方程有些非全微分方程可以转化为全微分方程 . .

24、如如 xdy-ydx=0 不是全微分方程，不是全微分方程， 1xy 得得 dy?dx? 0 而乘以而乘以 ?(x,y)?xyxyxy11即dy?dx?0 (全微分方程全微分方程!) yx即 d(ln y-lnx)?0,1?(x,y)?称称 为方程的一个为方程的一个积分因子积分因子. xy若一阶常微分方程：若一阶常微分方程：P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0 不是全微分方程。不是全微分方程。 ? ?(x，y)? ?0使方程使方程 但存在但存在 ? ?(x，y)P(x，y)dx? ? ?(x，y)Q(x，y)dy? ?0? ?(x，y)为方程的为方程的积分因子积分因子。 为全微分方程，则称函数

25、为全微分方程，则称函数 一般来讲，求积分因子的难度较大，在一般来讲，求积分因子的难度较大，在常微分方程常微分方程中有详细的涉及。中有详细的涉及。 2yy1y2练习：练习： 证明：证明：I=I=? ?2xy? ?3f(2)dx? ?(2f(2)? ?x )dy ,xxxx在不包含在不包含y y轴的区域内，积分与路径无关，并计算其轴的区域内，积分与路径无关，并计算其L值。其中值。其中L为点为点A A(1,2) 到点到点B B(2,8) 的直线段，的直线段，f(x)在在(0,+(0,+? ?)上有连续的导数。上有连续的导数。解：解： 2yyP? ?2xy? ?3f(2),xx1y2Q? ?2f(2)

26、? ?xxx? ?Q? ?P1y2yy? ?2 x? ?23f(2)? ?5f? ? (2)? ?, (x? ?0)? ?x? ?yxxxx故在不包含故在不包含y轴的区域内轴的区域内, 该积分与路径无关该积分与路径无关 ? ?y? ?2选积分路径选积分路径 L1：,x:1? ?2? ? ?x? ?x? ?x? ?2L2：,y: 2? ?8? ? ?y? ?y2yy1y2I=I=? ?2xy? ?3f(2)dx? ?(2f(2)? ?x )dyL1? ?L2xxxx8142y? ? ?4 x? ?3f(2)dx? ? ?(f( )? ?4) dy124xx42? ? 30选积分路径选积分路径 L

27、? ? ：y? ?2x2起点起点: :x? ?1,2 23终点终点: :x? ?2,412I=I=? ?4x? ?f(2)? ?(2f(2)? ?x )4xdxxx12 233= =? ?4x? ?4x dx= = 8x dx? ? 30? ?3112 2 思考题思考题: 设f(x)具有连续的导数，且 f(?)?1, 已知曲线积分ysinx?f(x)dx?f(x)dy 在右半平面（ x? 0)内?Lx求：f(x)；与路径无关。1答： f(x)?(C?cosx),xC?1(单元检测题单元检测题) (x? ?y)dx? ?(x? ?y)dy22例例5： 验证验证 在右半平面在右半平面(x0)上是上

28、是x? ?y某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。某一函数的全微分，并求出一个这样的函数。 解：解： ?Q?x?x?2xy?y?P?22 2?y(x?y )22由于上式在整个平面上除原点外均成立，故由于上式在整个平面上除原点外均成立，故 (x? ?y)dx? ?(x? ?y)dyx? ?y22且且 在右半平面上是某一函数的全微分；在右半平面上是某一函数的全微分； u(x，y)? ? ?(1 ， 0)(x，y)(x? ?y)dx? ?(x? ?y)dyx? ?y22如图所示如图所示, 取积分路径，取积分路径， u(x，y)? ? ?(1 ， 0)(x，y)(x? ?y)dx? ?(x? ?y)

29、dyx? ?y22?x11dx?x?y0 x?ydy22x?y(x，y) O 1 (x，0) y122? ?lnx? ?arctan? ?lnx? ?ln(x? ?y )x2y122? ?arctan? ?ln(x? ?y )x2? ?(0)? ? ? ?1， (x)具有连续的导数，且具有连续的导数，且 例例5 设函数设函数? ? 2xy? ?y? ? ?(x)ydx? ? ?(x)? ?2xydy? ?0 .? ?(x)使方程使方程 试确定试确定 (见见P203例例7) 为全微分方程，并求其通解。为全微分方程，并求其通解。 ? ?Q? ?P? ?要使方程为全微分方程，只需要使方程为全微分方程

30、，只需 ? ?x? ?y即：即： 解：解： P?xy?y?(x)y，Q-?(x)?2xy2? ? ?(x)? ? ?(x)? ? ? ?x?dxdx? x?(x)?eC?xedx ?Ce?x?1，? ? x? ?(0 )? ? ? ?1又又 ，从而，从而C= -2， ? ?(x)? ? ? ?2e? ? x ? ?1，代入原方程得全微分方程：代入原方程得全微分方程： (y? ?y? ?2ye2? ? x)dx? ?(2e? ?x-2xy-1)dy? ?0 .-x于是于是 u(x，y)? ? ?(0 , 0 )y0(x，y)(y? ?y? ?2ye )dx? ?(2 e?x2? ?x? ?x?

31、?x? ?2 xy? ?1 )dy(x，y) ? 0?(2 e?x?2 xy?1) dy? ? 2ye? ? x? ?xy? ?xy? ?y? ?x2O (x，0) 则方程的通解：则方程的通解： 2ye? ?xy? ?xy? ?y? ?C.27.5 场论初步场论初步 一一 场场 二二 向量场的向量场的通量与散度通量与散度 三三 向量场的向量场的环流量与环流量与旋度旋度 一一 、场、场 若在空间区域若在空间区域V中每一个点中每一个点,都对应着某个物理量都对应着某个物理量 的一个确定的值的一个确定的值,则称则称V中确定了该物理量的一个中确定了该物理量的一个场场. 当物理量为数量时当物理量为数量时,

32、称之为称之为数量场数量场. (如温度场如温度场,密度场等密度场等) ( 如力场如力场, 流速场等流速场等) 当物理量为向量时当物理量为向量时,称之为称之为向量场向量场. 二二. 向量场的向量场的通量通量与与散度散度: 设空间区域空间区域V内内有向量场 A(x.y.z)?P(x.y.z)i?Q(x.y.z) j?R(x.y.z)k, (x.y.z)?VS为空间区域为空间区域V内有向光滑曲面内有向光滑曲面, 则称则称 ?A?dS?A?n0dSS(n0为S的单位法向量 )SA通过通过S流向指定一侧的流向指定一侧的通量通量. 为向量场为向量场 ?P?Q?R称?为A 的散度, ?x?y?z记为divA?P?Q?R?)dV Gauss公式公式: ?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?(?x?y?zVS即即 ?SA?dS?divAdV?V三三. 向量场的向量场的环流量与环流量与旋度旋度: 设空间区域设空间区域V内有向量场内有向量场 A(x.y.z)?P(x.y.z)i?Q(x.y.z) j?R(x.y.z)k, (x.y.z)?VL为空间区域为空间区域V内有向光滑封闭曲线内有向光滑封闭曲线, (?0为L的单位切向量 )则则?L?L称称 ?R?Q?P?R?Q?P记为rotA称(?)i?(?)j?(?)k为A 的旋度, ?y?z?z?x?x?yA?dS?A沿沿L的的环流