北京市西城区2017届高三数学上学期期末考试试题理

1、北京市西城区2016 2017学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)第I卷(选择题共40分)选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.131 .已知集合A x|02x 2 , B x|x(A) x|0 x< 1(C) x| 1< x 02 .下列函数中，定义域为 R的奇函数是(A) y x2 1(B) y tanx(B) x| 1< x 2(D) x|1 < x 2(C) y 2x(D) y x sinx3.已知双曲线x21(b 0)的一个焦点是(2,0),则其渐近线的方程为(A) x 3y 0(B) , 3x y

2、 0(C) x 3y 0(D) 3x y 04.在极坐标系中，过点(A)sin 1P(2,)且平行于极轴的直线的方程是6(B)sin 3(C)cos 1(D)cos 35.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是(A) 3(B) 2,5(C) 6(D) 3.5恻(左)视图« 2 *6.设a,b是非零向量，且ab.则 “ |a| |b|" 是 “(a b) (a b)” 的(A)充分而不必要条件(C)充要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件x< 3,7.实数x, y满足x y > 0, 若z ax y的最大值为3a 9,最小值为

3、3a 3,则a x y 6> 0.的取值范围是(A) 1,0(C) 1,1(B) 0,1(D) (, 1U1,)8.在空间直角坐标系O xyz中，正四面体P ABC的顶点A, B分别在x轴，y轴上移动.若该正四面体的棱长是2 ,则|OP |的取值范围是(A)点 1,73 1(B)1,3(C)4 1,2(D) 1,73 1第n卷(非选择题 共110分)、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.1 i9 .复数1 i；S610 .设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn .若a1 1 , a3 4 ,则烝11.执行如图所示的程序框图，输出的 S值为开始Ik -L S 112 .

4、在 ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,c.若c 3, Csin B 2sin A,则 a .13 .设函数f(x) 应 0<x<a,其中a 0 . log3X, x a,若 a 3,则 ff (9)若函数y f （x） 2有两个零点，则 a的取值范围是14 . 10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）.规定两人对局胜者得 2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且%一,一 ，4”，一第二名的得分是最后五名选手得分之和的则第二名选手的得分是 .5三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、

5、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分13分）已知函数f(x) sin(2 x ) 2cos2 x 1 (0)的最小正周期为死.6(I)求 的值；(n r)求f (x)在区间0 7E上的最大值和最小值.1216 .(本小题满分14分)如图，在四锥 P- ABCD 中，AD / BC , BAD 90 , PA PD , AB PA , AD 2,AB BC 1 .(I)求证：平面 PAD 平面ABCD ;(n)若E为PD的中点，求证：CE 平面PAB;(出)若DC与平面PAB所成的角为30 ,求四棱锥P- ABCD的体积.17 .(本小题满分13分)手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电

6、池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能 维持的时间称为手机的待机时间.为了解A, B两个不同型号.手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A, B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间(h)120125122124124123123B型待机时间(h)118123127120124ab其中，a, b是正整数，且a b.(I )该卖场有 56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；(n)从A型号被测试的7台手机中随机抽取 4台，记待机时间大于123小时的台数为 X,求X 的分布列；(出)设A, B两个型号被测试手机待机时间的

7、平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a, b的值(结论不要求证明).18 .(本小题满分13分)已知函数 f (x) ln x a sin(x 1),其中 a R .(i)如果曲线 y f (x)在x 1处的切线的斜率是1,求a的值;(n)如果f(x)在区间(0,1)上为增函数，求 a的取值范围.19 .(本小题满分14分)22已知直线l:x t与椭圆C： 土匕1相交于A, B两点，M是椭圆C上一点.42(I)当t 1时，求 MAB面积的最大值；(n )设直线 MA和MB与x轴分别相交于点 E , F , O为原点.证明：|OE | | OF |为定值.20.(本小题满分1

8、3分)数字1,2,3L ,n (n)2)的任意一个排列记作(a1,a2,L ,a/ ,设Sn为所有这样的排列构成的集合.集合An ( a1,a2,L冏)Sn |任意整数i, j,1 & i j & n ,都有a i w马j；集合Bn (a1，a2,L ,an) Sn |任意整数 i,j,1&i j & n ,都有 a i < aj j.(I )用列举法表示集合A3 , B3 ；(n)求集合An I Bn的元素个数；(出)记集合Bn的元素个数为bn.证明：数列bn是等比数列.北京市西城区2016 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2

9、017.1一、选择题：本大题共1. B25. C6二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.D3. B4.C 7 . C8. A6小题，每小题5分，共30分.9. i10. 2n 1 ； 6311.312. 7313.应；4,9）14. 16注：第10, 13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.（本小题满分13分）解：（I ）因为f （x）sin(2 x ) (2cos2 x 1) 6(sin 2 x花cos cos 26花xsin -)6cos2 x 4 分旦in22x 1cos2 x2,，人冗、八sin(2 x

10、 -), 6 分6所以f （x）的最小正周期T -2解得 1 . 7分(n)由(I)得 f (x) sin(2x 一).6ENU7冗 LL ,、， 冗冗 4冗八因为0 & x 0，所以一 0 2x - 9分12663所以，当2x -6兀it.一,即x 时，f（x）取得最大值为1； 11分26一江4 7r7 7r当2x，即x时，f（x）取得最小值为631216.（本小题满分14分）解：（I ）因为 BAD 90°,所以 AB AD , 1 分又因为AB PA所以AB 平面PAD. 3分所以平面PAD 平面ABCD . 4分(n )取PA的中点F ,连接BF , EF . 5分因

11、为E为PD的中点，所以 EFAD, EF 1AD ,21又因为 BC/AD BC 1 AD '2'所以 BCEF , BC EF .所以四边形BCEG是平行.四边形，EC/BF . 7分又BF 平面PAB , CE 平面PAB ,所以CE /平面PAB . 8分(出)过P作PO AD于O,连接OC .因为PA PD,所以。为AD中点，又因为平面PAD 平面ABCD , r所以PO 平面ABCD .如图建立空间直角坐标系 O- xyz . 9分设 PO a .由题意得,A(0,1,0), B(1,1,0), C(1,0,0), D(0, 1,0), P(0,0, a).所以 AB

12、 (1,0,0), PA (0,1, a), DC (1,1,0).设平面PCD的法向量为n (x, y,z),则n AB 0,x 0,y az 0.n PA 0,令 z 1,则 y a.所以 n (0,a,1). 11 分因为DC与平面PAB所成角为30o ,所以 |cosn,DC | 1n DC| 一|a|：=sin30 o 1, |n|DC|a2+1 22解得a 1. 13分所以四棱锥P ABCD的体积vp ABCDP ABCDSabcdPO11 - . 14 分217.(本小题满分13分)解：（I）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于 123小时，因此，估计56台A型手机中有556

13、 - 40台手机的待机时间不少于123小时.3分(n) X可能的取值为0,1,2,3 . 4分1 1C3c312P(X 0)； P(X 1)4；cT35c435P(X2)C3c418P(X3)C44 rp /ki10 分B型号被测试手机的待机时间P(X2)b35；P(X3)435 - 8 向所以，X的分布列为：X0123P13512351835435（出）若A, B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当的方差最小时，a 124, b 125. 13分18.（本小题满分13分）解：（I）函数f（x）的定义域是（0,）, 1分1导函数为 f （x） a cos（x 1）. 2 分 x因为曲线

14、y f (x)在x 1处的切线的斜率是1,所以 f (1)1,即 1 a 1 , 3 分所以a 2 . 4分(n)因为f (x)在区间(0,1)上为增函数，1，,、/所以对于.任意x (0,1),都有f (x) - a cos(x 1)> 0 , 6分 x因为 x (0,1)时，cos(x 1) 0 ,一1、1八所以 f (x) a cos(x 1) > 0 a <. 8 分x cos(x 1)令 g(x) x cos(x 1),所以 g (x) cos(x 1) x sin(x 1). 10 分因为 x (0,1)时，sin(x 1) 0,所以x (0,1)时，g (x)

15、0, g(x)在区间(0,1)上单调递增，所以 g(x) g(1) 1. 12 分所以a 0 1.即a的取值范围是(，1. 13分19.（本小题满分14分）2解：（I ）将x 1代入4解得y 1，所以| AB| 76. 2分分6分当M为椭圆C的顶点 2,0时，M到直线x 1的距离取得最大值3, 4所以 MAB面积的最大值是 殛 .5分(n)设A,B两点坐标分别为 A t, n , B t, n ,从而t2 2n2 4 .22设 M /。，则有 Xo2y04, x° t, y° n . 7 分直线MA的方程为y n 上(x t) , 8分Xo t令 y 0 ,得 x ty0

16、nx0 ,从而 |OEty0 nx09 分y。 nyo n令y0 ,得xty。博，从而OFy。n直线MB的方程为yn y_n(x t) , 10 分ty。 nxo. 11 分y。 nXo t所以OE OF =ty。nx。ty。nx。=x2 22 2t y。n Xoy。 ny。n22y。 n4 2n2 y： n2 4 2y222V。 n13 分4y。2 y。24n2所以 OE OF 为定值.14分20.(本小题满分13分)解：(I) A (1,2,3), B3 (1,2,3),(1,3, 2),(2,1,3),(3, 2,1) . 3 分(n)考虑集合 An中的元素(a1,a2,a3,L a).

17、由已知，对任意整数i, j,1< i j&n,都有ai i < ajj,所以i) ij) j ,所以aaj .由i,j的任意性可知，(a1,a2,a3,L ,an)是1,2,3,L ,n的单调递增排列,所以 An (1,2,3,L ,n) . 5 分又因为当ak k (k n , 1< k < n)时，对任意整数i, j ,1 < i j < n ,都有 ai i < aj j .所以“1,2,3,L ,n)Bn,所以 AnBn . 7 分所以集合An I Bn的元素个数为1. 8分(出)由(n)知，bn0 ,因为 B2 (1,2),(2,1)

18、,所以 b 2.当n3时，考虑Bn中的元素 9乌山 a).(1)假设 akn (1 < k n).由已知，ak k < ak 1 (k 1),所以 ak 1 > ak k (k 1) n 1 ,又因为ak i < n 1 ,所以ak i n 1 .依此类推，若 ak n ,则 ak 1 n 1 , ak 2 n 2 ,，an k .若k 1,则满足条件的1,2,3,L ,n的排列(a1,a2,a3,L ,an)有1个.若 k 2,则 a2 n , a3 n 1 , a4 n 2 ,an 2 .所以a11 .此时满足条件的1,2,3,L ,n的排列(a1,a2,a3,L ,an)有1个.若2 k n,只要(a1,a2,a3,L a-)是1,2,3,L ,k 1的满足条件的一个排列，就可以相应得