第二章随机过程 ppt课件

1、 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT确定信号：随时间做有规律的、知的变化。可以用确定的确定信号：随时间做有规律的、知的变化。可以用确定的 时间函数来描画。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测时间函数来描画。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的还它未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的还是这种波形。是这种波形。t确定信号确定信号随机信号：随时间做无规律的、未知的、随机信号：随时间做无规律的、未知的、“随机的变化。无随机的变化。无法用确定的时间函数来描画，无法准确地预测它未来的变

2、化。法用确定的时间函数来描画，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。随机信号随机信号t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT第第2章随机信号概论章随机信号概论本章要求：本章要求： Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT第第2章章 随机信号概论随机信号概论2.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性2.3 随机序列及其统计特性随机序列及其统计特性 2.1 随机过程的概念及分类随机过程的概念及分类 F

3、undamental Theory of Electrical EngineeringLUT2.1 随机过程的概念及分类随机过程的概念及分类随机信号：随时间做无规律的、未知的、随机信号：随时间做无规律的、未知的、“随机的变化。无法随机的变化。无法用确定的时间函数来描画，无法准确地预测它未来的变化。这用确定的时间函数来描画，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505接纳机噪声 ！随机信号的统

4、计特性 是确定的。 因此，用统计学方法建立了随机信号的数学模型随机过程。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT1km111( ,)( ,)( )iX tX tx t( ,)( ,)( )kikkX tX tx t( ,)( ,)( )mimmX tX txt( )iX t例：在一样条件下，对同一雷达接纳机的内部噪声电压或电例：在一样条件下，对同一雷达接纳机的内部噪声电压或电流经过大量的反复测试后，设观测到的一切的能够结果有流经过大量的反复测试后，设观测到的一切的能够结果有m m种，记录下种，记录下m m个不一样的波形。个不一样的波形。

5、Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT特定实验结果 一个确知的时间函数一.随机过程的定义定义定义1 1：设随机实验：设随机实验E E的样本空间的样本空间S S,假设对每个元素假设对每个元素SS，总有确知的时间函数总有确知的时间函数X(t,),tTX(t,),tT与它相对应；这样，对于所与它相对应；这样，对于所有的有的SS，就可以得到一族时间，就可以得到一族时间t t的函数，将其称为随机过程。的函数，将其称为随机过程。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。( ,)iiX t适用于对随机过程的实践观测适用

6、于对随机过程的实践观测 用实验方法观测到各个样本用实验方法观测到各个样本样本数目越多，越能掌握随机过程的统计规律性样本数目越多，越能掌握随机过程的统计规律性 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT常用于实际分析常用于实际分析可以看成随机变量的推行可以看成随机变量的推行n n维维随机变量的维数越大，越能掌握随机过程的统计规律性随机变量的维数越大，越能掌握随机过程的统计规律性一个特定时间 一个取决于的随机变量定义定义2 2：假设对于每个特定的时间：假设对于每个特定的时间 都是随机都是随机变量，那么称变量，那么称 为随机过程。为随机过程。(1,

7、2,) , ( , )iit iX t( , )X t( , )iitX t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 1 1 一个时间函数族一个时间函数族t t和和都是变量都是变量 2 2 一个确知的时间函数一个确知的时间函数t t是变量，而是变量，而固定固定 4 4一个确定值一个确定值t t和和都固定都固定 3 3一个随机变量一个随机变量t t固定，而固定，而是变量是变量随机过程X(t)在四种不同情况下的含义 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT二.随机过程的分类 按随机过程按随

8、机过程X(t)的时间和形状是离散还是延续进展分类的时间和形状是离散还是延续进展分类1 延续型随机过程延续型随机过程恣意的恣意的 都是延续型随机变量；都是延续型随机变量；2 离散型随机过程离散型随机过程恣意的恣意的 都是离散型随机变量；都是离散型随机变量；3 延续随机序列延续随机序列 恣意离散时辰的形状是延续型随机变量；恣意离散时辰的形状是延续型随机变量；4 离散随机序列离散随机序列 随机过程的时间和形状都是离散的。随机过程的时间和形状都是离散的。11 , ( )tTX t11 , ( )tTX t状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散tXi

9、( t )+ 1- 1 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 按随机过程的样本函数的方式不同进展分类按随机过程的样本函数的方式不同进展分类不确定性随机过程不确定性随机过程样本函数的未来值不能由过去的观测样本函数的未来值不能由过去的观测值准确预测；值准确预测；确定性随机过程确定性随机过程 样本函数的未来值可以由过去的观测样本函数的未来值可以由过去的观测值预测。值预测。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 按随机过程按随机过程X(t)X(t)的的分布函数或概率密度的不同特性分类的的

10、分布函数或概率密度的不同特性分类正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程平稳性过程、遍历性平稳性过程、遍历性宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声EXIT Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性 随机过程是一族依赖于时间t的随机变量。因此，可以借用对随机变量的分析来“替代或“近似对随机过程的分析研讨。而随机过程作为一族时间函数，在详细某次实验中出现哪个时间函数是服从某种概率分布的，这就要求分析随机过程必需采用统计的方法来描画。 统

11、计特性的描画方法有两种：一是经过分布函数或概率密度函数来描画；另一种是利用数字特征来描画。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT一.随机过程的概率分布 时辰采样，得到一族随机变量 12, ,nt tt12( ),( ),( )nX tX tX t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT1. 一维概率分布 随机过程在任一特定时辰 取样得到随机变量 ，其概率分布为称作随机过程X(t)的一维分布函数。 求偏导数数可得称作随机过程X(t)的一维概率密度。 1tT1( )X t1111( ;

12、 )( )XFx tP X tx11111( ; )( ; )XXFx tfx tx Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量的一维分布函数和一维概率密度的各种性质；的一维分布函数和一维概率密度的各种性质； 随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间t t的函数；的函数； 随机过程的一维分布函数和一维概率密度描画该随机过程在随机过程的一维分布函数和一维概率密度描画该随机过程在任一孤立时辰取值

13、的统计特性。任一孤立时辰取值的统计特性。X(t)tt1X(t1)t2X(t2)二维概率分布二维概率分布 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2. 二维概率分布随机过程X(t)的二维分布函数为随机过程X(t)的二维概率密度为12121122( ,; , )( ),( )XFx x t tP X tx X tx21212121212( ,; , )( ,; , )XXFx x t tfx x t tx x ！X(t1)X(t1)及及X(t2)X(t2)为同一随机过程上的随机变量。为同一随机过程上的随机变量。 Fundamental Theo

14、ry of Electrical EngineeringLUTX(t)tt1X(t1)t2X(t2)tnX(tn)随机过程X(t)的n维分布函数为 随机过程X(t)的n维概率密度为12121122( ,; , , ) ( ),( ),( )XnnnnFx xx t ttP X tx X txX tx1212121212( ,; , ,)( ,; , ,) XnnnXnnnfx xx t ttFx xx t ttx xx 3. n维概率分布 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 随机过程X(t)的n维分布函数的主要性质：1、2、3、4、5

15、、6、假设 统计独立，那么有1212( ,; , , )0Xnnfx xx t tt121212( ,; , ,)1Xnnnnfx xx t tt dx dxdx重121212()1212( ,; , ,)( ,; , ,)Xnnmmnn mXmmfx xx t tt dxdxdxfx xxt tt重12( ),( ),( )nX tX tX t12121122( ,; , ,)( ; )(; )(; )XmmXXXnnfx xxt ttfx tfx tfx t1212(,; , , ,)0XninFx xx t ttt12( ,; , , )1XnFt tt Fundamental Theo

16、ry of Electrical EngineeringLUT例例 设随机振幅信号设随机振幅信号 ，其中，其中 是常数，是常数，Y Y是均值是均值为零，方差为为零，方差为1 1的正态随机变量，求的正态随机变量，求 时的概率密时的概率密度。度。tYtX0cos)(0002,32, 0t解2221)0 ,(xXexf由X(0)=Y可知YX21320)(2)()32,(0yfdxdyyfxfYYX2202)32,(xXexf可得：02cos20YX)(2,0 xxfX不论Y值的大小，当 时，X(t)=0，即PX(t)=0=1，这就是说X(t)的分布函数 ，因此其概率密度函数为冲激函数。02t)()(

17、xUxFX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT *虽然随机过程的概率分布族可以完好地描画其统计特性， 但在实践运用中确定这些分布特性非常困难，甚至不可行*二.随机过程的数字特征区别：随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数。 计算方法：先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 假设将过程X(t)中的 t 看成是固定的，那么 X(t)就是一个随机变量。设它随机的取值x，那么其在 t 时辰取x值的概率密度为 。

18、 因此，期望的定义： mx(t) 描画了X(t)一切样本函数在各个时辰摆动的中心X(t)在各个时辰的形状(随机变量)的数学期望。( , )Xfx t1、数学期望 1( )Xmtit)(0)(tmttXX1t( )Xim t)(),()(tmdxtxfxtXEXX物理意义：假设随机过程表示接纳机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2、均方值与方差 随机过程 在任一时辰t的取值是一个随机变量 。称其二阶原点矩为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即： )(tXdxtx

19、fxtXEtXX);()()(222)()()()()(222tmtXEtXEtXDtXX222)()()(tmtXEtXX)(tX随机过程 的均方差：)()()(2tttXDXX)(tX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT 物理意义：假设 表示噪声电压，那么均方值 和方差 分别表示耗费在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。 )(tX)(2tXE)(tXDX(t)Y(t)Z(t)X(t)Y(t)Z(t)*identical mean but different variance* Fundamental Theor

20、y of Electrical EngineeringLUT例例 设随机振幅信号为设随机振幅信号为 X(t) = Qsin(X(t) = Qsin(0t)0t)，其中，其中 0 0 为常数，为常数，Q Q 为规范正态随机变量，求该随机信号的均值和方差？为规范正态随机变量，求该随机信号的均值和方差？)(sin)(sin)(0)sin()(0202220ttQEtXEtQEtXE解：均值方差 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT3、自相关函数 自相关函数用来描画随机过程恣意两个时辰形状间的统计关联程度，通常用 描画。 ),(21ttRX)(

21、)(),(2121tXtXEttRX 21212121),;,(dxdxttxxfxxX假设t1=t2=t，那么有)()()()(),(),(2221ttXEtXtXEttRttRXXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT例例 假设随机过程假设随机过程X(t)X(t)为：为：X(t)=Vcos4tX(t)=Vcos4t，式中，式中V V是随机变量，是随机变量，数学期望为数学期望为5 5、方差为、方差为6 6，求随机过程的均值和自相关函数，求随机过程的均值和自相关函数. .解： 24cos14cos31)24)(cos14(cos)2,

22、 1(4cos5)4(cos)(2ttVEttttRtVEttmXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT4、自协方差函数 假设用随机过程的两个不同时辰之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用 表示，它反映了恣意两个时辰的起伏值之间相关程度。 ),(21ttCX)()(),(2121tXtXEttCX)()()()(2211tmtXtmtXEXX2121212211),;,()()()()(dxdxttxxftmtXtmtXXXX 自协方差和自相关函数的关系 )()(),()()()()()()(),(21212121

23、2121tmtmttRtmtmtXtXEtXtXEttCXXXXXX。自协方差和方差的关系: 假设t1=t2=t，那么有)()()(),(),(221tXDtmtXEttCttCXXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT5、相互关函数 自相关函数是描画一个随机过程本身内在联络的数字特征，而相互关函数那么是描画两个随机过程间统计关联特性的数字特征。dxdyttyxxyftYtXEttRXYXY ),;,()()(),(212121中心化相互关函数，也称互协方差函数为)()(),()()(),(21212121tmtmttRtYtXEtt

24、CYXXYXY。两个随机过程的相互关函数定义为 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT6、统计独立、不相关和正交1)、随机过程X(t)和Y(t)相互统计独立假设对恣意的mntttttt,;,2121),;,(),;,(),;,(2121212121212121mmYnnXmnmnXYtttyyyftttxxxfttttttyyyxxxf那么称X(t)和Y(t)之间是相互统计独立。对二维概率密度那么有：);();(),;,(2121tyftxfttyxfYXXY Fundamental Theory of Electrical Engine

25、eringLUT)()()()();();()()(),(21212121tmtmtYEtXEdytyyfdxtxxftYtXEttRYXYXXY)()()()(),(221121tmtYtmtXEttCYXXY互协方差函数相互关函数0)()(),()()()()(21212211tmtmttRtmtYEtmtXEYXXYYX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2). 假设两个随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为零,即 ,那么称X(t)和Y(t)之间互不相关。0),(21ttCXY0)()(),(2121tYtXEttRXY!

26、两个过程相互独立，那么必不相关，反之那么不一定成立； 两过程正交不一定不相关，除非它们至少有一个零均值。3). 假设两个随机过程X(t)和Y(t)之间的相互关函数等于零，即对 恣意t1，t2有：那么两过程正交。 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT例例 设随机过程设随机过程X(t)=UtX(t)=Ut，U U在在(0,1)(0,1)上均匀分布，求上均匀分布，求EX(t)EX(t)，DX(t)DX(t)，Rx(t1,t2)Rx(t1,t2)，Cx(t1,t2)Cx(t1,t2)。 解：解：1021212121212212121201212

27、1212101( )0( ) ( )2( , )( )( )( )3( , )( , )( )( )3UUXUXXufutE X tE U tt E Utufu dutuduRt tE X t X tE U t U tt tE Ut tt tufu dut tu dut ttCt tRt tm tm t ，其它121222 212( )( , )12Xtt ttD X tCt t Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT例例2.3 2.3 假设一随机过程由以下图所示的四条样本函数组成，而且假设一随机过程由以下图所示的四条样本函数组成，而且每

28、条样本函数出现的概率相等，求每条样本函数出现的概率相等，求RX (t1, t2) RX (t1, t2) 。 解：由题意可知，随机过程解：由题意可知，随机过程X(t)X(t)在在 t1, t2 t1, t2 两个时辰为两个离散两个时辰为两个离散随机变量。所以可列出结合分布率如下：随机变量。所以可列出结合分布率如下：X(t1) X(t2) Pi1 151/42 241/43621/44311/4 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT1212( , )1(1 52 46 23 1)74iXiRt tkkP 1212112212( , )(

29、),( ),XXRt tk kP X tk X tkk k Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT三.随机过程的特征函数 对某一固定t时辰的形状, 那么随机变量X(t)的一维特征函数：);(),()(tjuXXjuxXeEdxtxfetu将t看成变量， 就是随机过程X(t)的特征函数。),(tuX其逆变换：duetutxfjuxXX);(21),(n阶原点矩：0),()()(uutujtXEnXnnn1. 一维特征函数 Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT2. 二维特征函数 随机过

30、程X(t)在恣意两个时辰t1,t2的形状构成二维随机变量 X(t1), X(t2) ，它们的结合特征函数为： 称作随机过程X(t)的二维特征函数。 2121212211)()(2121),;,()exp(),;,(2211dxdxttxxfxjuxjueEttuuXtXjutXjuX其逆变换： 21)(2121221212211),;,()2(1),;,(duduettuuttxxfxuxujXX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT因此，随机过程X(t)的相关函数为： 上式两边对变量u1，u2各求一次偏导数，0, 0212121222121|),;,()(),(uuXXuuttuujttR),(),;,(),;,(),;,(21212121210212121)(2120212121221221121ttRdxdxttxxfxxdxdxttxxfexxjuuttuuXXuuXxuxujuuX Fundamental Theory of Electrical EngineeringLUT3. n维特征函数nnnXxjuxjutXjutXjunnXdxdxttxxfeeEttuunnnn.),.,;,.,(.),.,;,.,(111).()(.)(111111nxuxujnnXnnnXduduettuuttxxfnn.),