函数模型及其应用-知识点与题型归纳

1、熹李节尿莫型-及其应用高考明方向1.了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征 ，结合具 体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函 数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用备考知考情1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问 题，是咼考命题的热点.2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数 的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的 能力.3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答 题为主.一、知识梳理名师一号P35知识点一几类函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b

2、(a，b为常数，a0)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0)模型指数型函数模型f(x)=bax+c(a，b，c为常数，a0，且a1)对数型函数模型f(x)=blogax+c(a，b，c为常数,0，且a1)幕函数型 函数模型f(x)=axn+b(a，b为常数，a0)知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数y=ax(a1)与幕函数y=xn(n0)：在区间(0,+x)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因而 总存在一个xo,当xxo时，有axxn.2.对数函数y=logax(a1)与幕函数y=xn(n0)：对数

3、函数y=logax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小 如何，总会慢于y=xn的增长速度，因而在定义域内总存在 一个实数xo，当xxo时，有logaxvxn由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它 们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0, +)上，总会存在一个X0，当xX0时，有axxnlogax.注意：名师一号P36问题探究问题1、2问题1解决实际应用问题的一般步骤是什么？审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系, 初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数

4、学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：彳彳建立函数模型建立函数模型| |敷学1T赢| |数学结果数学结果| |问题2在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要理解 题意，选择适当的函数模型.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函 数的定义域.(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须 验证这个数学 解对实际问题的合理性.二、例题分析：(一)三种函数模型增长速度的比较 例1名师一号P36对点自测5、65判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)函数二2的函数值比y=x2的函数值大.()幕函数增

5、长比直线增长更快.()(3)不存在xo,使ax0vxnlogaxo.()(4) f(x)=x2,g(x)=2、h(x)=log2x,当x(4,+x)时，恒有h(x)f(x)g(x).()答案XXXV思考：如何证明：任意x(4,+x),x22x恒成立。6在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实 验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些 数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y=2xB.y=log2xC.y=2（x21） D-y=2.61cosx解析由表格知当x=3时，y=1.59,而A中y=23=

6、8,1不合要求，B中 尸Iog23(1,2)接近，C中y=21)=4,不合要求，D中y=2.61cos30,不合要求，故选B.(二)函数模型应用题例1名师一号P36对点自测11.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下 的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中ABCD解析 由题意知h=205t(0Wt4),故选B.例2名师一号P36高频考点例1(2014武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定 义为：Mf(x)=f(x+1)f(x)某公司每月生产x台某种产品 的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)=3000 x20 x2,C(x)

7、=500 x+4 000(xN*).现已知该公司每月生产该产品 不超过100台.(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x);(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.解析：(1)由题意，得x1,100,且xN*.P(x)=R(x)C(x)=(3 000 x20 x2)(500 x+4 000)=20 x2+2 500 x4 000,MP(x)=P(x+1)P(x)=20(x+1)2+2 500(x+1)4 000(20 x2+2 500 x4 000)=2 480- 40 x.1252(2)P(x)= 20 x 兀2+74 125,当x=62或x=63时，P(x)取得最大

8、值74 120元； 因为MP(x)=2 480-40 x是减函数，所以当x=1时,MP(x)取得最大值2 440元.故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.注意：名师一号P36高频考点例1规律方法 二次函数是我们比较熟悉的基本函数， 建立二次函数 模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间 的位置关系讨论求解.例3名师一号P36高频考点 例2一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐 面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半 时，所用时间是1io年，为保护生态环境，森林面积至

9、少要保留原面积的4, 已知到今年为止，森林剩余面积为原来的今.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解析：1设每年降低的百分比为x(Ovxvl),则a(1x)1=2a，丄1i io即(1x)1o=2,解得x二12.J2(2)设经过m年剩余面积为原来的 三，则a(1x)m2a，即1写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式；m1210二11 2,m=2,解得m=5,故到今年为止，该森林已砍伐了5年.注意：名师一号P37高频考点例2规律方法(1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题 中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题 可

10、以利用 指数函数模型来表示.(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模 型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模 型.(3) y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.例4名师一号P37高频考点例3某旅游景点预计2015年1月份起前x个月的旅游人数1的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)=2x(x+1)(39-2x)(xN*，且x12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)35且2试问2015年第几个月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元?解析：当x=1时，f(1)=p(1)=37,当2x12,且xN*

11、时，f(x)=p(x)p(x-1)1 1=2x(x+1)(39-2x)-2(x1)x(41-2x)=3x2+40 x,验证x=1也满足此式， 所以f(x)= 3x2+40 x(xN*，且1x 且1 W:rW6h!、IAQI(-3.V十4取)斗丫丘：且7.rl2),即g(x)=400 x(.TeN且1芝龙芝切，-480 x+6 WOCYN*,冃WZl?).1当Kx6,且xN*时，g(x)=18x2-370 x+1 400,令g(x)=0，解得x=5或x=弋4*舍去)当Kx0,当5x6时，g当x=5时，g(x)max=g(5)=3 125(万兀).2当7x12,且xN*时，(x)0,g(x)= 4

12、80 x+6 400是减函数，当x=7时，g(x)max=g(7)=3 040(万元).综上，2015年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游 消费总额为3 125万元.注意:名师一号P37高频考点 例3规律方法(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式 给出，这时就需要构建分段函数模型 ， 如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调 性等方法. 在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最 值，然后比较得最大值、最小值.练习：温故知新P32第6题某辆汽车 购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路 桥费、汽油费等约为1.5万元，年维修保养

13、费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限 (即 年平均费用最少)是答案：10年函数模型应用题专项突破从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问 题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高， 常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析 问题、解决问题的能力【典例】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不 计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积 为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造 成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米， 该蓄水池的总建造成本为12 000n元(n为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域； 讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该 蓄水池