函数背景下的三角形综合问题探究

1、函数背景下的三角形综合问题探究摘 要：函数与几何相结合的综合问题主要有两类，一类是以函 数知识为背景，考查几何相关知识；另一类是利用几何图形的直观 性、几何图形的性质，建立几何图形中各元素之间的函数关系式， 建构数量间的函数模型。三角形是最基本的几何图形，是研究几何 问题的关键，特别是等腰三角形和直角三角形。 关键词：函数背景；综合问题；方程思想在初中学习阶段， 函数与几何相结合的综合问题主要有两类， 一类 是以函数知识为背景，考查几何相关知识；另一类是利用几何图形 的直观性，几何图形的性质建立几何图形中各元素之间的函数关系 式，建构数量间的函数模型。而三角形是最基本的几何图形，是研 究初中几

2、何问题的关键，特别是等腰三角形和直角三角形。 函数背景中的几何问题，常常用到数形结合、分类讨论、 方程思想 等数学思想方法，在具体问题中要渗透这些思想方法，有助于我们 解决这类问题。一、平面直角坐标系中的三角形问题例 1.在平面直角坐标系中，已知点 a (2,1 ),若点 b 在坐标轴上， 且厶oab 为等腰三角形，则点 b 坐标为 .分析：在本题中，最重要的信息是“ oab 为等腰三角形”，而等 腰三角形的条件往往需要我们用分类的思想进行研究， 找出符合条 件的点 b.1.若 ob=oa=时，如图 1-1，以原点为圆心，oa 长为半 径画圆，圆与坐标轴的交点就是我们要找的点b,而且可以直观的

3、 得出 bl (0, ) ,b2 (- ,0 ) ,b3 (0,- ) ,b4 ( ,0 ) ;2.若 ab=ao= 时，如图 1-2 ，以 a 点为圆心， oa 长为半径画圆，圆与坐标轴的 交点就是我们要找的点 b,再根据等腰三角形的对称性可直接得出 b5( 0,2)，b6( 4,0)； 3.若 bo二ba 时，此时，点 b 一定在线段 oa 的 垂直平分线上,过 oa 中点 c( 1, 0.5 )作 oa 的垂线与坐标轴的交 点就是我们要找的点 b (如图 1-3)，再作 ad 丄 y 轴于点 d (0, 1), 可知 daoscb7o,设 b7 (0, a),由相似可得： =,即：二=,

4、a=2.5 ,所以 b7(0,2.5),同理可得 b8(1.25, 0)。小结：在本题中, 坐标系只是提供的一个背景,主要还是考查等腰 三角形的分类和应用方程思想解决问题,同时要关注数形结合 . 本 题也可以进行拓展,例如将条件中的“等腰三角形”换成“直角三 角形”进行研究。二、函数与三角形综合问题 在初中阶段研究的函数主要是一次函数、反比例函数和二次函数, 而三角函数在初中阶段并不研究它的图像和性质。反比例函数涉及 反比例关系,它与几何综合时一般难度比较大,不是初中研究的重 点内容。所以,我们主要以一次函数和二次函数为例进行探索研究。例2.如图， 直线I与x轴， y轴分别交于a (6,0 )

5、, b (0,3 )两点， 点 c(4,0 )为 x 轴上一点,点 p 是直线 l 上的一点。(1)直线 I 的解析式为 ；(2)存在点卩，使厶 poc 为等腰三角形，这样的点 p 共有 个;若点 p 在第二象限，坐标是 ; 若在第四象限，点 p 坐标是 ；(3)存在点卩，使厶 poc 为直角三角形，这样的点 p 共有 个，坐 标分别是 。分析：问题 1 考查的是一次函数的解析式， 根据待定系数法可得直 线l 的解析式： y=- x+3。问题 2 中关键信息是“ poc 为等腰三角形”，所以还是要根据等 腰三角形的条件进行分类讨论，此时，我们可以和例 1 中的问题进 行类比，可以发现，这两个问

6、题的本质是一样的，区别在于未知点 p 的位置由坐标轴改变为直线 I，具体研究方法借助例 1 中的方法 进行研究。问题 3 中关键信息是“ poc 为直角三角形”，而直角三角形中哪 一个点是直角顶点是我们分类的标准。(1)若/ pco=90时，如图 2-1，过点 c 作 x 轴的垂线交直线 I 与点 pl，此时 ploc 是以点 p 为直角顶点的直角三角形，点 p1 横坐标为 4，且点 p1 又在直线 I 上，所以 pl 的坐标为(4, 1); (2)若/ cop=90时，此时点 b 就 是我们要找的点 p2,所以，当 p2 (0,3 )时， p2oc 是以 o 为顶点 的直角三角形；(3)若/ opc=90时，以 oc 为直径画圆，发现， 可以发现，它与直线 I 有 2 个交点，说明此时符合条件的点 p 有 2 个，设此时点 p 坐标为( a,- a+3) , 由勾股定理可得： po2=a2+(- a+3) 2= a2- 3a+9,pc2= (a