北航数学分析期中考题-答案

1、北京航空航天大学20102011学年第一学期期中«工科数学分析(I)»试卷班号 学号 姓名 成绩题号一二三四五六七八总分成绩阅卷人校对人2010年11月25日计算下面各题(满分 40分，每个题目5分)i）计算极限lim x? 0+ xsinx- 12)3)4)解：网1 + xsinx- 1x2e - 1求下面无穷小的阶. 1+ t arx - - s 即解:11+ tanx- ，sin x =sinx|+cosx,1 + tanx + .1-sin xlxm。sin x n +cosx解:=sixsin xlim:x 0 x2 (, 1+ xsinx + 1)x ? ).

2、0tanx+ sinx1+ tanx + 1- sin x(2分)3 3分)(2分)(3分),、cosx ,=(sin x)(0< x< p)求 f (x).cosxf = (sin x)(c oxs l n xi n e )cox；nxsi ncosxlnsin xe(2分)xc o s型 n sl n3rsi n xl n si tx+2,cosx sx nbsi nx .2co sx +_ _r-si nx .(3 分),x= t sint,假设？3y = t cost. I求处dxdy解:dy = -dx dt dx dt(2分)cost + tsintcost- tsin

3、t(3分)5)假设 f (x)= (x2解：2x+ 3)e- x,求 f(n) (x).f (n)(x) =、- x (n)3)e x=C0 (x2+ C2+ 2x+ 3)(e , + C ( + 2x+3)(ex)(n-2)g'(n- 1)x2+ 2x+3)e x)( )(3分)，、n ，=(-1)(x2 + 2x+ 3)e- x +n- 1(-1) n(2x+ 2)e +(-1)n=(-1)ne-xi2-2(n- 1)x +2vn(n- 1)e2n - 3n+ 3(2分)6) 求f (x)= ln X在x= 2的n阶Taylor展开,并写出peano余项.解:f (x)= In x

4、= In-2)+ 2 = ln2x- 22=ln 2+ In=ln2+ ln 擀x- 22(2分)x- 22k- 1=ln2+ ? (- 1)k= 1k2n 、一三+ o(x- 2) (3 分)7)假设函数f (x)= ex,判断函数的凹凸性.''f (x)=(ex) =ex(4分)凸函数(1分)m ,Xf o1 sin ,x 1 0, xx= 0.求：m满足什么条件，函数在 x =0连续,m满足什么条件，函数在 x =0可导.解： m3 1,函数在x= 0连续（2分）m3 2,函数在x= 0可导数（3分）假设 S > 0,X1 > 0,Xn+11岁2?少n证明下面

5、问题（10分）I证明数列 Xn单调有界，且极限为 Vs .Xn 3证明：1）数列单调递减有下界（5分）Xn+ 1俘2>ns一拂 xn + 1Xn -、s,Xn+ 1xn= 21矗Xn2）下面说明极限为 J3 （5分）lim xn+1 = b?ns叁 b,b=、sb一三.证明下面问题（10分）假设数列Xn满足Xn+ 1 - Xn12n,用Cauchy收敛定理证明 Xn收敛.证明 1）（5分）"P? N, xn+P XnXn+ PXn+ P- 1Xn+ P- 1 -xn+ P- 2+ Xn+1- Xn2n+ P- 11 +2n12n+ P- 2 +2> i .2）柯西定理写正

6、确5分e>0,$N=；|$ /ln+2 n>, N" ? N 小< e四.证明下面不等式 (10分)2e-x + sinx< 1+ , x? (0,p).证明：1)下面每个式子2分，共6分2F(x)= 1+ - e-x- sinx, x? (0,p)L 'xF (x)= x+e - cosx,x?(0,p)F (x)= 1+ e + sinx,x? (0,p)2) (2 分)“.一 _ 一 '.一 _ . 一F (x)> 0,x? (0,p), F (0)= 0因此 F (x)> 0,x? (0,p)3) (2 分)2xF (0)=

7、 0, F (x)= 1+ - e - sinx> 0,x? (0,p)五.(10分)假设函数f(x)和g(x)在a,b存在二阶导数，并且 g (x)1 0,且f ( a) = f(b= g )a= (g) b=0 ,证明下面问题1）在（a,b）内 g（x）1 0；2）在（a,b）内至少存在一点在q,满足f(q)= f (q)，、一 hg(q)g (q)证明：1）下面每个式子2分，共6分用反证法证明，假a$q? (a,b),g(q)0.则''g(a)- g(q)= g (x1)(a- q)= 0? g (Xi) 0,x1 ？ (a,q)''g(b)- g(

8、q)= g(x2)(b- q)= 0? g (X2) 0,X2?(q,b) ''''''g (Xi)-g(X2)= g(X3)(Xi-X2)=0? g(X3)0, X3?(XiX2)矛盾，结论得证.''2)令 F (x)= f (x)g (x)- f (x)g(x).(2 分)(2分)F (x)= f (x)g (x)- f (x)g(x)F ( a)= F( b= 0f (q)= f(q)g(q)- f (q)g(q)= 0。分)六(10分)假设函数f (x)在0,1存在二阶导数，f (0) = 0, f=1,并f'(0

9、)= f'(1)= 0，求解 和证明下面问题.1)写出 f (x)在 X = 0, X = 1 的 Lagrange 余项的 Taylor 公式；2)证明在(0,1)至少存在一点q? (0,1)满足|f''(q)3 4.证明1)下面每个式子2分f (x)= f (0)+ f'(0)x+ 1f (Xi)X2,x1介于0, x之间.f (x)= f (1)+ f(1)(x- 1) +''2,f (X)(X- 1) ,x2介于X,1之间.2)f(x)= f(0)+ f'(0)x+：f''(xi)x2,、1''2f

10、 (x)=1+ 2f (x1)(x- 1)分2Axv-yzo?2X1K f1 - 21'' ,、21'22f (xl)x = 1+ 2f (xl)(x- 1) ?1 ''2 1 '' I21? 2f (xx2f (x1)(x- 1)? 2(maxif (x1)i,if (x1)i)(x2 (x-221而x + (x- 1)在0,1区间上的最大值 -,因此 max f (x1), f (x1)3 4.yxxvB2di七 (10分)证明下面问题假设f(x)定义在 (a,b)上.如果对 (a,b)内任何收敛的点列 xn都有lim f(xn)存在

11、，则f在(a,b)上一致连续证明：1)写出不一致连续定义 3分如果f在(a,b)上不一致连续，则. 一 一 1 一 一 一$e0> O,$Sn,tn?(a,b),|Sn tn|? "、)"3)|? e2)写出下面3分(有界数列必存在收敛子列)snn ?(a,b),则存在Snk,tnk?(a,b)Jim Snklim L = a3)下面结论4分构造,，幻，Snk , tnk ,= Zn数列收敛且极限为a, (2分)则有已知条件lim f(zn)存在，因此!im f (snk )= lim f (tnk)(2分)与1)矛盾.八 (10分)附加题(下面两个题目任选其一)1)

12、假设函数f n (x)= 1- (1- cosx)n,证明下面问题a)对于任意白自然数 n,方程f n(x) =|在?0弓,仅有一根.足满.耳P- 2露?则 lim xnn(2分)f n=1,fn?|芸饼介值定理$Xn?12至f n(XJ I3分)2)fn(x)=因此根唯一5分nsinx(1-n-1 cosx)(2分)lim f Jaccos1* 1- n n 獭 n?由极限的保号性$N, n > N, f Jaccos1 > 1年 n丁 2那 J 1f 腐rccos-> 一=粒 n 2f n(Xn)(2分)1P.P单调性arccos-< xn <匚和夹逼定理lim xn = . n2n2(1分)2)用有限覆盖定理证明下面问题假设函数f(x)定义在a,b,对于"x0 ? a,b, lim f (x)都存在，则f (x)在a,b上有 x? 9界.证明：1) 4分l