《变化率与导数》ppt课件

1、 变化率与导数变化率与导数问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量的添加随着气球内空气容量的添加, 气球的半径添加得越来越慢气球的半径添加得越来越慢. 从数从数学的角度学的角度, 如何描画这种景象呢如何描画这种景象呢? 结论：随着气球体积逐渐变大结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小它的平均膨胀率逐渐变小. (1) (0)0.62(dm/L),1 0rr当v由01时，气球的平均变化率： (2) (1)120.16(dm/L)2 1rrv当 由时，气球的品均变化率：3343VV( ) (V) .34rrr由气球体积一平均变

2、化率一平均变化率2121()()r Vr VVV思索： 当空气容量从V1添加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运发动相对于水面的高度运发动相对于水面的高度 h (单位单位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数存在函数关系关系v在在0 t 0.5这这段段时间时间里里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,);m/s(05. 405 . 0)0()5 . 0(hhv);m/s(2 . 812) 1 ()2(hhv2( )4.96.510h ttt 问题问题2.2.平均速度平均速度. .思索：求思索：求t1t

3、1到到t2t2时的平均速度时的平均速度 2121( )( )S tS tvtt察看函数f(x)的图象OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)平均变化率的定义：平均变化率的定义： )(xf普通地，函数在区间普通地，函数在区间 上的平均变化率为上的平均变化率为 12 ,x x2121()()fxfxxx令令x = x2 x1 , y= f (x2) f (x1) ,那么平均变化率可以表示为那么平均变化率可以表示为xy几何意义是几何意义是 表示曲线上两点连线就是曲线的割线的斜率。表示曲线上两点连线就是曲线的割线的斜率。例例1、知函数、知函数f(x)=2x+1

4、, 计算在区间计算在区间1，2上上 f(x) 的平均变化率的平均变化率. 例例2、知函数、知函数 f(x)=x2,计算计算f(x)在以下区间在以下区间1，3上的平均变化率：上的平均变化率： 例例3 知知f(x)=2x2+1(1)求求: 其从其从x1到到x2的平均变化率；的平均变化率；(2)求求: 其从其从x0到到x0+x的平均变化率的平均变化率.平均速度不能反映他在这段时间里运动形状，平均速度不能反映他在这段时间里运动形状，需求用瞬时速度描画运动形状需求用瞬时速度描画运动形状.65049t计算运动员在这段时间的平均速度，思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？ （2）你认为用平均速度描

5、述运动员的运动状态有什么问题吗？探求讨论：探求讨论：二、二、 导数的概念导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动形状，需求用瞬时速度在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动形状，需求用瞬时速度描画运动形状描画运动形状.我们把物体在某一时辰的速度称为瞬时速度我们把物体在某一时辰的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢? 平均变化率近似地描写了曲线在某一区间上的变化趋势平均变化率近似地描写了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何准确地描写曲线在一点处的变化趋势呢如何准确地描写曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth求：从求：从2s到到(2+t)s

6、这段时间内平均速度这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvttt t 0时时, 在在2, 2 +t 这段时间内这段时间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t = 0.000001,t =0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似地描写了曲线在某一区间上的变化趋势平均变化率近似地描写了曲线在某一

7、区间上的变化趋势.l如何准确地描写曲线在一点处的变化趋势呢如何准确地描写曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth149.13v0951.13v1049.13v10049.13v099951.13v100049.13v1000049.13v13.051v 13.09951v13.0999951v 当当t趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与平均速度都趋近与一个确定的值一个确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间

8、间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因因此此, 运发动在运发动在 t = 2 时的瞬时速度是时的瞬时速度是 13.1.v表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1.v从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度1 3 .14 .9hvtt 1.运发动在某一时辰运发动在某一时辰 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?5 . 68 . 9)

9、5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt导数的概念导数的概念00000()()()limlimxxf xxf xffxxx 普通地，函数普通地，函数 y =f(x) y =f(x) 在点在点x=x0 x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是0000()()limlimxxf xxf xfxx ox xy0()fx我们称它为函数我们称它为函数 y = f (x)在点在点x=x0处的导数，处的导数，记为记为 或或，即，即阐明：阐明：)(xf0 x0 xxyxy0 x1函数函数在点在点处可导，是

10、指处可导，是指时，时，有极限假设有极限假设不存在极限，就说函数在不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数处不可导，或说无导数点点x是自变量是自变量x在在0 x处的改动量，处的改动量，0 x，而，而y是函数值的改动量，可以是零是函数值的改动量，可以是零 2)(xfy 0 x由导数的定义可知，求函数由导数的定义可知，求函数在在处的处的导数的步骤导数的步骤:00()()ff xxf x 1求函数的增量求函数的增量:；00()()f xxf xfxx2求平均变化率求平均变化率:；00()limxffxx 3取极限，得导数取极限，得导数:例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析 例例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油