反常积分的敛散性判定方法

1、内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师 魏运导师职称教授最终成绩 75分摘要.1关键词.12一、预备知识. 21 .无穷限反常积分.22 .瑕积分.33 .反常积分的性质.3二、反常积分的收敛判别法.41无穷积分的收敛判别.4(1) .定义判别法.4(2) .比较判别法.4(3) .柯西判别法.5(4)阿贝尔判别法. 6(5) .狄利克雷判别法.72瑕积分的收敛判别.8(1) .定义判别法.8(2) .定理判别法.9(3) .比较判别法.9(4) .柯西判别法.9.阿 贝 尔 判 别法.(6)

2、 .狄 利 .10克 雷 判 别.10法.11参考文献摘要在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广： 无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积 分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性 判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结， 并给出 了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定 理判断反常积分的敛散性。关键词：反常积分瑕积分极限敛散性引言近些年以来，一些数学工作者对反常积分敛散性的判别方法做了研究并取得 了许多重要的进展。如华东师范大学数学系编，数学分析(上册)，

3、对反常积分积分的定义，性质的运用及讲义其判别收敛性的方法。 华中科技大学出版的数学 分析理论方法与技巧，也对反常积分敛散性判别做了详细的讲解， 还用图形的方 法说明其意义。引中出反常积分敛散性的等价定义，并通过例题说明其应用。众多学者研究的内容全而广，实用性很高，尤其是在研究敛散性的判别很明 显，这对我现所研究的论文题目提供了大量的理论依据和参考文献，对我完成此次论文有很大的帮助，但绝大多数文献只是对其一种方法进行研究， 而本文将对 其进行归纳总结，举例说明其应用。一、 预备知识1.无穷限反常积分定义1.1设函数f (x)在a , +00)有定义，若f (x)在a , A上可积(A>a)

4、A且当A-+OO时，lim f (x)dx存在，称反常积分f(x)dx收敛，否则A aaa 称反常积分 f(x)dx与 f(x)dx发散。 a 对反常积分 f(x)dx与f(x)dx可类似的给出敛散性定义。a注意：只有当 f (x)dx和 f (x)dx都收敛时，才认为 f (x)dx是收敛的。2.瑕积分定义1：设f(x)在a的任何邻域内均无界，则称a为f(x)的一个瑕点 b S定义2：设电)在a,b)内有定义，且b为唯一瑕点，若iim a f (x)dx o 0 ab 在，称瑕积分 f (x)dx收敛 7acd定义3：设c a,b且为f(x)的一个瑕点，若 f (x)dx和 f (x)dx

5、ac b均收敛，则称瑕积分a f (x)dx a3.反常积分的性质(1)Cauchy 收敛原理：f(x)dx 收敛 对 &>0 A0>a,当 A1 >A2 >AqaA2时，有 f (x)dx < £A1 线性性质：若 f (x)dx与g (x)dx都收敛，则对任意常数k1 k2 ,aa，-a kif (x) k2g (x)dx也 收 敛， 且 有k1f (x) k2g(x)dx=k1f (x)dx k2 g(x)dxa1 aa积分区间可加性,若f(x)dx 收敛，则bf (x)dx f (x)dx abf (x)dx < I f (x)dx

6、 0aa，b a, , f (x)dx = a若 f(x)dx收敛，则、 a'a二、反常积分的敛散性判别法1.无穷积分的敛散性判别(1)定义判别法设函数f定义在无穷区间a,)上，且在任何有限区间a, u上可积.如果存在极限lim a f (x)dx J , u则称a f (x)dx收敛，否则发放，即相应定积分的极限存在广义积分收敛，定积分的极限不 存在广义积分发放例1.1计算无穷积分解：0 xe pxdx ( p 是常数，且 p 0)0 xe pxdxX c px1c pxe 00 e dxpp1_Lp px2 e p式中 lim xe pxx.x lim x epxlim-x pep

7、x(2) .比较判别法的普通形式:f (x), g(x)在 a,有定义，且0 f(x)g(x)(x a)(a) a g(x)dx < af (x)dx < a(b) a f(x)dx=+g(x)dx =+ a例1.2讨论解：由于sin xdx的收敛性sin x1 x211 x20, dx 兀 因为n T 为收敛，所以根据比较判别法0 1 x22收敛(3).比较判别法的极限形式:f(x), g(x)在a,sin x1 x2dx为绝对有定义，且非负，且lim1 l则.x g(x)"(a)当 l = 0时，g(x)dx <f (x)dx <aa(b) l + 时，g

8、(x)dx =f (x)dx =aa(c) 0 <l <时，a g(x)dx, a f(x)dx具有相同点敛散性。f (x)证：(1)若lim l ,由极限的性质，存在常数A (A>a)使 x g(x)得当x A时成立f(x), d< l + 1即 f (x)< (l + 1)g(x)于是由比较判别法，当g(x)dx收敛时 ag(x)f (x)dx也收敛 af (x)(2)若 lim x? ? g(x)l > 0 ,由极限的性质，存在常数A(A a ),使得当x A时成立其中0Vl < l f (x)> l g(x)于是由比较判别法,g(x)dx

9、发散时aa f(x)dx也发散例1.3讨论1V x4 3x3 5x22x=dx的敛散性1解：limx3 ,1 4 x3, x4 3x3 5x2 2x 1祺4dx收敛,1所以1 3/ 432”收敛1 J x4 3x3 5x2 2x 1同时又形成简单的函总结：使用比较判别法，需要一个敛散性判别结论明确,1数作为比较对象，在上面的例子中我们都是取 T 为比较对象的，因为它们正 x好能满足这俩个条件(4) .柯西判别法:设f (x)在a, 有定义,在任何有限区间a,u上可积，且lim xp f x 入则有： x当p 1,0 入 时， |f(x)dx收敛 a当p 1 ,时， | f (x)dx发散 &#

10、39; a(5) .阿贝尔判别法:f (x)g(x)dx满足：a(a) f (x)单调有界(b)g(x)dx收敛贝tj f (x)g(x)dx 收敛a证：由于存在M>0,使f (x) M(x a)再由(2)可知,对"£>0, Ao a,当 A2>Ai>Ao时，有A2Ai f (x)g(x)dxA2A1f (x)g(x)dx = f (A,g(x)dxA1f (A2) , g(x)dx(£+ £)=2 M £再次由柯西准则知 Abel定理成立一sin x 一例 1.4 证 1arctan xdx(o< 入 1 )收敛

11、 1 xsin x利用阿贝尔判别法，因为1 dx收敛，又arctan x在1, 上 1 x、，一 一 sin x单调有界，故 . -arctan xdx 是收敛的1 x(6) . Dirichlet判别法：f (x)g(x)dx 满足a(1) f(x)单调且趋于0 (x 0)A(2) g(x)dx 有界(a>A) a贝U f (x)g(x)dx 收敛 a证：由于存在M>0g(x)dx有界，所以有Ag (x)dxaM又由于f)故对对 £>0,Aoa ,当 A2>Ai > Ao 时，有£，所以f(AJ- f(A) <£ 即 f(4)

12、 <£ , f (A1) <f(x)dxa g(x)dxAa g(x)dx2M 同 理 有A1y g(x)dxA22M故当A2, A1 > A。f (x)g(x)dx例1.5 证积分1证:Asin xdxDirichletsin xAcos1cossin x2 xdx1 2x2xdx1例1.6 积分0f (A2)|g(x)dx I f (A1)sin xdx收敛，但不绝对收敛 xcos A cos 1sin x2 sin xxsin 1一 1，也 收敛,而1 27dx发散,xpdx的敛散性0时是可积的；当p < 0函数在0,1上无界。但作为反常积分，当发散；因

13、为当1p 1 时有1im0 3Pdx而当P =-例1.7 积分A1I g(x)dx时趋于0,sin x dxx时,2xcos2x2x1丁 单调趋于2xAsin xdx1发散它是不可积的,p > - 1时收敛;1Sp 1因为这时被积1/ p 1，若 p，若 p<-1.11 .1 时有 lim x dx lim ln 1闩S 0 s6 0xpdx作为反常积分，当p <1时它收敛；当PO 这 是 因 为1lim x pdx6 0slimo8P 11P 11/ p 1，若p 1，若P>-1而当p=-1时有limox 1dxlim In 8 ln 1S 02.瑕积分的收敛判别(1

14、)定义判别法设函数f定义在无穷区间(a,b上，在点a的任一右邻域!无界，"任何内闭区间有限区问u,b(a,b上有界且可积.如果存在极限lim U f (x)dx J , u a则称反常积分a f(x)dx收敛.，否则发放例2.1计算瑕积分0 I x dx的值 0 .1 x20,1)上可积,x解：被积函数f (x)，在0,1)上连续，从而在任何0, u1 x2x 0为其瑕点.依定义求得dx lim 0u 1dxlim(1,1 u2) 1(2)定理判别法(柯西收敛第1)b瑕积分 f (x)dx (瑕点为a)收敛的充要条件是：任给在 5> 0, 只bbf(x)dx f(x)dxUiu

15、2(3).比较法则要 u1u2 a,a 8U2f (x)dx =o< £Ui设f(x)定义于(a,b), a为其瑕点，且在任何 u,b a,b上可积,如果 lim x a p| f (x) 入 x 0当p 1,0 入 时，/f(x)dx收敛当p 1,0 入 时，| f (x)dx发散 a(4).柯西判别法设x=a是f(x)的瑕点，如果cf (x)c 0 , p 1 那么x af (x)dx绝对收敛；如果f (x)0 , p 1那么f (x)dx发散-dx例2.2讨论:p-的敛散性(p0 xp ln x解：x=0是其唯一奇点当 0Vp<1 时，取 qp,1limx 0xqx

16、p ln x0,由柯西判别法知,dxp 收敛x ln x1, plimx 0xqln x由柯西判别法知,V dx e 0 xp ln x发散1 时，可以直接用Newton-leibniz公式得到dxe0 xp ln xlim lnT 0ln x因此，当0Vp < 1 时,反常积分-dx:收当敛；当p 1时，反常积分0 x ln xdx0eM吃发散(5) .阿贝尔判别法设f(x)在x=a有奇点,bf (x)dx收敛，g(x)单调有界，那么积分 abf (x)g(x)dx 收敛a(6) .狄利克雷判别法设f(x)在x=a有奇点,f (x)dx是刀的有界函数,g(x)单调且当x a时趋于零，那么积分f (x)g(x)dx例2.3讨论积分, 1 sin 一卢dx x的收敛情形当(0 < r< 1)时，sin积分绝对收敛，又工 sin1dxn x2 xcosl1 cos r, 1 sin 一 xdxx- s”dxx x2时,由