复变与积分变换复习

1、复变函数与复变函数与积分变换复习积分变换复习2011.12中国农业大学中国农业大学考试：考试：时间：时间： 12月月31号星期六号星期六上午：上午：10：40-12:2011477166110补考学生试验102测控101 通信101 自动101 电子092 电子101 电子102 地信081 电气101 电气102 电气103 电信101 三教三教三教三教106112124128第一章 主要知识点：复数的五种表示1.代数形式2.三角形式3.指数形式4.点表示5.向量表示z? x? iyz? r(cos?sin?)z? rei?z? x? iy? 复平面中点P(x, y)z? x? iy? 复平

2、面中向量op?五种形式之间的相互转换；针对不同问题，选用不同表示形式；二、乘积和商及几何意义三、幂和根第二章 解析函数? 定义定义1设函数f(z)在包含z0的某区域D内有定zz)义，当变量在点0处取得增量?z(z0? ?z? D时，相应地，函数取得增量f(z)?w? f(z0? ?z) ? f(z0)若极限f (z0? ? z?lim) ? f (z0)z? 0? z存在，则称f(z)在点z0处可导，1.2 可导与连续的关系可导与连续的关系连续?可导可导=连续?1.4 导数运算法则? 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：? （1）(C)? 0,其中C为复常数；? （2）（z）? n

3、znn?1,其中n为正整数；? （3）?f(z) ? g(z)? f?(z)? g?(z)；? （4）?f(z)?g(z)? f?(z)g(z) ? f(z)g?(z)?f(z)f (z)g(z) ? f(z)g (z)? （5）?g(z)?2g(z)?(g(z) ? 0)? （6）f?(z)? f?(w)?(z),其中w?(z)；（7）f?(z) ?1?(w )，其中w? f(z)和z?(w )是两个互为反函数的单值函数，且?（? w）? 0?；1.4 导数运算法则? 复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：? （1）(C)? 0,其中C为复常数；? （2）（z）? nznn?1,其

4、中n为正整数；? （3）?f(z) ? g(z)? f?(z)? g?(z)；? （4）?f(z)?g(z)? f?(z)g(z) ? f(z)g?(z)?f(z)f (z)g(z) ? f(z)g (z)? （5）?g(z)?2g(z)?(g(z) ? 0)? （6）f?(z)? f?(w)?(z),其中w?(z)；（7）f?(z) ?1?(w )，其中w? f(z)和z?(w )是两个互为反函数的单值函数，且?（? w）? 0?；2 解析函数的概念解析函数的概念? 定义定义3 如果函数f(z)不仅在点z0处可导，而且在点z0的某邻域内的每一点都可导，则称f(z)在点z0处解析，并称点z0是

5、函数的解析点；? 如果函数f(z)在区域 D内每一点都解析，则称f(z)在区域 D内解析或称f(z)为区域D内的解析函数，区域 D称为的f(z)解析区域. ? 如果f(z)在点z0处不解析，则称z0为f(z)的奇点.解析函数的运算性质：解析函数的运算性质：1）若函数f(z)和g(z)在区域D内解析，f(z)?g(z)、f(z)?g(z)、f(z)(gD内也解析；g(z)(z) ? 0)2）若函数w? f(h)在区域G内解析，而h? g(z)在区域D内解析，且g(D) ? G复合函数w? fg.(z)在D内也解析，且dfg(z)df(h) dg(zdz?dh?)dz在（则（，则函数解析的充要条件

6、函数解析的充要条件? 定理定理 设函数f(z) ? u(x, y) ? iv(x, y)在区域D内有定义，则f(z)在D内可导的充分必要条件为u,v在D内任一点z? x?iy处（1）可微；?u?v（2）满足?,?x?y?u?v? ?y?x柯西黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称CR条件（或方程）条件（或方程）? 定理二? 定理二（B）初等函数初等函数1. 指数函数指数函数(1) 定义定义（2）解析性）解析性（3） 性质性质2. 对数函数对数函数(1) 定义定义记作：记作：3. 乘幂乘幂ab和幂函数和幂函数（1） 定义定义设a为不为零的一个复数，b为任意一个复数，定义乘幂乘幂

7、为4. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数（1） 定义定义（2） 性质性质注：注：第三章 复变函数的积分?2?i,dz?n?1?0,(z? z )?0z?z0?r?0n? 0n? 0性质 ：解析函数沿闭曲线积分：? 柯西-古萨基本定理? 复合闭路定理、柯西积分公式、高阶求导公式、? 洛朗级数? 留数定理（孤立奇点情形）解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系方法三、利用解析函数导数公式方法三、利用解析函数导数公式解析函数f(z) ? u?iv的导数可表为f?(z) ? ux?ivx? ux?iuy? vy?ivxf?(z) ? ux?iuy?U(z)或f?(z) ? vy? ivxf

8、(z)?U(z)dz? c或f(z)?V(z)dz?c已知u.求v,有v?Im(?U(z)dz? c);已知v.求u,有u?Re(?V(z)dz? c).? V(z)第四章第四章 级数级数? 复数列、与复级数? 幂级数收敛半径? 泰勒级数、洛朗级数展开2、 洛朗级数洛朗级数第五章第五章 留数留数孤立奇点的分类孤立奇点的分类留数定义、定理、求孤立奇点的留数留数定义、定理、求孤立奇点的留数应用应用留数：?留数定义留数定理计算孤立奇点的留数（可去、本性 、极点的三个规则）留数定理计算三种类型的积分其中zk为复函数R(z)在上半平面中的孤立奇 点。其中zk为复函数R(z)在上半平面中的孤立奇 点。?积

9、分变换第一章第一章 Fourier变换变换?Fourier变换的定义变换的定义、简单函数的简单函数的 Fourier变换变换?函数的定义和性质函数的定义和性质性质性质Fourier变换的应用变换的应用Fourier积分存在定理积分存在定理若函数若函数f(t)在任何有限区间上满足狄氏条件在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只）连续或只有有限个第一类间断点有有限个第一类间断点(2)至多有有限个极值点）至多有有限个极值点）并且在并且在? ,?上绝对可积则有：上绝对可积则有：12? j?j?t?f(?)ed?ed?f(t)t为连续点?f(

10、t? 0)? f(t?0)?2t为间断点在(? ,? )绝对可积是指的?| f(t)|dt收敛。,F(?) ?f(t)e? j?tdt1f(t) ?2?F(?)ej?td? F(?)叫做f(t)的Fourier 变换,象函数,可记做F(?)=? f(t)f(t)叫做F(?)的Fourier逆变换,象原函数,记作：f (t)=?1F(?)?1f(t) ?2?F(?)ej?td? 也叫做f(t)的Fourier积分表达式?函数及其函数及其Fourier变换变换1.3.2 ?函数的性质函数的性质（1）对任意的连续函数f(t),都有?(t) f(t)dt =f?0? ?(t?t0) f(t)dt? f

11、?t0?（2）?(t)函数为偶函数,即?(?t) ?(t)（3）?t?(t)dt? u?t?其中, u(t) ?1?0ddtu(t)?t.?t? 0t? 0（3）?t?(t)dt? u?t?1u(t) ?0t? 0t? 0其中, 称为单位阶跃函数.反之,有du(t)?t?dt.常见函数的常见函数的Fourier变换对变换对?(t) ? F?(t)?1,?(t?t0) ? F?(t?t0)? e1? F1? 2?(?)ei?0t?i?t0? Fei?0t? 2?(?0)? 0,t? 01f(t)?t? Ff(t)? i?e,t? 0? 01.4 Fourier变换的性质变换的性质1 线性性质线性

12、性质设F1(?)=?f1(t)?F2(?)=?f2(t)?,?为常数则?f1(t)?f2(t)?F1(?)?F2(?)?1?F1(?)?F2(?)?f1(t)?f2(t)5 微分性质微分性质（1）象原函数的微分性质若F(?)=?f(t)?且tlim?f(t) ? 0则?f?(t)? j?F(?)一般地,若(ktlim?f)(t) ? 0?k? 0,1,2,n?1?(t)?n?f(n)?j?F(?)dd?F(?) ? ? j?tf(t)?或?tf(t)? jdd?F(?)则6 积分性质积分性质t如果当t? 0时， f(?)d? 0,?1则F?f(?)d?F f(t).j?t7 7 Fourier

13、变换的卷积与卷积定理变换的卷积与卷积定理?,?上的卷积定义1若给定两个函数f1(t),f2(t),则积分?f1(?) f2(t?)d?称为函数f1(t),f2(t)的卷积,记为f1(t)?f2(t)?f1(?) f2(t?)d?2傅氏变换的卷积定理傅氏变换的卷积定理f (t)?F(?)f (t)2=?F(?)21=?(1)若1?f1(t)? f2(t)? F1(?)F2(?)则?1?F1(?)F2(?)? f1(t)? f2(t)(2)频谱卷积定理若则F1(?)=?f1(t)?F2(?)=?f2(t)?1?f1(t)f2(t)?F1(?)?F2(?)2?第二章第二章 Laplace变换变换?L

14、aplace变换的定义变换的定义、简单函数的简单函数的 Laplace变换变换性质、求性质、求Laplace逆变换逆变换（用简单函数和留数方法）（用简单函数和留数方法）laplace变换的应用变换的应用1.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念定义定义1 设函数f(t)当t? 0有定义,而且积分?0f(t)edt (s是一个复参量）?st在s所确定的某一域内收敛 ,则由此积分所确定的?函数可写为F(s) ?f(t)e?stdt0我们称上式为函数f(t)的拉普拉斯变换拉普拉斯变换式,记做F(s) ?f(t)?F(s)叫做f(t)的拉氏变换,象函数.f(t)叫做F(s)的拉氏逆变换,象原函数,f

15、 (t)= ?1?F(s)?1.2 拉普拉斯变换存在定理拉普拉斯变换存在定理若函数若函数f(t)满足下列条件满足下列条件 在在t? 0的任一有限区间上连续或分段连续的任一有限区间上连续或分段连续 , t? 0时,f(t) ? 0 当当t?时时, f(t)的增长速度不超过某一指数函的增长速度不超过某一指数函数数,亦即存在常数亦即存在常数M ? 0,及C ? 0,使得使得f?t? Me 0 ? t? ?ct成立成立,则函数则函数f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s) ?0f(t)edt在半平面在半平面 Re?s?C上一定存在上一定存在.此时右端的积分绝此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛对收敛而且一致

16、收敛 .并且在此半平面内并且在此半平面内F?s?为解为解析函数析函数?st常用函数的常用函数的 Laplace变换变换1Le ?,Re(s) ? ks? km !m?Lt ?m ?1,m? Zs1L1 ?,Re(s) ? 0ssLcoskt ?2,Re(s) ? 02s ? kkLsin kt ?2,Re(s) ? 02s ? kL?(t) ?1kt2、 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质2.1 线性性质线性性质设设?f1(t)? F1(s)?f2(t)? F2(s)?,?为常数则为常数则?f1(t)?f2(t)?F1(s)?F2(s)?1?F1(s)?F2(s)?f1(t)?f2(t)2.

17、2 相似性质相似性质若若F(s)= ?f(t)?a? 0则则?1?s ?f(at )?F?a?a?1?s ?F( ) ? af(at)?a?2.32.3平移性质平移性质（1）象原函数的平移性质若若?f(t)? F(s)t0为非负实常数,则?f(t?t0)u(t?t0)? e?e?1?st0?st0F(s)F(s)? f(t?t)u(t?t)00?（2）象函数的平移性质）象函数的平移性质a? F(s),f(t)为实常数为实常数, ,则则若若?e f(t) ?F(s?a)?at2.4 微分性质微分性质（1）象原函数的微分性质若若?f(t)? F(s),则?f?(t)? sF(s)? f(0) (R

18、e?s? C)一般地一般地,f?(n)(t)? s F(s)? s?(n)nnn?1f(0) ? sn?2f?(0)? f(n?1)? f(n?1)(0)特别地特别地,当当f?f(0) ? f?(0) ? f? ?(0) ?(0) ? 0时,(t)? s F(s)?(n)n可以证明可以证明?(t) ? s?（2）象函数的微分性质）象函数的微分性质若若?f(t)? F(s),则F?(s) ? ?tf(t)?从而从而?tf(t)? ?F?(s)?f(t) ? ?t ?1?F?(s)? ?tf(t)?1?F?(s)?2.5 积分性质积分性质（1）象原函数的积分性质象原函数的积分性质若若?f(t)?

19、F(s),则F(s)?0f(t)dt ?st?1?F(s)?s?0f(t)dt?t一般地一般地?0dt?0dtn 次次tt?t01f(t)dt ?nF(s)s（2）象函数的积分性质象函数的积分性质若若?f(t)? F(s),且积分且积分则则或或?f(t)? F(s)ds?st?1?1?f(t) ? F(s)ds?s?t?f(t)?tn?sds?sdsn 次次?s F(s)ds收敛收敛一般地一般地?sds F(s)2.7 2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理拉氏变换的卷积与卷积定理(1)0,?)上的卷积定义上的卷积定义若函数若函数f1(t),f2(t)满足满足,t? 0时都为零时都为零,t则可以证明

20、卷积则可以证明卷积f1(t)?f2(t)?f1(?) f2(t?)d?f1(?) f2(t?)d?0称为函数称为函数f1(t),f2(t)在在0,? )上的上的卷积卷积.(2) 拉氏变换的卷积定理拉氏变换的卷积定理若若?f1(t)? F1(s),?f2(t)? F2(s),则则?f1(t)? f2(t)? F1(s)F2(s)?1?F1(s)F2(s)? f1(t)? f2(t)3、 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换根据拉普拉斯变换的定义根据拉普拉斯变换的定义1? j?stf?t?F s e ds t? 0?2?j? j?右端的积分称为拉氏反演积分右端的积分称为拉氏反演积分.它是一它是一个复变函数的积分个复变函数的积分,但计算比较麻烦但计算比较麻烦.?求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等部分分式法、查表法等 . 我们简单介绍留数我们简单介绍留数法和查表法法和查表法.拉氏逆变换的性质拉氏逆变换的性质?1?F1(s)?F2(s)?f1(t)?f2(t)?1?s ?F( ) ? af(at )?a?1?F(s?a)? f(t) ea t?1?e?st0F(s)? f(t?t)u(t?t)00?t?F(s)?f(t)dt? ?s?