多维随机变量函数分布设计

1、概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100 分钟任课教师蔡东平专业与班级市营B1601班人资B1601-02班课型新授课课题二维随机变量函数的分布学 习 目 标知识与技能1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8最大、最小分布过程与方法在实际应用中，有些随机变量往往 是两个或两个以上随机变量的函数.例如，考虑全国年龄在 40岁以上的人 群，用X和Y分别表示一个人的年龄和 体重，Z表示这个人的血压，弁且已知Z与X, Y的函数关系式Z g(X,Y) ,现希望通过(X”的分布来确定Z的分

2、布.此类问题就是我们将要讨论的两 个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系：(i) Z X Y；(ii) Z maxX,Y和 Z minX,Y,其 中X与Y相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量 函数的分布问题推广到n个随机变量函 数的分布问题只是表述和计算的繁杂 程度的提高，弁没有本质性的差异.1.培养学生解决问题的过程是由简单 主一、到复杂的过程。情感态度 2.让学生理解，一个真理的发现不是一 与价值观 蹴而就的，需要经过有简单到复杂，由 具体到抽象的不断深入的过程.教学分析教学内容1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量

3、函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8最大、最小分教学重点1 .和的分布；2 .积的分布；3 .最大、最小分布；教学难点1 .和的分布；2 .积的分布；3 .最大、最小分布；教学方法与策略课堂教学设计思路1对比一维随机变量函数的分布来了解多维随机变量离散型随机向量的函数的分布、连续型随机向量的函数的分 布；2、进,步理解和的分布、正态随机变量的线性组合、商的分、积的分布、最大、最小分布板书设计1.引言2离散型随机向量的函数的分布3连续型随机向量的函数的分布4连续型随机向量函数的联合概率密度5和的分布6商的分布7积的分布8最大、最小分教学进程教学意教学内容教学环节27 / 24时间：

4、5分 钟应指出的 是，将两个 随机变量 函数的分 布问题推 广到n个随 机变量函 数的分布 问题只是 表述和计 算的繁杂 程度的提 高，弁没有 本质性的 差异.1 .引言(5分钟)在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数.例如，考虑全国年龄在40岁以 上的人群，用X和Y分别表示一个人 的年龄和体重，Z表示这个人的血压， 弁且已知Z与X, Y的函数关系式Z g(X,Y) ,累计5分现希望通过(X”的分布来确定z的分 钟 布.此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特 殊的函数关系：(i) Z X Y；(ii) Z maxX,Y和 Z m

5、inX,Y,其中X与Y相互独立.注：应指出的是，将两个随机变 量函数的分布问题推广到n个随机变 量函数的分布问题只是表述和计算 的繁杂程度的提高，弁没有本质性的 差异.时间:25分钟离散型 随机变 量的函 数的分 布教学意图教学内容教学环节2.离散型随机变量的函数的分布：(25分钟)离散型随机变量的函数的分布设(X,Y)是二维离散型随机变量g(x，y)是一个二元函数,则g(X，Y)作为(X，Y)的函数是一个随机变量,如果(X，Y)的概率分布为PX Xi,Y yj Pij (i, j 12,)设Z g(X，Y)的所有可能取值为Zk，k 1，2，,则Z的概率分布为PZ Zk Pg(X,Y) ZkP

6、X Xi,Y yg (xi M ) zkk 1,2,设(X ,Y)是二维离散型随机变量 , g(x,y)是一个二元函数,则g(X,Y)作为(X”的函数是一个随机变量 ,如果(X,Y)的概率分布为PXXi,Yyjpj(i, j 12,)(X,Y)Z XY设Z g(X,Y)的所有可能取值为zk，k 1，2，,则Z的概率分布为k 1,2,PZ Zk Pg(X,Y) ZkPX Xi,Yg (xi ,yj) zk101210.20.150.10.320.100.10.05例1设随机变量(X，Y)的概率分布如下表求二维随机变量的函数Z的分布：(1)Z X Y;(2)Z XY.解由(X，Y)的概率分布可得0

7、.20.150.10.30.100.(-1,-1)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,0)(2,Y-2-10112310-1-2-2021Pj1)与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同,把Z值相同项对应的概率值合弁可得：Z X Y的概率分布为-2-1012340.2 0.15 0.10.400.10.05yPi（2）Z XY的概率分布为Z-2-10124pi0.40.10.150.20.10.05例2 设X和Y相互独立，Xb（n1,p）, Yb（n2，p）, 求 z X Y 的分 布.解这里我们利用第二章中二项分 布的直观解释求之.若Xb（ni，p）,则 X是在n1次独立重

8、复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率 都为p.累计分钟30同样,Y是在n2次独立重复试验中 事件A出现的次数,每次试验中A出 现的概率为p，故Z X Y是在ni n2次 独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p，于是 Z是以（ni n2，p）为参数的二项随机变 量，即Zb（n1 n2向例3若X和Y相互独立，它们分 别服从参数为1,2的泊松分布,证明 Z X Y服从参数为i 2的泊松分 布.e 1 1PX i一1i!i 0,1,e 2 jPY j-一2j! j 0,1,由离散型卷积公式得 r PZ rPX i,Y rii 0rir ie 1 e 2 -2- i 0i

9、!(r i)!e ( 1 2) rr!i r i1 2 r! i 0 i!(r i)!e ( 1 2)rr! ( 12) , rQ1,即Z服从参数为1 2的泊松分布.3.连续型随机向量的函数的分布(20分钟)教学意图教学内容教学环节设(X ,Y)是一维连续型随机向量,其概率密度函数为 f(x,y),令g(x,y)为 一个二元函数,则g(X,Y)是(x,y)的函 数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z g(X,Y)的分布.a)求分布函数FZ，Fz(z) PZ z Pg(X,Y) z P(其中,Dz ( x, y) |g(x, y) z.时间20分钟X,Y) Dzf(Dzx, y)dxd

10、y.b）求其概率密度函数fz，对几 乎所有的z,有fz(z) Fz(z).定理1设（“区）是具有密度函数f（X1,X2）的连续型随机向量.（1）设1gl（Xl，X2），丫2 g2（Xl，X2）是 R2 到自身的映射,即存在定义在该变换的值域上的逆变换：Xihi(yi,y2),X2 h2(yi,y2);（2）假设变换和它的逆都是连续(i 1,2, j 1,2)假设偏导数y存（4）假设逆变换的雅可比行列式有限个相互独立的正态随机变量的线J(y1，y2)y1V2h2_h2yy2性组合仍即J（y1，y2）对于在变换的值域中的然服从正（%，）是不为0的.则丫工具有联合密态分布度w(y1,y2) IJI

11、f(N(y1, 丫2)由2(%。2).定理2设x，Y相互独立，且 2 2、.X N（ 1，1 ）, Y N（ 2，2）.贝U Z X Y 仍然服从正态分布，且 22Z N（ 12, 1222）更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即有2、，定理 3 若Xi N（ i，i）（i 1，2，n），且它们相互独立，则对任意不全为零的常数a1，a2,，an,有累计50分钟nnn2 ai Xi Nai i， ai ii 1i 1 i 1.例4 设随机变量X与Y相互独 立，且同服从0，1上的均匀分布，试 求Z lX 丫1的分布函数与密度函数.解先求Z的分布函数于是Z l

12、X Yl的概率密度为2(1 z), 0 x 1fzFZ0,其它.4.和、商、积的分布（35分钟）教学意图教学内容教学环节例5设（X1，X2）的密度函数为 f（Xi,X2）.令YiXi X2, Y2试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.和的分布：设X和Y的联合密度为f（x，y）,求z X Y的密度.卷积公式：当X和Y独立时,设 （X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为 fX（x）,fY（y）,则上述两式化为fz（z）fX （z y） ffz（z）fX （X）fy（z以上两个公式称为卷积公式.解令y1 x1 X2, y2 x1 X2,则逆艾换为v y V2 vy y2X1， X2，221/21/2J（y

13、1，y2）1/2 0， 1/21/2故由定理1知，X和/的联合密度/、1 , y2 V1 y2w（y1, y2）f，.函数为222例6 设X和Y是两个相互独立的时间35分钟1X2Y(y)dyX)dX随机变量.它们都服从 其概率密度为N(01)分布fx (x)1x2/ 2：eV2fY(y)1-e y2/2J 2求Z X 丫的概率密度.解由卷积公式得fz(z)fx (x)fy(zx)dxx2(z x)2dxz21 e722z2 dxz2 z/2 1 e 4 一2e t2dt_2_2zzJ-e 4 v-1-e 4 ,3 21即 Z N(0,2).例7（讲义例5）设某种商品一周的需要量是一个随机变量,

14、其概率密度函数为f(x)xe x,当 x 0,0, 其它.如果各周的需要量相互独立,求两 周需要量的概率密度函数.解分别用X和Y表示第一、二周的需求量则z2t2z21 _1_1_fZ(z) e 丁 _e dt e ,2 隹2它表明Z N(0,2).注：进一步可以证明，设 2 2、-.XN( 1, 1), XN( 2, 2), 且 X 和 Y 相互-_ 22、独立，则 Z X YN( 12, 12).例9设X1,X2相互独立且分别服 从参数为1, ； 2,的 分布(分别记 成 X一( 1, ), X2 ( 2, ), X1,X2 的概 率密度分别为1x 1 1e x/ , x 0fX1 (x)1

15、 ( 1)0,其它1y 2 1e y/ , y 0fX2(y)2(2)0,其它试证明X1X2服从参数为12,的分布.证明由卷积公式,知当z 0时,Z X1 X2的概率密度fZ«)。.当z 0时, ZX1 X 2的概率密度fz(z)fX1(x)fX2(z x)dxz_x 11e x/ 01(1)2 ( 2)(z x) 2 1e (z 刈 dxz/7ez 2 Jx dx1 2 ( 1) ( 2) 0z 1 2 1e z/111x zt t 1 1(1 t) 2 1dt1 2 ( 1) ( 2) 0记为 Az 1 2 1e z/ , 111 1c 1A 1t 1 1(1 t) 2 1dt,

16、其中1 2( 1)( 2)0再来计算A.由概率密度性质,有10fz(z)dzA 1 2 0 (z/ ) 1 2 1e x/ d(z/ )A 1 2 ( 12)，1A 于是z 0,其它亦即有12(12)z 1 2 1e z/fz(z)12(12)0,即Z X1 X2服从参数为12，的分布即 Xi X2 ( 12,).商的分布：设二维随机向量 (X,Y)-，* X -的密度函数为f(x，y),求 丫的密度 函数.例10在一简单电路中,两电阻 R1和®串联连接,设R1,R2相互独立, 它们的概率密度均为10 x f (X)500,求总电阻 R R R2 的概率密 度.解R的概率密度为fR(

17、z)f(x)f(z x)dx.0 x 100x10易知仅当0 Z x 10,即Z 10 x Z时上述积分的被积函数不等于零(如图),由it匕即 得zf(x)f(z x)dx, 0 z 10 0 10fR(z)f(x) f (z x)dx, 10 z 20,z 100,其它将 f(x)的表达式代入上式得(600z 60z2 z3)/15000, 0 z 10_3fR(z)(20 z) /15000,10 z 20.0，其它例11设X与Y相互独立,它们 都服从参数为 的指数分布.求 Z X s 、一Y的密度函数.xcfx(x)e , x 0解依题意，知0, x 0f 、e y, y 0fY(y),

18、0, y 0因X与Y相互独立, 故f (x,y)fX(x)fY(y).由商的分布, 知fZ(z)1y1fx(yz)fY(y)dy,当 z 0 时fz(z) 0；当 z 0 时，2 2 22_ y(1 z) ,2累计350,故Z的密度分钟fZ(z)1/(1 z)2，z 0函数为0, z 0积的分布： 设（X1，X2）具有密度函 数f（X1,X2）,则Y X*2的概率密度为, y 1fY（y）f 乙dz.z |z|例12 设二维随机向量（X,Y）在矩 形G （x，y）|O x 2,0 y 1上服从均 匀分布，试求边长为X和Y的矩形面 积S的密度函数f（s）.解法1二维随机变量（X，Y）的密度f(x

19、,y) 1/2, (x，y) G函数为0， (x，y) G令F(s)为Sy的分布函数，则 F(s) PS 号f (x, y)dxdy,xy s2 xF(s) 1；而当1 2 1一 dx dy2 s s/x显然s 0 C时，F(s) 0； s 2 时,0 s 2时(如图)，有f (x, y)dxdyxy s1s(1 In 2 In s), 20,s 0F(s) s(1 ln2 lns)/2, 0 s 2, 于是1，s 2从而(In 2 lns)/2, 0 s 2f(s)F (s)(甘一0,其它解法2二维随机变量(X，Y)的密度-11/2, (x,y) Gf(x，y)门,、z函数为0, (x, y

20、) Gfs(s)f z, dz.于是z |z|0-1因为仅当0 z 2, z 时，f z,-0,z所以s2 1 11fSf z, - dz s- -dz (ln2 lns),0 s 2其它W , fS0.5.极值分布(15分钟)教学意图教学环节M max(X ,Y)及 N min( X ,Y)的分布设随机变量X,Y相互独立，其分布 函数分别为FX(x)和FY(y),由于 M max(X,Y)不大于z等价于X和Y都时间13分钟不大于z,故有Fm(z) PM z PX z,Y z PX zPY类似地,可得N min(X，Y)的分布函数Fn(z) PN z 1 PN z 1 P) 1 PX zPY

21、z例13 设随机变量Xi，X2相互独 立，弁且有相同的几何分布： k 1PXi kpqk1,k 1,2,q 1 p求Y max(X1，X2)的分布.解一PY n PmaxXhX2 nPX1n,X2 n PX2 n,X1 nnn 1n 1k 1n 1k 1pqpqpqpqk 1k 12 n 1 1 qn2 n 1 1 qn 1p q- p q -1 q1 qn 1 0nn 1、pq (2 q q ).解 二PY n PY n PY n 1PmaxX1,X2 n PmaxX1,X2 n 1PX1 n,X2 n PX1 n 1,X2 nn2n 12k 1k 1pqpqk 1k 12d 2“n.n 1

22、2 1 q2 1 qp dp d1 q1 q(1 qn)2 (1 qn1)2pqn1(2 qn qn 1).例14 (讲义例6)设系统l由两个zFx(z)Fy(z);(z,Y z:1 1 Fx(z)1,i 1,21Fy(z).相互独立的子系统L1，L2联接而成，联 接方式分别为串联、弁联、备用(当 系统L损坏时，系统L2开始工作)， 如图336所小.设L1，L2的寿命分 别为X，Y,已知它们的概率密度分别 为fx(X)e x, x 0,0,X 0,一、e y, y 0, fY(y)0,y 0,其中 0,0且.试分别就以上三种联接方式写出L寿命Z的概率 密度.解(1)串联的局_T.情况L |G由于当L1, L2中有一个损坏时,系统L就停止工 作，所以这时L的寿命为Z minX，Y 由题设知X,Y的分布函数分别为匚 /、1 e x, x 0Fx (x),0,X 0xFY(y)1 e , y 0,0,y 0于是Z minX，Y的分布函数为Fmin(z) 1 1 FX(x)1 FY(y)1 e ( )z, z 0, 0,z 0Z minX，Y的概率密度为 M ( )e( )z z 0.0,z 0(2)弁联的情况由于当且仅5 A1 * H当L1,L2都损坏岛_|时，系统L才停止工作,所累计48分钟以这时L