导数的复习与小结名师课件

1、导数的复习与小结导数的复习与小结 楚水实验学校高二数学备课组楚水实验学校高二数学备课组 本本 章章 知知 识识 结结 构构 定积分定积分 知识梳理：知识梳理： 、导数的概念、导数的概念 （a,b)函数函数y? ?f(x)在区间（在区间（a,b)有定义，有定义，x0? ? 我们称我们称f(x)在在x=x0可导可导,并称该常数并称该常数A为函数为函数f(x)在在x=x0处的导数，记为处的导数，记为f/(x) 、几种常见函数的导数公式、几种常见函数的导数公式 ?yf(x0? ?x)?f(x0)?X?0 ,比值?A?x?xc?0（c为常数）（x） ?nx（n?Q）（sinx） ?cosx ，（cosx

2、） ? ?sinx11（lnx） ?，（logax） ?logaexxxxxx（e ） ?e，（a ） ?a lnann?1、求导法则、求导法则 、复合函数求导、复合函数求导 、导数的几何意义、导数的几何意义 函数 y?f（x）在点x0处的导数 f（?x0），?处就是曲线 y?f（x）在点P?x0，f（x0）的切线的斜率、导数的应用、导数的应用 1 1判断函数的单调性判断函数的单调性 2 2求函数的极值求函数的极值 3求函数的最值求函数的最值 4. 定积分定积分 近几年该近几年该 1、以填空题考查导数的知识点的知识点的 对导数的考查客观题为一概念，求函数的导数，求考查情况考查情况 个，与导数的

3、知识有关的解（1）2001年高考第8题关于极值问题， 函数的极、最值。 答题也为一个。 高考命高考命题结构题结构 第19题第（2）问证明函数的单调性；2、与导数的几何意义相2002年高考第20题考查导数的几何意结合的函数综合问题，利义；2003年高考的第7题与第19题，用导数证明函数的单调性分别考查导数几何意义与函数的单调性。 或求函数的单调区间，多 为中档题。 主要题型主要题型 3、利用导数求实际问题中的最值问题，为中档偏难题 例题讲解：例题讲解： 例2：用公式法求下列导数： x?2(3x?1 )（1）y= （3）y=ln(x+sinx) 2ecos x（2）y= （4）y= log3(x

4、?1 )22x 解(1) y= (2) (3) 12(x?2 )?(3x?1 )?x?2?2?(3 x?1 )?322(3x?1 )?6 (3x?1 )?x?22 x?21?2y?2e2x?cosx?e2x?sinx (4) 11?cosxy?(x?sinx)?x?sinxx?sinx2xlog3e12y?2log3e?(x?1 )?2x?1x?12例例3、已知、已知f (x) =2x +3x f ? ?(1), f ? ?(0)= -6 解: 由已知得: f ? ?(x)=4x+3 f ? ?(1), f ? ?(1)=4+3 f ? ?(1), f ? ?(1)=-2 f ? ?(0)=

5、40+3 f ? ?(1)=3(-2)=-6 3 32 2例例4（2001文）已知函数文）已知函数f(x)=xf(x)=x -3ax-3ax +2bx+2bx在点在点x=1 处有极小值处有极小值-1，试确定，试确定a、b的值，并求出的值，并求出f(x)f(x)的单调的单调区间。区间。 分析：分析：f(x)f(x)在在x=1x=1处有极小值处有极小值-1-1，意味着，意味着f(1)=-1f(1)=-1且且f f (1)=0(1)=0，故取点可求，故取点可求a a、b b的值，然后根据求函数的值，然后根据求函数单调区间的方法，求出单调区间单调区间的方法，求出单调区间 。 ?f (1)? ?1?a?

6、略解： ? ?f (1)?0 13,b? ?12单增区间为（单增区间为（- ，-1/3）和（）和（1，+） 单间区间为（单间区间为（-1/3，1） 练习巩固练习巩固1 1： 设函数设函数y=xy=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示，且与的图象如图所示，且与 y=0y=0在在原点相切，若函数的极值为原点相切，若函数的极值为 -4-4 （1 1）、求）、求a a、b b、c c的值的值 （2 2）、求函数的单调区间）、求函数的单调区间 答案（答案（1 1）a=-3,b=0,c=0 a=-3,b=0,c=0 （2 2）单增区间为）单增区间为(-(-,0),0)和和(2,+)

7、(2,+) 解：由已知,函数f (x)过原点过原点(0,0), f (0) =c=0 f ? ?(x)=3x2+2ax+b 且函数且函数f (x)与与y=0在原点相切，在原点相切， f ? ?(0)=b=0 32 即即f (x)=x +ax 由f ? ?(x)=3x2+2ax=0,得得x1=0,x2=(-2/3)a 8343即 ?a?a? ?4 279解得a=-3 ?2?由已知 f?a? ?4?3? 1312f(x)?x?ax?(a?1 )x?1在区间（1，4）内为 例5 若函数 32减函数，在区间（6，+）上为增函数，试求实数a的取值范围. f(x)的导数 解：函数 f?(x)?x?ax?a

8、?1.2 令 f? (x)?0，解得 x?1或x?a?1 .当a?1?1即a?2时,函数f (x)在(1 ,?)上是增函数,不合题意当a?1?1即a?2时,函数f(x)在(?,1 )上为增函数,在(1 ,a?1)内为减函数,在(a?1 ,?)为增函数.依题意应有 当 x?(1 ,4 )时, f? (x)?0 ,当x?(6 ,?)时, f? (x)?0 . 5? a ?7 .所以 4? a ?1?6 . 解得 故a的取值范围是5，7. f(x)?ax?3x?x?1 例6 已知 在R上是减函数，求a的取值 范围. 32?(x)?3 ax?6x?1 .f 解：函数f(x)的导数：f? (x)?0（）

9、当 （ x?R）时， f(x)是减函数. 23 ax?6x?1?0 (x?R)?a?0且? ?36?12 a?0?a? ?3 .2a? ?3时,由f ?(x)?0,知f (x)( x?R)是减函数； 所以，当 13832f(x)? ?3x?3x?x?1?3 (x?)?,a? ?3时， = （II）当 393y?x在R上的单调性，可知 由函数 当 ）是减函数； f(x)(x?Ra? ?3时， a? ?3时，在R上存在一个区间，其上有 f? (x)?0 ,（）当 f(x)(x?R)不是减函数. 所以，当 a? ?3时，函数 综上，所求a的取值范围是（ ? ?,?3 . 例7 如图，已知曲线C1：y

10、=x3(x0)与曲线C2:y=2 x3+3 x(x0)交于O，A,直线x=t(0t1)与曲线C1,C2分别交于B，D. （）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t) ; （）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值. 3y ?y?x解：（）由 得 ?3?y? ?2 x?3 x, 交点O、A的坐标分别是（0，0）， （1，1）. B D C1 f(t)?S?ABO?S?OBDO B A C2 x t 1113?|BD|?|1?0|?|BD|?(?3 t?3 t),22233(0?t?1 ).即 f(t)? ?2(t?t).3923t ?.f?(t)?0解得 （） 令 f ?(t

11、)? ?t?.322 33 当 f(t)在区间 (0,)上0?t?时, f ?(t)?0,从而 33是增函数； 33 当 f(t)在区间 (,1)上 ?t?1时, f ?(t)?0,从而 33是减函数； 333f(t) 所以当 时， 有最大值为 t ?f ()?.333 f(x)?ax?bx?3x在在 x? ?1处取得极值。处取得极值。 例例8 8 已知函数已知函数 f (1 )是函数是函数 f(?1 )和和 f(x)的极大值还是极小值；的极大值还是极小值； (1)讨论讨论 32y?f(x)的切线，求此切线方程。的切线，求此切线方程。 A(0 , 16 )作曲线作曲线 (2)过点过点 解：解：

12、( 1 ) f?(x)?3 ax?2 bx?3依题意，依题意， f?(1 )?f?(?1 )?02?3 a?2 b?3?0 ,?a?1 , b?0?3 a?2 b?3?0 .2?f(x)?x?3x, f (x)?3x?3?3 (x?1 )(x?1 )3令f? (x)?0， 则x? ?1 , x?1当 x?(?,?1 )?(1 ,? ?)时，f? (x)?0当 x?(?1 , 1 )时，f?(x)?0(1 ,? ?)上是增函数，上是增函数， (?,?1 )，f(x)在在 (?1 , 1 )上是减函数。上是减函数。 f(x)在在 所以，所以， f(?1 )?2是极大值；是极大值； f (1 )?

13、?2是极小值。是极小值。 y?x? 3x，点，点 A(0 , 16 )不在曲线上不在曲线上 . （2）曲线方程为）曲线方程为 M(x0, y0，则点，则点)设切点为设切点为 M的坐标满足的坐标满足 y0?2因为因为 f?(x0)?3 (x0?1 )2故切线的方程为故切线的方程为 y?y0?3 (x0?1 )(x?x0)注意到点注意到点A（0，16）在切线上，有）在切线上，有 3020303x? 3x03016?(x?3x0)?3 (x?1 )(0?x0)?x ? ?8 即 x0? ?2所以，切点为所以，切点为 M(?2 ,?2 )， 切线方程为切线方程为 9x?y?16?05?3cosx?（0

14、?x?）的最小值.例例9 求 y?sinx2?sinx?（5?3cosx）（5?3cosx）（sinx）解：解：y 2sin x3?5cosx2sin x3令y?0?cosx?533当cosx?时，y?0， 当cosx?时，y?0553? 当cosx?时，ymin?4.5例例10 10 已知函数已知函数f(x)=ln(1+ x)x，g(x)=xlnx. （）求函数）求函数f(x)的最大值；的最大值； （）设）设0ab, 证明证明: a?b 0g(a)+g(b)-2g( )0 时，时， ?x，作函数g(x)?ln( 1?x)?x，g(x)?1?x当当 x 0 时，时， g (x)?0，知知 f(x)单调递减，单调递减， x=0 时，时，g而而 (x)?0，故当故当 x0 时，时，g (x)?g(0 )?0综上得综上得 原不等式成立原不等式成立. x?ln( 1?x).1?x,ln( 1?x)?x,课堂小结：课堂小结： 导数的应用主要表现在：导数的应用主要表现在： 1.利用导数的几何意义求切线的斜率；利用导数的几何意义求切线的斜率； 2.求函数的单调区间，只要解不等式求函数的单调区间，只要解不等式f(x) 0或或f(x)0即可；即可； 3.求函数求函数f(x)的极值，首先求的极值，首先求f (x),在求在求f (x)=0的根，然的根，然后检查方程根左右两侧的导数符