§4行列式的性质

1、 1.4 行列式的性质 证令 bj aji (i, j 1,2, ,n),则 (1) ( 1)t( aiPj ajPi ) (1) ( 1)t( % ajqj ) D 推论 1 D 对调两列得D2 D2 D .a11 a1n a11 a n1 ,DT ，则 D T a n1 a nn a1 n a nn 性质 1 设D D ai1 ain a j1 a jn 性质 2 设 i j, D ,D1 ,则D1 a j1 ajn ai1 ain (1) a P11a P22 a Pnn (P1P2 Pn) 证 bik ajk，bjk aik (k 1,2, ,n) l i, j ： bk aik (k

2、 1,2, ,n) D1 bi1 bj1 bin bjn (1) ( biPi bjPj ) (Pi Pj ) (1)t( 1)( bjPj biPi ) t( Pj Pi ) bii bn1 bnn ()b1 p1 b2 p2 (P1P2 Pn) (P1P2 Pn) (根据Th2) qi Pj , qj Pi l i,j： qi Pl t( qi qj ) 证 因为 D 对调两列得D2,相当于 DT对调两行得 D； 所以 D2 D； DT D 推论 2 D 中某两行（列）元素对应相等 D 0 . 证因为对调此两行（列）后,D 的形式不变 所以D D 例如，对于任意的 a,b, c, 都有 a

3、ii a11 ka1 j 性质 3 kai1 kain kD, kD an1 kanj ann an1 ann 证 （1） 左端 1) a1P1 (kaipi) anPn (Pi Pi Pn) aiPi anpn) kD 推论 推论 D 中某行（列）元素全为 0 D 中某两行（列）元素成比例 a11 a1n a11 a1 n a11 a1n ai1 ain b bin Ci1 Cin an1 ann an1 ann an1 ann 证左端 ( 1) (a1 P1 aiPi 叽） (P1 ( 1) (a1P1 Si anPn) (1) (a1P1 c ,n),则 性质 Cj (j 4 j Pi

4、iPi 右端（1）+右端 若对某个 i,有aj bj Pn) 注性质 4 对于列的情形也成立. 1 ri (r2 rn) 解Dn x (n 1)a x (n 1)a x (n 1)a(x n 1 a) 注性质 5 对于列的情形也成立. 计算Dn ai1 ain ri krj ai1 aj1 ain a jn aj1 a jn aj1 ajn 性质 5 (i j) 1 5 3 3 1 5 3 3 1 5 3 30 10 5 55 0 2 1 1(5) 0 1 1 10 16 10 1 0 0 2 30 0 2 30 21 9 11 0 1 1 1 0 2 1 1解D 1 5 3 3 1 5 3

5、3 0 1 1 1(5) 0 1 1 1 0 0 2 30 0 2 3 11 0 0 3 1 0 0 0 2 ( 5) 55 a a x 计算 1 2 3 4 5 0 3 1 1 3 3 1 n 0 0 1 (22 n2) 1.5 行列式按行（列）展开 余子式：在n阶行列式中，将元素aj所在的行与列上的元素划去，其余 元素按照原来的相对位置构成的 n 1 阶行列式，称为元素玄耳的 余子式，记作M 代数余子式： 儿糸 aj的代数余子式 Aj (1)i jMj . a11 a12 a1n 定理 3 D a21 a22 a2n an1 an2 ann ai1 Ai1 ai2Ai2 a in Ain

6、(i 1,2, ,n) a1 j A1j a2j A2j a nj Anj (j 1,2, ,n) 证证明第一式，分以下 3 步. (1 Pi n 1)1 2 3 2 1 0 例 7 计算 Dn 3 0 1 n 0 0 c1 jCj Dnj2, ,n0 0 1 a11 第 1 步: Mnn (1)(P1 Pn P1 an 1,Pn 1 an 1,1 a1,n 1 ai1 ai, n 1 ain an 1,1 an 1,n 1 an 1 ,n 0 0 ann (1)5 Pn lPn), ai Pi an 1,Pn i an,Pn ( 1 (P1 Pn 1Pn) 弘1 Pn n 1) (P1 Pn

7、 1Pn) 弘1 ( Pn n an n ( 1) (P1 Pn 1n) a1 an 1,Pn 1 an, Pn + an 1,Pn 1 an, Pn an 1,Pn 1 ( P1 Pn 1n) ( P1 Pn 1) annM nn ann ( 1)n nM nn 第 2 步: D(i, j) - a1 j - D1 1 - 1 - D2 i ai 1,j i 0 0 aij 0 0 i ai 1,j : 1 D3 ； 1 D4 -1 anj - a1j 1)(n i) (n j) D3 D4 : B ! anj Rii vai E Bar VHI ” ? 0 0 0 0 ay (1) ( j

8、)aij M ij aij Aij 第 3 步：D D(i,1) D(i,2) D(i, n) 例 8 计算D ai1Ai1 ai2 Ai2 ain Ain 15 3 3 2 0 11 3 112 4 13 1 D1 i D2 ai 1,j ai1 ai, n 1 ain (1)(2n1) (2n1)ad D2(n 1) ( 1)( 1)(2n1)1bc D2(n 1) (ad bc)D2(n1) (ad bc)n 1D2 a b D2 ad bc c d D2n (ad bc)n 1 ： 1 I I 仁2 2 1 16 0 2 1 1 4 7 1 2 3 16 (1)32 2 1 20 0 (1) 2 1 7 0 例 9 计算 D2n D2n (1)1 2 2 1)( 1) 20 a b: i a b c d c d I 0 0 0 d (2n 55 0 (1)12nb 0 D2(n 1) c 0 a b =4 “ 4 j =二.“-.i = 1寸 5 W ! “ nia 10 8 D2(n 1): 103 3 ； i i 1 1 0 0 n 1 | n 1 丿 im * an F * b E 1 ； 0 0 0 ； n例 10 计算Dn D2 Dn 课后作业: nDm ( 1)n 1(n 1)! n (n 1)Dn2 ( 1)(n 1) 1