一阶常微分方程的初等解法

1、第二章 一阶微分方程的初等解法 2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换 先看例子： dy22?xy?1dx?dyyxx?y?ye?ye edx定义1 形如 dy?F(x,y)dxdy?f(x)?(y)dx方程,称为变量分离方程. (2 .1 )这里f(x),?(y)分别是x,y的连续函数.一、变量分离方程的求解一、变量分离方程的求解 dy?f(x)?(y)dx(2 .1 )10分离变量,当?(y)?0时,将(2 .1 )写成dy?f(x)dx ,这样变量就“分离”开了 . ?(y)02两边积分得dy?f(x)dx?c?(y)?(2.2)f(x)的某一原函数1的某一原函数?(y)由

2、(2 .2 )所确定的函数y?(x,c)就为(2 .1 )的解.例： dy22?xy?1dxdy2?x dx分离变量: 2y? 1?两边积分: ?13arctan y?x?C3dy?2y? 1?x2dx?C注: 若存在y0,使?(y0)?0 ,则y?y0也是(2 .1 )的解,可能它不包含在方程(2 .2 )的通解中,必须予以补上.例1 解: dyy求微分方程 ?y(1?)dx10的所有解. y方程两边同除以y(1?),再积分10?积分得: dyyy(1?)10?dx?c1yln?x?c110?y从上式中解出y,再将常数记为c,得y由y(1?)?0 ,求出方程的所有解为y?0和y?10 ,10

3、故方程的所有解为: 10y?,? x1?cec ?0 .10和y ?0 .y?,c为任常数,? x1?ceyln?x?c110?ydy?y例2 求微分方程 xdx解: 32的通解. 1分离变量后得 y dy?dxx1?2?lnx?c1两边积分得: ?2y3?244y?,整理后得通解为: 22(lnx?c1)(lncx)其中c?e ,由于函数y x 在x?0 无意义,故此解只在x?0或x?0之一中有意义.2c13?1此外还有解y ?0 ,这个解未包含在通解中,应补上.例3 求微分方程 dy?p(x)ydx的通解,其中p(x)是x的连续函数.dy解: 将变量分离后得 ?p(x)dxy两边积分得:

4、lny?p(x)dx?c1由对数的定义有 ?y?ep(x)dx?c1?y?e即 p(x)dx?c1?y? ?e ec1p(x)dx? cep(x)dx.此外y?0 也是方程的解,若在上式中充许c?0 ,即知y?0 也包括在上式中,故方程的通解为 ?y?cep(x)dx,c为任常数.?dy?y2cosx求初值问题?dx的特解.例4 ?y(0 )?1dy解: 先求方程?y2cos x的通解，dx当y ?0时,将变量分离,得1两边积分得: ?sinx?c,ydy? cosxdx2y1,因而通解为: y? ?sinx?c其中c为任意常数.此外y?0也是方程的解,且不能在通解中取适当 的c得到.再求初值

5、问题的通解, 以y(0 )?1代入通解,得c? ?111?.所以所求的特解为: y? ?sinx?1 1?sinx二、可化为变量分离方程类型 （I）齐次方程 dy(II)形如?dx? a1x?b1y?c1?f?的方程, ?a x?b y?c?22?2其中a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意常数.(I) 形如 dyy?g( )dxx0(2 .5 )方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函数.y求解方法: 1作变量代换(引入新变量)u?,方程化为xdydudug(u)?u(这里由于?x?u)?,dxdxdxx20解以上的变量分离方程30变量还原.例4 求解方程 dyx?2 xy?ydx解:

6、 方程变形为 dyyy?2?dxxx(x?0 )(x?0 )y这是齐次方程, 令u?代入得xdudu即 x?u? 2 u?ux? 2 udxdx将变量分离后得 dudx?x2 u两边积分得: 即 u?ln(?x)?c2dudx?x2 uu?(ln(?x)?c) ,ln(?x)?c?0 ,c为任意常数代入原来变量,得原方程的通解为 ? xln(?x)?c ,ln(?x)?c?0y?,0 ,ln(?x)?c?0?2例6 求下面初值问题的解 (y?x?y )dx?xdy ,解: 方程变形为 22y(1 )?0dyyy2?1?( )dxxxy这是齐次方程, 令u?代入方程得xdu2x?1?udxdud

7、x?将变量分离后得 2x1?udx?2x1?u两边积分得: lnu?1?u2?lnx?lnc整理后得 变量还原得 duu?1?u?cxyy2?1?( )?cxxx2最后由初始条件y(1 )?0 ,可定出c?1 .故初值问题的解为 12y?(x?1 )2(II) 形如 dya1x?b1y?c1?,dxa2x?b2y?c2这里a1,b1,c1,a2,b2,c2为常数.的方程可经过变量变换化为变量分离方程 . 分三种情况讨论 1 c1?c2?0的情形ya1?b1ydya1x?b1yx?g( )?xdxa2x?b2ya?by22x为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程 . 2a1a2b1b2a1b1设

8、?k,则方程可改写成a2b2dya1x?b1y?c1k(a2x?b2y)?c1?f(a2x?b2y)?dxa2x?b2y?c2a2x?b2y?c2?0的情形令u?a2x?b2y,则方程化为dydu?a2?b2f(u)?a2?b2dxdx这就是变量分离方程 3a1a2b1b2?0 且c1与c2不同时为零的情形?a1x?b1y?c1?0则?,?a2x?b2y?c2?0代表xy平面两条相交的直线,解以上方程组得交点(?,?)?(0 ,0 ).?X?x?,作变量代换(坐标变换) ?Y?y?dYa1X?b1Y则方程化为 ?dXa2X?b2Y为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解 . 解的步骤: ?a1

9、x?b1y?c1?01 解方程组?,?a2x?b2y?c2?00?x?得解?,?y?X?x?2作变换?,方程化为?Y?y?dYa1X?b1Y?g(Y)?XdXa2X?b2Y00Y3再经变换u?,将以上方程化为变量分离方程X4 求解05 变量还原0dyx?y?1例7 求微分方程 ?的通解. dxx?y?3x?y?1?0?解: 解方程组 ?x?y?3?0令X?x?1 ,Y?y?2代入方程得得x? ?1 ,y?2 ,Y1?dYX?YX?YdXX?Y1?2Xdu1?uY?令u?,得XdX1?uX(1?u)dudX将变量分离后得 ?21?uX12两边积分得: arctan u?ln( 1?u )?lnX

10、?c2变量还原并整理后得原方程的通解为 y?222arctan?ln (x?1 )?(y?2 )?c.x?1注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型 . ? a1x?b1y?c1?dydYa1X?b1YY?f?f()?g()?dxa2X?b2YX?a2x?b2y?c2?dX此外,诸如 dydxyf(xy )dx?xg(xy )dy?0?u?xy2dyx?f(xy )?u?xydxdyyy?xf(2)?u?2dxxx?f(ax?by?c)?u?ax?by?c以及 M(x,y)(xdx?ydy )?N(x,y)(xdy?ydx )?0(其中M,N为x,y的齐次函数,次数可以不相同)等一些类型的

11、方程,均可适当变量变换化为变量分离方程.例8 求微分方程 (y?xy )dx?(x?x y)dy?0的通解. 22解: 令u?xy ,则du?xdy?ydx代入方程并整理得 u(1?u)dx?(1?u)(xdu?udx )?0即 2 u dx?x(1?u)du?02u?12 dxdu?2ux12两边积分得 ?lnu?lnx?cux变量还原得通解为 1?ln?c.xyy分离变量后得 三、应用举例 例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为 3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。 解: 设在时刻t雪球的体积为v(t),表面积为s(t),则根据球体的体积和表面积的关系得 dv (t)? ?ks(t)dt1323s(t)?(4?) 3 v (t)23引入新常数?(4?) 3 k,再利用题中条件得132313分离变量并积分