223向量数乘运算及其几何意义课件

1、2.2 平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义三维目标1知识与技能(1)掌握向量数乘运算的定义及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行简单的计算；(2)理解向量共线定理及其推导过程，会应用向量共线定理判断或证明两个向量共线、三点共线及两直线平行等简单问题2过程与方法通过对两个向量共线充要条件的探究与推导，让学生对平面向量共线定理有更深刻的理解，学会根据条件判断两个向量是否平行为了帮助学生消化和巩固相应的知识，本节课设置了几个例题及其变式引申，指导学生通过探究发现，并得出结论，培养学生自主探究能力和创新思维能力三维目标3情感、态度与价值观通过对向量数乘运算的学习

2、和探究，有助于激发学生学习的兴趣和积极性，培养学生的观察、类比、分析、归纳、抽象的思维能力以及逻辑推理能力，了解事物运动变化的辨证思想重点难点重点向量数乘运算的定义、运算律，向量平行的充要条件难点理解向量数乘运算的定义，向量平行的充要条件教学建议1从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生的学习兴趣如可以通过物理中力与加速度的关系 Fma ，位移与速度的关系 svt 等实际问题引入实数与向量的积2实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小3由于学生已理解平行向量，

3、因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以从方向和大小两个方面来考虑然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别新课导入导入一 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现如力与加速度的关系Fma ，位移与速度的关系 svt .这些公式都是实数与向量间的关系 师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出向量 aaa和(a)(a)(a)，并回答和向量的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？ 生：aaa 的长度是 a 的长度的

4、 3倍，其方向与 a 的方向相同，(a)(a)(a)的长度是 a的长度的 3倍，其方向与 a的方向相反 师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题 新课导入导入二 某年级在一条笔直跑道上做游戏从 A点向南跑 50 米到达 B点处做一组数学练习题，做对后再向正南跑 50 米到达 C 处做一组语文练习题，做对后又向正南方向跑 50 米到达终点 D 处做一组“ 自然” 题，做对后原路跑回到起点 A.用时少者为优胜者我们把 A的方向、长度与 a的方向、长度之间有何关系？向量 DA到 B看作向量 a，观察向量AD的方向、长度和向量 a的方向、长度之间有何关系？ aaa，且|AD|3|a|，与 a

5、同向，所以 AD3a，DA(a)(a)解：AD |3|a|，与 a 反向，所以 DA3a.这就是我们本节课所要学习的向(|DA a)，且 量的数乘运算 预习探究知识点一向量数乘的定义一般地，我们规定，实数 与向量a的积是一个 _向量，这种运算叫作记作_a它的长度与方向规定如下： |a|_. |a|当0 时，a的方向与a的方向_相同； 当1 时，有|a|a|，表示向量 a 的有向线段在原方向 (0)或反方向(0)伸长|倍； 当|0)或反方向(0 时，a 与 a同向，模是|a| 的 倍；当 0 考点类析答案 (1)C (2)C 解析 (1)正确，向量的数乘满足分配律；错误，若m0，则 a，b 可以

6、是任意向量；正确，由 mana，得(mn)a0，又 a0，所以 mn0，即mn.故选 C. (2)易知，选项 C 正确 考点类析考点二向量数乘的运算与应用重点探究型例例 2 2 化简：(1)6(3a2b )9 (2ab)； 解：(1)原式18a12b18a9b3b. ?7?1?7?213?1?73?71?17(2)原式?3a3a2bb?2a2a7b?3ab?a7b? a b a2?26?6?2?6?61 b0. 2(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c6a2b. 考点类析【变式】 已知向量a，b，x，y满足关系式 3x2ya，4x3yb，试用向量a，b表示向量x，y. 解：由题知 3x2y

7、a，4x3yb. 由 3 2，得 x3a2b. 代入，得 3(3a2b)2ya，所以 y4a3b. 考点类析小结 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用 考点类析PCAB， 拓展 (1)已知点P在正三角形ABC所确定的平面上，且满足P APB则ABP的面积与BCP的面积之比为( ) A11 B12 C13 D14 1(2)如图 2-2-10 所示， 在平行四边形OADB中，设OA a，OBb，BM3BC，CN1，ON及MN. 3CD.试用a，b表示OM 图 2-2-10 考点类析答案 B PBPCAB，PAPCA

8、BPBAP，PC2AP，即点 P 为解析 PA|PC线段 AC上靠近点 A的三等分点 ABP 的面积与BCP 的面积之比为|AP|12，故选 B. 1111(2)解：由题意知，在平行四边形OADB 中，BM3BC6BA6(OAOB)6(a1111115OBBMb a b a b.因为CN CD，b) a b， 所以OM所以ON366666622221511ONOM (ab) a b a b. 3OD3(OAOB)3(ab)，则MN36626 考点类析考点三共线定理的应用重点探究型共线导入 若存在不全为 0 的一对实数 ，使 ab0，则向量a与b_ PBPCAC，则下列向量一定共例例 3 3 (

9、1)已知 P，A，B，C 是平面内四点，且 PA线的是( ) 与PB B.PA与PB A.PC与PC D.PC与AB C.PAOAmOB，则 m(2)已知 A，B，C 三点共线，O 是平面内任意一点，且 OC_ 考点类析答案 (1)B (2)1 PCAC，所以PAPBPCCA0，即2PAPB，所PB解析 (1)因为PA与PB共线 以PAtAB，即OCOAtOBtOA， (2)A，B，C 三点共线，AC(1t)OAtOB，m(1t)t1. OC 考点类析2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，【变式】设e1，e2是两个不共线的向量，AB若A，B，D三点共线，求实数k的值 与BD共线设ABB

10、D(R)， 解：若 A，B，D 三点共线，则 ABCDCB2e1e2(e13e2)e14e2， BD2e1ke2e14e2.由 e1与 e2不共线可得 2，k8. 考点类析小结 要用向量证明共线问题，只要考虑根据共线向量的条件，寻找向量间的关系，从而得以证明问题 备课素材平面向量共线定理及其应用 用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数 ，使得 ba(a，b为这三点构成的其中任意两个向量)证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线 解决与中点相关的问题，要注意到中点分线段为相等两段后成相反向量这一特点，然后进行适当的变形，使问题得以解决，还要注意重心的性质的应用 备课

11、素材1例 在ABC中，G 是ABC的重心证明：AG3(AB AC) DE. 证明：延长 AG交 BC于点 D，再延长 AD到 E，使AD G 是ABC的重心，D 是 BC的中点， 四边形 ABEC是平行四边形， 2AE AB AC.又AE2AD ，AG3AD ， 11AG3AE 3(AB AC) 当堂自测14 (ab)3 (ab)b等于(Aa2b Ba Ca6b ) Da8b答案 D 解析 原式4a4b3a3bba8b. 当堂自测2已知平行四边形ABCD中，DAa，b，其对角线的交点为O，则OB等于( A.1b Ba12a2b C.12(ab) Dab DC) 答案 C 解析 DADCDAAB

12、DB2OB，所以OB12(ab)，故选 C. 当堂自测3已知，R，则下列结论中正确的是( ) Aa与a同向 B0a0 C( )aa a D若ba，则|b|a| 答案 C 解析 对于 A， 当 0 时正确；对于 B，0a0；对于 D，若 ba，则|b|a|.故选 C. 当堂自测4点C在线段AB的延长线上，且等于( ) A2AB B.13AB C13AB D2AB AC3AB，则BC答案 D 解析 BCACAB3ABAB2AB. 当堂自测5. 已知向量a，b，且ABa2b，BC5a6b，CD7a2b，则一定共线的三点是( ) AA，B，D BA，B，C CB，C，D DA，C，D 答案 A 解析

13、因为 BDBCCD(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2AB，所以 A，B，D 三点共线 备课素材小结 1a 的理解 (1)可以将 a的长度扩大 (|1 时)， 也可以缩小 (|0时)，也可以改变 a 的方向(0 时) (2)当 0 时，a0，而当 0 时，若 a0，也有 a0. (3)实数与向量可以求积，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数的积的定义的推广，但不能进行加减运算，如： a，a 无意义 2对两向量共线的条件的理解 (1)判断两向量共线，其实就是找一个实数，使得它与一个向量的积等于另一个向量可以用来证明几何中的三点共线及两直线平行的问题 备课素材(2)规定“ 非零向量 a” 的原因是：若 a0，b0 时，不存在实数 使得 ba；若 a0 ，b0，则存在不唯一的实数满足等式 (3)若