数字图像处理 第四章 频域图像增强

1、数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 本章讲述利用傅立叶变换的频域图像增强。 首先介绍傅立叶变换的一些知识，再介绍其在图像增强中的应用。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.1 背景 法国数学家傅立叶提出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦或余弦的和的形式。 傅氏级数；对于非周期函数，则用正弦和余弦及加权函数的积分来表示。 傅氏变换：应用极为广泛，尤其是数字计算和快速算法的发明，在信号处理领域产生了具大变革

2、。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换 ?j2?(ux?vy) F(u)? ?f(x)e?j2?uxdxF(u,v)? ?f(x,y)edxdy? ?j2?(ux?vy)j2?uxF(x,y)? ?f(u,v)edudvF(x)? ?f(u)edu? 离形形式： M?1 F(u)?1?f(x)e?j2?ux/Mu?0 ,1 ,2?M?1Mx?0 M?1 f(x)?F(u)ej2?ux/Mx?0 ,1 ,2?M?1u?0 频域不同的频

3、域成份，可以表示成极坐标形式： F(u)?F(u) e?j?(u)F(u)? ?R (u)?I (u)?2( u)?(u)?arct g?R(u)?2212数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换 功率谱 P(u)?F(u)2 ?R2(u)?I2(u) “谱密度” 信号频谱分析示意图如右图所示： 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变

4、换和频率域的介绍 4.2.2 二维DFT及其反变换 一个图像关于的函数的离散 1M?1N?1?j2?(ux/ F(u,v)?M?vy/N)MN?f(x,y)e x?0 y?0u ?0.1.2. M?1v ?0.1.2. N?1 M?1N?1f(x,y)?j2?(ux/M?vy/N) ?F(u,v)eu?0 v?0 x?0.1.2. M?1 y?0.1.2. N?1同理： 谱： 1F(u,v)? ?K2(x,y)?I2(x, ?y)?2同角： F(u,v)?arctg?I(u,v)?R(u,v)?功率谱： P(u,v)?F(u,v)2?R2(u,v)?I2(u,v)可以证明： ? ?f(x,y)

5、(?1)x?y?F(u?MN2,v?2)原点被放置在 u?M上, vN 2?2f(0,0)?1 M ?1N?1MNf(x,y)x2 ? 0y2?0为图象平均灰度。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.2 二维DFT及其反变换 y)为实数，其傅氏变换为对称的： F(u,v)?F(?u,?v)如果 f(x, F(u,v)?F(?u,?v)同样，空间域和频率域抽样点之间的关系： 1?u?M?x1?v?N?y例子4.2 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Ima

6、ge Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.2 二维DFT及其反变换 下图实例： 中心化，矩形宽高化为21 反映到频域轴亮点间距恰好相反 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2.3 频率域滤波 一般不大可能建立图像特定分量和其变换之间的直接联系，但可以建立傅氏变换的频率图像中的强度变化模式之间的联系。 例如，低频对应图像的慢变化分量（墙，地板），而高频分量对应着图像中灰度变化联系地方（边缘，噪声）。 4.2 傅立叶变换和频率

7、域的介绍 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.3 频率域滤波 频率域滤波基本步骤： x?y(?1)?原图像 1、 F(u,v)2、 3、 H(u,v)?F(u,v)4、反DEF 5、实部 x?y(?1)?(5)结果。 6、用 ?1?G(u,v)?被滤波图像 G(u,v)?H(u,v)F(u,v)数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.

8、3 频率域滤波 一些基本的滤波器及其性质： F(0,0)平均值 陷波滤波器： M N?0 ( u,v)?(,)如果想使其平均灰度为0，则可： H(u,v)?22? ?1 其它?具体见如下图示： 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.3 频率域滤波 此外还有低通和高通滤波，具体图像右图所示： 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.3 频

9、率域滤波 下图示意高通的改进结果 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 基本联系就是卷积定理 离散卷积： f(x,y)?h(x,y)?1M?1N?1 MN?f(m ,n)h(x?m ,y?n)m?0 n?0 f(x,y)?h(x,y)?F(u,v)H(u,v) f(x,y)h(x,y)?F(u,v)?H(u,v)在 (x0,y0)处，强度为A的冲激函数 A?(x?x 0,y?y0)， 并且： M?1N?1 ?S(x,y)A

10、?(x?x0,y?y0)?AS(x0,y0)x?0?y?0把 A?(x ?x0,y?y 0)看作 ?M?N大小的图像，在 (x 0,y0)有值，其它全为0。 M?1N?1S(x,y)?(x,y)?S(0,0) x?0 y?0数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 单位冲激的傅氏变换： M?1N?11?2?(ux /M?vy /N)F (u,v)?(x, y)? ? ?MNx?0 y?0 1 ? MN可得到： 令 f (x,

11、y)?(x, y),M?1N?11 f (x, y)?h(x, y)?(m,n)h(x?m, y?n)? ?MNm?0 n?0 1 ?MNh(x, y)可以输入 ?(x,y)出 h(x,y)结论：空间域和频率域中的滤波器组成了一个傅立叶变换对。一般空间域更适合使用小的滤波器。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 例如：高斯滤波函数 H(u)?Ae?u2/2?2 ?为标准差： h(x)?2?Ae?2?2?2x2 傅立叶变换及其反变换因为实数。 曲线形状如右

12、图所示： 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系 更复杂的滤波器可以由基本高斯函数构造出来。如，高斯高通 形状见右图： 4.2 傅立叶变换和频率域的介绍 H(u)?Ae?u2/2?12?Be?u2/2?22A?B ?1?2h(x)?2?2?2?1Ae12x2?2?2?2?2Be22x2数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的

13、频率域滤波器 主要考虑三种滤波器：理想、巴特沃思和 高斯。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.1 理想，低通滤波器 ?1 D(u,v)?D0 H(u,v)?0 D(u,v)?D0 D(u,v)是点 (u,v)距频率原点的距离。 N，其变换亦为 M?N如果图像大小 M? 中心化之后，矩形中心在 (M,N)22 1M2N2?2?则 D(u,v)?(u?)?(v?)?22? 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Fr

14、equency Domain 4.3.1 理想低通滤波器 一幅大小的图像的总的功率谱 M?1 N?1 PT?u?0?P(u,v)v?0若变换被中心化，原点在频率矩形中心，半径为r的圆包含? %的功率： ?100?P(u?T ?,v)/Puv?可以此来建立一组标准截止频率的对立量，具体例子如右图所示： 4.3 平滑的频率域滤波器 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.1 理想低通滤波器 可以此来建立一组标准截止频率的对立量，具体例子如右图所示： 数 字 图 像 处 理 C

15、hapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.1 理想低通滤波器 c e均有“振铃”特征 为什么会有“振铃”现象呢？其根本原因是空域滤波器有负值，具体具体解释右图（b） 右图用5个脉冲图像来说明“振铃”的产生，可看作5个冲激，只是简单地复制 h(x,y) “振铃”。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.2 巴特沃思低通滤波器n阶巴特沃思低通传函数 1H(u,v)? 2n1?D(

16、u,v)/D0? 截止频率距原点距离为 D0数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.2 巴特沃思低通滤波器n阶巴特沃思低通传函数 一阶巴特沃思无“振铃”，二阶微小,高阶则很显著。 滤波效果见右图所示： 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.2 巴特沃思低通滤波器n阶巴特沃思低通传函数 下图是不同阶的巴特沃思滤波效果和振铃之间的一个折中。 数 字 图

17、 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.3 高斯低通滤波器 ?D2(u,v)/2D02H(u,v)?e ?D0时，滤波器下降到其最大值的0.607处。 D0截止频率，当 D(u,v) 无振铃现象，曲线见下图所示： 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.3 高斯低通滤波器 滤波效果见 右图所示： 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enha

18、ncement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.4 低通滤波的其它例子 ： 1、字符识别： 下图：断裂现象 数 字 图 像 处 理 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.4 低通滤波的其它例子 ： 2、印刷和出版业：预处理 下图：减少面部细纹 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.3 平滑的频率域滤波器 4.3.4 低通滤波的其它例子 ： 3、卫星和

19、航空图像： 下图：墨西哥湾和佛罗里达图像存在“扫描线” （用高斯低通来处理） 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain Hhp(u,v)?1?Hlp(u,v) 4.4 频率域锐化处理 突出边缘，用高通滤波来处理可从上面讨论中直接取反 同样只考虑理想、巴特沃思和高斯三种高通滤波器。具体见右图数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐化处理 4.4.1 理想高通滤波器 ?0 D(u,v)?D0H(u,v)? ?1

20、 D(u,v)?D0 D0截止长度 同样有振铃现象，见右图空间表示。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐化处理 4.4.1 理想高通滤波器 下图示意理想高通滤波器，振铃很明显。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐化处理 4.4.2 巴特沃思高通滤波器 1H(u,v)?n阶巴特沃思型高通滤波器 1?D0/D(u,v)2n D0：截止频率距原点距离。 滤波效果见下图所示： 效果比理

21、想的滤波器要好得多。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐化处理 4.4.3 高斯型高通滤波器 截止频率距原点为的GHPF传函为： 2?D2(u,v)/2D0 H(u,v)?1?e效果见下图所示： 结果比前2个更平滑。 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐化处理 4.4.4 频率域的拉普拉斯算子 根据傅氏变换性质有： ?dnf(x)?n?(ju) F(u)?dxn? ? 22?f(

22、x,y)?f(x,y)?22可得到： ?(jn) F(u,v)?(jv) F(u,v)?22?y?x? 22 ? ?(u?v )F(u,v) 222?f(x,y)? ?(u?v )F(u,v)即： ? 频域的拉氏算子为： 2 H(u,v)? ?(u2?v )（同样要中心化） M2N2?f(x,y)?(u?)?(v?)?F(u,v)22?2数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4.4 频率域的拉普拉斯算子 曲线形状见右图 4.4 频率域锐化处理 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image E

23、nhancement in the Frequency Domain 4.4.4 频率域的拉普拉斯算子 可从原始图像中减去（而不是加）拉氏算子而形成增强图像， 效果见右图： 增强图像可用下式得到： g(x,y) ?1?1?( u?M)2?(v?N)2)?F(u,v)? ?22? 4.4 频率域锐化处理 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐化处理 4.4.5 钝化模板，高频提升（或增强）滤波和高频加强滤波 4.4.14.4.3 节滤滤后的图像有一个共同点背景很黑，原因是滤除了0频成份。解决

24、办法是把一个比例的原因像加到滤波后的结果中去。这里使用拉氏算子来实现钝化模板：（高通滤波） fhp(x,y)?f(x,y)?flp(x,y) 高频提升： fhb?Af(x,y)?flp(x,y) A?1 常数 fhb(x,y)?(A?1)f(x,y)?f(x,y)?flp(x,y) ?(A?1)f(x,y)?fhp(x,y) 钝化模板还可： Hhp(u,v)?1?Hlp(u,v)高频提升板还可： Hhp(u,v)?(A?1)?Hnp(u,v)(A?1)数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐

25、化处理 4.4.5 钝化模板，高频提升（或增强）滤波和高频加强滤波 高频 提升滤波 效果见右 图所示： 数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.4 频率域锐化处理 4.4.5 钝化模板，高频提升（或增强）滤波和高频加强滤波 还有另外一种处理方法叫高频加强 H(u,v)?a?bH(u,v)nfehp a?0,b?a a?0.250.5其效果见下图所示： b?1.52.0数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain 4.5 同

26、态滤波器 在第2章中，我们曾经介绍过图像可被表达为照射和反射两部分乘积： f(x,y)?i(x,y)r(x,y)定义： z(x,y)?ln f(x,y) ?lni(x,y)?lnr(x,y)?lni(x,y)?lnr(x,y)?则： ?z(x,y)?ln f(x,y)?或： z(u,v)?Fi(u,v)?Fr(u,v)用一个滤波函数 H(u,v)处理z(u,v)，则S(u,v)?H(u,v)Z(u,v) ?H(u,v)Fi(u,v)?H(u,v)Fr(u,v)空间： s(x,y)?1S(u,v) ?1?H(u,v)Fi(u,v)?1?H(u,v)Fr(u,v)?数 字 图 像 处 理 Chapter 4 Image Enhancement in