方程的根与函数的零点教学设计(周超)

1、第三章函数的应用3.1函数与方程方程的根与函数的零点单位：青海昆仑中学姓名：周超一教学内容分析本节内容是高中数学人教版必修一， 第三章函数的应用， 第一节函数与方程第一课时方程的根与函数的零点； 课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系 . 本节设计特点是由特殊到一般的化归转化思想， 由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是： “数形结合”思想和“转化”思想 . 本节充分体现了函数图象和性质的应用 . 因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联

2、系，学生认知规律，数学思想方法.二、教学目标1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程） ，说明方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点三者的关系；2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间4. 经历“类比归纳应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力体会从特殊到一般的转化的数学思想。三、学情分析通过前面的学习， 学生已经了解一些基本初等函数的模型， 具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象， 判断方程根的存在性提供了

3、一定的知识基础其次，学生对于方程已经有了一定的认知基础，对方程的根并不陌生，这样就使得方程与函数联系的过度学生容易掌握，但学生对于数形结合的数学思想仍不能胜任，故本节课关键在于通过图像去突破重难点，学生会表现出不适。 而本节的零点存在定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、 否命题都不成立， 在函数连续性、 简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入 这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从不同的角度审视定理的条件与适用范围四、教学策略选择与设计本节课在概念的形成和深化、 定理的概括和应用方面， 都给予自主探究、 辨析实践、动手画图及交流讨论的机会， 只

4、有充分激活了学生的思维， 这节课的各环节才能顺利推进， 内容才会丰富充实， 方法才会异彩纷呈 所以这节课总的设计理念是以学生为主概念与定理的建立是一个感知、 探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生，紧扣教材，注重思维、注重过程五、教学重点及难点教学重点： 了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理教学难点： 对零点存在性定理的准确理解六、教学过程（一）导入新课 :求解下列方程x22x 3 0x22x 1 0x 22 x 3 0设计意图： 通过具体的一元二次方程求解回忆旧知为新知铺垫。（二）新知探究：（ 1）回忆旧知铺垫新 课问题 1：二次函数与其所

5、对应方程之间有什么关系？判别式000方程ax2 bx c两个不相等的有两个相等的+ =0没有实数根( a0) 的根实数根 x1 、x2实数根 x1 =x2yyy函数y ax2bx c=+ +a的图象Ox1x2O( 0)xx1xOx函数的图象与 x两个交点：一个交点：无交点轴的交点(x1，x2,0)(x1,0)(,0)设计意图：引导学生对初中所学的二次方程进行回忆，同时也想要说明方程的根除了韦达定理和求根公式和函数的图像存在关系，为后面的零点进行铺垫通过回顾二次函数图象与 x 轴的交点和相应方程的根的关系， 为一般函数及相应方程关系作准备。（ 2）辨析讨论 ，深化概念 问题 2：由二次函数与其所

6、对应方程之间存在的关系你能否类比得到函数和方程之间的关系吗？设计意图： 培养学生识图和归纳总结的能力问题 3：你能将你得到的特殊结论推广到一般的形式的函数吗？并将你所得的结论总结出来吗？设计意图： 让学生参与概念的生成，并将学生的主体地位显现练习 : 函数 f ( x)= x( x216) 的零点为 （ D ）A.(0 ，0)(4 ，0) B 0，4 C ( 4，0) ，(0 ，0) ，(4 ，0)D 4，0，4设计意图 : 及时矫正“零点是交点”这一误解说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值练习：求下列函数的零点：(1) f (x)x23x 4(2) f ( x)lg( x24x

7、4)（3）f ( x) 3x1（4）f ( x)1x设计意图 : 使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根） 同时为零点存在定理做铺垫。(3) 实例探究 ，归纳定理问题 4：对于如图所示的函数图象什么时候会存在零点呢？yx设计意图： 通过将零点存在定理分割让学生理解零点为什么要定义在区间上同时也让学生了解图象在区间上也必须连续， 也为寻找特殊二次函数在区间有零点提供依据，同时为零点存在定理的形成进行铺垫。问题 5：在怎样的条件下，函数y f(x在区间a，b上一定有零点？)探究：（1）观察二次函数fxx2x3的图象：( )2在区间 -2， 1 上有零点 _；yf (-2)=_ ， f (1)=

8、_ ， f (-2) f(1)_0（“”或“”）ff（“”(2)(4)_0在区间 (2 ，4) 上有零点 _；ac或“”）O bd x（2）观察函数的图象：零点； fafb在区间 (a，b上_(有无()/)( )_0（“”或“”）在区间 ( b，c) 上_( 有 / 无 ) 零点； f ( b) f ( c) _ 0 （“”或“”）在区间 ( c，d) 上_( 有 / 无 ) 零点； f ( c) f ( d) _ 0 （“”或“”）设计意图：通过归纳总结得出特殊到一般数学思想得到零点存在性定理 从而强调零点存在的条件为后面概念的辨析做好铺垫。问题 6：通过观察图象对零点的存在有了一定的认识，

9、那么对于下面的图象是否有零点呢？x设计意图：让学生通过自己动手去填补图象去归纳总结零点存在的条件， 达到探究的目的。问题 7：如果在闭区间a,b上函数y=f(x)端点函数值f(a).f(b)0是否一定有零点？设计意图： 对存在零点的条件进行辨析， 通过学生自己探究培养归纳的能力。 同时渗透数学中的数形结合的数学思想与此同时教师可以起到主导作用（三）正反例证 ，熟悉定理 定理辨析与灵活运用例 1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（ 1）已知函数 y=f ( x) 在区间 a， b 上连续，且 f ( a) f ( b)0 ，则 f ( x) 在区间 ( a，b) 内有且仅

10、有一个零点（ 2）已知函数 y=f ( x) 在区间 a，b 上连续，且 f ( a) f ( b) 0，则 f ( x) 在区间( a，b) 内没有零点（ 3）已知函数 y=f ( x) 在区间 a， b 满足 f ( a) f ( b)0 ，则 f ( x) 在区间 ( a，b)内存在零点设计意图： 让学生归纳并强调定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出， 在第一时间加以纠正， 从而促进对定理本身的准确理解也对零点存在定理只是具有零点的充分不必要条件， 反面和缺少条件定理都不成立。例 2

11、：求函数 f ( x) ln x 2x6 的零点的个数，并确定零点所在的区间 n，n+1( n Z)设计意图： 通过例题分析， 能根据零点存在性定理， 使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数（四）课时小结：总结整理，提高认识1. 一个关系：函数零点与方程根的关系函数方程数值零点存在性根个数2. 三种思想：函数方程思想；数形结合思想，特殊到一般的化归转化思想3. 三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间设计意图：针对于本节课的教学和本节课需要让学生掌握的知识为依据， 同时也可以让学生自行归纳，教师总结。（五）布置作业，独立探究1函数 f ( x) ( x4)( x4)( x2) 在区间 -5 ， 6 上是否存在零点？若存在，有几个？2利用函数图象判断下列方程有几个根：（ 1） 2x( x 2) 3；（ 2） ex1 44x3