解析几何问题的题型与方法

1、解析几何问题的题型与方法一复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜 式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方 程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根 据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直 线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间 的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的 问题了.2. 能正确画出二元一次不等式(组)表示的 平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解 等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划 问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规 划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解 决一些实际问题 .3 理解

2、 “曲线的方程 ”、“方程的曲线 ”的意义， 了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的 方法.4 .掌握圆的标准方程：(x a)2 (y b)2 r2 ( r > 0), 明确方程中各字母的几何意义， 能根据圆心坐标、 半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方 程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般 方程： x2 y2 Dx Ey F 0，知道该方程表示圆的充要 条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化， 能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解 圆的参数方程x rcos （e为参数），明确各字母的y r sin 意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法 .5正确理解椭圆、双曲线

3、和抛物线的定义， 明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和 抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、 双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件， 求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭 圆、双曲线和抛物线的几何性质： 范围、对称性、 顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从 而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线； 掌握 a、 b、 c、 p、 e 之间的关系及相应的几何意 义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确 定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简 单问题；理解椭圆、 双曲线和抛物线的参数方程， 并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛 物线位置关系的判定方法 . 二

4、考试要求：（一）直线和圆的方程 1理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直 线的斜率公式， 掌握直线方程的点斜式、 两点式、 一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直 线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直 线的方程判断两条直线的位置关系。3了解二元一次不等式表示平面区域。 4了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数 方程的概念，理解圆的参数方程。（二）圆锥曲线方程1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单 几何性质。2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的 简单几何性质。3掌握抛物线的

5、定义、标准方程和抛物线的 简单几何性质。4了解圆锥曲线的初步应用。 三教学过程：（I ）基础知识详析高考解析几何试题一般共有 4 题（2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ） ，共计 30 分左右，考查 的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本， 突出重点， 全面考查。 选择题和填空题考查直线、 圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知 识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重 考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要 用到平几的基本知识 和向量的基本方法，这一点 值得强化1.点斜式：3.两点式:（一）直线的方程y y-i k

6、（x x1）； 2.截距式：y kx b ； 丄丄亠L ； 4.截距式：上上1 ； y2 yi X2 Xia b5.般式：Ax By C 0，其中A、B不同时为0.（二）两条直线的位置关系两条直线11，12有三种位置关系：平行（没有 公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有 无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点 研究平行与相交.设直线 li : y=kix+bi，直线 12 : y=k2x+b2，则11 / 12的充要条件是ki=k2，且bi=b2 ； li丄12的充要条 件是 k k2=-1.（三）线性规划问题1. 线性规划问题涉及如下概念：存在一定的限制条件，这些约束条件如果

7、由 x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来 表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于X、y的 某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值. 特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为 线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解组成的集合，叫做可行域使目标函数取得最大值或最小值的可行解， 叫做这个问题的最优解.2 .线性规划问题有以下基本定理：一个线性规划问题，若有可行解，则可行 域一定是一个凸多边形.凸多边形的顶点个数是有限的. 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定

8、在凸多边形的顶点中找到.3. 线性规划问题一般用图解法.（四）圆的有关问题1. 圆的标准方程（x a）2 （y b）2 r2 （> 0），称为圆的标准方程，其圆 心坐标为（a，b），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时， 圆的方程为X2 y2 r2.2圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 （ D2 E2 4F > 0）称为圆的一般方程， 其圆心坐标为（f， f ），半径为r Iv'D2 E2 4F .当D2 E2 4F=0时，方程表示一个点（| ）；当D2 E2 4F V 0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：

9、222x r cosx yry r sin(e为参数）222x a r cos(x a) (y b) r.y b rsi n（e为参数）（五）椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与 两定点F!、F2的距离的和大于| F,F2|这个条件不可忽 视.若这个距离之和小于| f,f2|，则这样的点不存 在；若距离之和等于|寸2|，则动点的轨迹是线段Fi F2., 亠 2 2 2 22. 椭圆的标准方程：字总1（ 9 > b > 0），*話1（ 9 > b > 0）.3椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪 个轴只要看分母的大小：如果x2项的分母大于y2项 的

10、分母，则椭圆的焦点在 X轴上，反之，焦点在 y轴上.4求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦 点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法 求解.（六）椭圆的简单几何性质2 21.椭圆的几何性质：设椭圆方程为 p 1 （ a > b> 0）. 范围：-a < x,©o < x,所以椭圆位于直线 X= a和y= b所围成的矩形里. 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称， 关于原点中心对称椭圆的对称中心叫做椭圆的 中心.顶点：有四个 A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0， -b ）、B2 （ 0， b）.线段S、BiB扮别叫做椭圆的长轴和短轴.它 们的长分别等于2a

11、和2b, a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有 四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 e E叫做 a 椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0v e v越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0 时，椭圆就越接近于圆.2. 椭圆的第二定义 定义：平面内动点 M与一个顶点的距离和 它到一条定直线的距离的比是常数e£ （ev1 =a '时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，4 £ （ a > b > 0） 的准线有两条，它们的方程为X云.对于椭圆C4 £ i （a > b &g

12、t; 0）的准线方程，只要把 x换成y a b就可以了，即y二c3. 椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点 所连的线段叫做这点的焦半径.2 2设F1（ -c, 0），F2（ c, 0）分别为椭圆話令1 （ a > b > 0）的左、右两焦点，M （x, y）是椭圆上 任一点，则两条焦半径长分别为|MF, a ex, |MF? a ex. 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往 比较简便.椭圆的四个主要元素 a、b、c、e中有a2=b2+c2、 e !两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个 a 独立条件.（七）椭圆的参数方程椭圆££（a > b >

13、; 0）的参数方程为；：（& 为参数）.说明 这里参数B叫做椭圆的离心角.椭 圆上点P的离心角B与直线OP的倾斜角a不同：btan tan ；a ， 椭圆的参数方程可以由方程 4 £ i与三角恒 等式cos2 sin21相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.（八）双曲线及其标准方程1. 双曲线的定义：平面内与两个定点日、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a （小于| FiF2| ）的动点 m的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2av|FiF2|，这一条件可以用 三角形的两边之差小 于第三边”加以理解.若2a=|廿2|，则动点的轨迹是 两条射线；若2a>

14、; | FiF2|，则无轨迹.若|MFi| V MF2I时，动点M的轨迹仅为双曲线的一 个分支，又若|MFi >阴时，轨迹为双曲线的另一支 而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为 差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：4 £ 1和4石1 （a>0， a ba bb > 0）.这里b2 c2 a2，其中| F1F2|=2C.要注意这里的a、 b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3. 双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的 系数是正数，则焦点在 X轴上；如果y2项的系数 是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定 大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的 大

15、小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4. 求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后， 运用待定系数法求解.（九）双曲线的简单几何性质1.双曲线4石i的实轴长为2a，虚轴长为2b， a b离心率e c> 1,离心率e越大，双曲线的开口越a大.bxay或表示为mx，即n 72.双曲线M舌i的渐近线方程为ya b2 2x y 272a bmx ny2 2m x0，那么双曲线的方程具有以下形式： y2 k，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点 与到定直线（准线）距离的比是一个大于n20.若已知双曲线的渐近线方程是（焦点） 1的常 数（离心率）的

16、点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 4 y. i，它的焦点坐标是（-c, 0）和（C, 0），与 a b 它们对应的准线方程分别是x £和x匚CC在双曲线中，a、b、c、e四个元素间有e -与c2 a2 b2 a的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要 两个独立的条件.（十）抛物线的标准方程和几何性质1.抛物线的定义：平面内到一定点（ F）和一条定直线（I）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定 点F叫抛物线的焦点，这条定直线 I叫抛物线的准线。需强调的是，点 F不在直线I上，否则轨迹是过点 F且与I垂直的直线，而不是抛物线。2 .抛物线的方程有四种类型：2 2 2 2 y 2px、 y

17、 2px、 x 2py、 x 2py对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x轴或y轴的负方向。3抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x>0(3)顶点：O (0, 0),注：抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心)(4)离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的;(5)准线方程x(6)焦半径公式：抛物线上一点 为(p>0):P (x1, y1), F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别2cfLP

18、2y2px:PFx-i;y2x2 2py:PF| yi 扌；x22px: PF2py： PFXiyip2p2(7)焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px(p > O)的焦点 F 的弦为 AB, A (xi, yi), B ( x2, y2), AB 的倾斜角为 a,则有 |AB|=x 1+x2+pElll 型弦长公式"来求。以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用(8)直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0,当a工0寸,两者的位置关系的判定和椭圆、 双曲线相同，用判别

19、式法即可；但如果a=0,则直线是抛物线的对称轴或是 和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。(十一)轨迹方程 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线(图形或轨迹).(十二)注意事项1.直线的斜率是一个非常重要的概念， 斜率k反映了直线相对于x轴的倾斜程度.当斜率 k 存在时， 直线方程通常用点斜式或斜截式表示， 当斜率不存在时，直线方程为x=a( a R).因此， 利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率 k 存在与否，要分别考虑 . 直线的截距式是两点式的特例，a、 b 分别是直

20、线在x轴、y轴上的截距，因为aHQ bH0 所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过 原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其 它形式求解 .求解直线方程的最后结果，如无特别强调， 都应写成一般式 .当直线ii或-的斜率不存在时，可以通过画图 容易判定两条直线是否平行与垂直在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方 程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这 样可以简化计算 .2. 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要 分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上，还是两种都存在 .注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行 a、 b、 c、 e 间的互求，并能根据所给的方程画出 椭圆 .求双曲线的标准

21、方程 应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后， 运用待定系数法求解 .双曲线咅i的渐近线方程为y %或表示为a ba2 2x y-r 0a bmx ny 02 2 2 2m x n y.若已知双曲线的渐近线方程是y外，即，那么双曲线的方程具有以下形式：k，其中k是一个不为零的常数.双曲线的标准方程有两个彩器1和古話1(a> 0, b>0).这里 b2 c2 a2，其中 | f,f2|=2c.要注 意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的 异同2 2 2 2求抛物线的标准方程，要线根据题设判断 抛物线的标准方程的类型，再求抛物线的标准方 程，要线根据题设判断抛物线

22、的标准方程的类型， 再由条件确定参数p的值同时，应明确抛物线的 标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存， 知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方 程三者相依并存，知道其中一个，就可以求出其 他两个.(n)范例分析例1、求与直线3x+4y+12=0平行，且与坐标 轴构成的三角形面积是24的直线I的方程。分析：满足两个条件才能确定一条直线。一般 地，求直线方程有两个解法，即用其中一个条件 列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此 参数。解法一：先用平行”这个条件设出I的方程为 3x+4y+m=0再用 面积”条件去求 m, 直线I 交X轴于A m,0)，交y轴于B(0, m)由2 m m 2

23、4，得m 24， 代入得所求直线的方程为：3x 4y 24 0解法二：先用面积这个条件列出I的方程，设I 在X轴上截距离a,在y轴上截距b，则有2|ab 24， 因为I的倾角为钝角，所以a、b同号，|ab|=ab， I的截距式为x 48 1，即48x+a2y-48a=0又该直线 a与3x+4y+2=0平行，譽号号，二a 8代入 得 所求直线I的方程为3x 4y 24 0说明：与直线 Ax+By+C=0平行的直线可写成 Ax+By+G=O的形式；与Ax+By+C=0垂直的直线的 方程可表示为Bx-Ay+G=0的形式。例2、若直线mx+y+2=0与线段AB有交点， 其中A(-2, 3)，B(3,2

24、)，求实数m的取值范围。解：直线 mx+y+2=0过一定点 C(0, -2)，直线 mx+y+2=0实际上表示的是过xC(0,-2)定点(0, -2)的直线系，因为直 线与线段AB有交点，则直线 只能落在/ ABC的内部，设BC CA这两条直线的斜率分别为 ki、k2，则由斜率的定义可知，直 线mx+y+2=0的斜率k应满足k>k或k<k， / A(-2,3）B（3,2）二 k 3 k2 2-m4或_m 2 即 m 3或说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解 题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在（0；90）或（90 °,180 &

25、#176; 内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线 在/ ACB内部变化时，k应大于或等于kBc,或者 k小于或等于kAc，当A、B两点的坐标变化时， 也要能求出m的范围。例3、已知x、y满足约束条件xx-3y <4，l 0: 2x-y=0C11x-3y+4=0BA3x+5y-30=0134x=1l 23x+5yW 30求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.解：根据x、y满足 的约束条件作出可行 域，即如图所示的阴影 部分（包括边界）. 作直线l0: 2x-y=0，再作一组平行于l0的直线l : 2x-y=t，t R.可知，当1在10的右下方时，直线1上的点（x, y） 满足2x-

26、y>0,即t>0,而且直线1往右平移时，t 随之增大.当直线1平移至11的位置时，直线经过可 行域上的点B，此时所对应的t最大；当1在1o的左 上方时，直线1上的点（x，y）满足2x-yv0，即t V 0,而且直线1往左平移时，t随之减小.当直线1 平移至12的位置时，直线经过可行域上的点C,此时所对应的t最小./x-3y+4=0,由解得点B的坐标为（5, 3）;3x+5y-30=0,fx=1,I由解得点C的坐标为（1,千）.53x+5y-30=0,所以，z最大值=2 X 5-3=7 z最小值=2 X * = 17.例4、某运输公司有10辆载重量为6吨的A型 卡车与载重量为8吨的B

27、型卡车，有11名驾驶 员.在建筑某段高速公路中， 该公司承包了每天至 少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返 的次数为A型卡车8次，B型卡车7次；每辆卡 车每天的成本费 A型车350元，B型车400元.问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花 的成本费最低，最低为多少解：设每天派出A型车与B型车各x、y辆，并设公司每天的成本为z元.由题意，得y<5 Jx+y < 1148x+56y > 6°121°1° 42x+y=117x+8y=°y=5° 12x=1°11x, y N,且 z=35°x+40&

28、#176;y.x < 1,y <5x+y< 11 6x+7y > 55x, y N,作出可行域，作直线i°: 350x+400y=0,即7x+8y=0. 作出一组平行直线：7x+8y=t中（t为参数）经过 可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经 过6x+7y=60和y=5的交点A （25, 5）,由于点A 的坐标不都是整数，而x, y N,所以可行域内的点A （岸,5）不是最优解.为求出最优解，必须进行定量分析因为，7窄+8 X 5严所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小 的直线是7x+8y=10,在可行域内满足该方程的整 数解只

29、有x=10，y=0，所以(10，0)是最优解， 即当i通过B点时，z=350 X 10+400X 0=350元为最 小.答：每天派出A型车10辆不派B型车，公司 所化的成本费最低为3500元.例5、已知点T是半圆O的直径AB上一点,以ABAA B B，使BB半圆图所AB=2、OT=t (0<t<1)， 为直腰作直角梯形 使AA垂直且等于AT， 垂直且等于BT，AB交 于P、Q两点，建立如 示的直角坐标系(1) 写出直线AB的方程；(2) 计算出点P、Q的坐标；(3) 证明：由点P发出的光线，经AB反射 后，反射光线通过点Q.解：(1 )显然A 1,1 t, B' 1,1 t

30、，于是直线AB的方 程为y tx 1 ；(2 )由方程组2ytx1,1,解出P(0,1)、q(+f ;(3) kPTkQT1 t* 21 t22t1 _P01 t2；T(1 TH由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反 数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线 通过点Q.说明：需要注意的是，0点的坐标本质上是三角 中的万能公式,有趣吗例6、设P是圆M : (x-5) 106 2+(y-5)2=1上的动点， 它关于A(9, 0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时 针方向旋转90°到点S,求|SQ|的最值。解：设P(x, y)，则Q(18-x, -y)，记P点对应的复 数为x+yi，则S点

31、对应的复数为：(x+yi) i=-y+xi，即 S(-y, x).|SQ| (18 x y)2 ( y x)2182 x2 y2 36x 36y 2xy x2 y2 2xy例7、 已知O M： X2 (y 2)2 1,Q是x轴上的动点，说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答 本题的要害所在。QA,QB分别切O M于A,B两点，(1)如果iabi晋 求直线MQ的方程；|OQ| J|MQ|2| MO |2<32 22 薦，故 a V5或 aJ5厂K所以直线AB方程是2x 亦y 25 0或2x屈 2亦 0;A(2)连接 MB，MQ，设 P(x,y),Q(a,0), 由(2)求动弦AB的中点P

32、的轨迹方程.解：(1 )由 |AB| 乎，可得 |MP| .'|MA|2 (|/2BI)2 12 (232)2 £ 由射影定理，得 |MB |2 | MP | | MQ |,得 |MQ | 3,在 RtA MOQ中,点M，P，Q在一直线上，得y 2,(*)由射影定理得 I MB |2 | MP | | MQ |,a x即 x_(2)2 a2 4 1,(*)把(* )及(* )消去 a， 并注意到y 2，可得x2 (y 4)2 -L(y 2).例8、直线l过抛物线y2 2px(p 0)的焦点，且与抛 物线相父于 A(X1，yJ和Bgy)两点.(1 )(2)求证：对于抛物线的任意

33、给定的一条弦 CD,直线I不是CD的垂直平分线.解：（1）易求得抛物线的焦点 若I丄x轴，则I的方程为 若I不垂直于x轴，可设 理得综上可知（2）设程为.、22p假设i过F，则F(_,0)2pp2x,显然 X1X2.24y k(x p),代入抛物线方程整2pp2p2x2 P(1 牙)x0,则 XtX2.k2444x2 p2 .c2d2C( ,c),D(,d)且 c2p2pc d c dc2 d2y(x)22 p4 pc d 02(c d)(2 p2 c2 d2)0 p 0,则CD的垂直平分线i的方亠）整理得2p 2 4p2p2 c2 d20， c d 0.这时I的方程为y=0,从而I与抛物线y

34、2 2px只相交 于原点而I与抛物线有两个不同的交点，因此I 与I不重合，I不是CD的垂直平分线.说明：此题是课本题的深化，课本是高考试题 的生长点，复习要重视课本。例9、已知椭圆审£ i，能否在此椭圆位于y4 3轴左侧的部分上找到一点 M，使它到左准线的距 离为它到两焦点R、F2距离的等比中项，若能找 到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。解：假设存在满足条件的点，设 M （X1，y1）a2=4， b2=3，a=2， b 3， c=1，e 2，| MF1 | | MF2 | (a ex1)(a ex1) a2 e2x12 4 1 x12 , 点M到椭圆左准线 的距离2dx1

35、ac/. Xi4 或 x4 ,.叩2 号，这与 条件的点M不存在。Xi1 2 2 2d,4%(Xi 4)2 5Xi4?xi -2, 0)相矛盾，32xi 48 0 ,满足例10、已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上， 焦距为4,离心率为？,3(I)求椭圆方程；(II )设椭圆在y轴正半轴上的焦点为 M，又 点A和点B在椭圆上，且M分有向线段ab所成的 比为2，求线段AB所在直线的方程。解：(I )设椭圆方程为4 bJi 1 由2c=4得a bc=2故2 2 乞0195(I)若k不存在，则如MB线AB的方程为：y=kx+2 又设 A(x1,yj B(x2，y2)y kx 2由 Xi y： 159X

36、X2 芈L9 5K2点M坐标为M (0，2)又：3a=3，5所求的椭圆方程为2，若k存在，则设直2 2(9 5k )x20kx 250浪LAM ( X1,2 yj MB (x?？ 2)由 M 2 得 AM 2MB ( x1,2MBXi 2X2代入2x；25tL 9 5k2由、得2(罟汀9 5kyi)2(X2, y2、2)得20kX29 5k2259 5k2k21373y x 2 o3线段AB所在直线的方程为：说明：有向线段所成的比，线段的定比分点 等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。 向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式，也可 以直接用有向线段

37、的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都 有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合， 为解决这些问题开辟了新的解题途径。例11、已知直线I与椭圆1(a b 0)有且仅有 a b一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于 R、S,求 以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的 轨迹方程.解：从直线i所处的位置，设出直线i的方程， 由已知，直线I不过椭圆的四个顶点，所以设 直线I的方程为y kx m(k 0). 代入椭圆方程b2x2 a2y2 a2b2，得b2x2 a2(k2x2 2kmx m2) a2b2.化简后，得关于x的一元二次方程于是其判别式,22 2、2 2 2 2 2 2(a k

38、 b )x 2ka mx a m a b 0.(2ka2m)2 4(a2k2 b2)(a2m2 a2b2) 4a2b2(a2 k2 b2 m2).由已知，得 =0 即a2k2 b2 m2.令顶点P的坐标为(由已知，得k解得m.my.在直线方程y kx m中，分别令 y=0 , X=0，求得 R( ASS.代入式并整理，得三埜1,即为所求顶点 P 丿x y的轨迹方程.说明：方程§ b； !形似椭圆的标准方程，你能画出x y它的图形吗例12、已知双曲线写石1的离心率e竽，过 a b3A(a,0),B(0, b)的直线到原点的距离是 寺(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y kx 5(k

39、0)交双曲线于不同的点C，D且G D都在以解: I (1) 距离dbab1, a x 3.B为圆心的圆上，求k的值.2,原点到直线AB： 丄1的3a bab 3c 2 .故所求双曲线方程为斗y2 1.(2 )把 y得设 C(X1, y1), D(X2, y2),CD 的中点是 E(xo，y。)， 则竺15 k2 y o kx o 521 3k 2Xo X1k BEXo kyo即 15 k21 3k 2故所求y。11Xokk O,竺丁 k O,又k1 3k 2k=±7 .说明：为了求出k的值,法建构k的方程51 3k0, k 27需要通过消元,想法设例13、过点p( 3,o)作直线i与

40、椭圆3x2+4y2=12 相交于A、B两点，O为坐标原点，求 OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值厂p/y”O 丿xB -分析：若直接用点斜式设l 的方程为y o k(x ,3)，则要求I的 斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线i的方程为X my、.3，这样就包含了斜率不存在时的情形了， 从而简化了运算。解：设 A( X1，y1)，B( X2，y2) ，I : x my 31 1L厂SAOB |OP| |y1|OP| |y2| >3(|y1| |y2 |)3(y1 山2 2把X my 3代入椭圆万程得：3(m2y2

41、2-3my 3) 4y2 12 0，即22 厂63m3(3m 4)y 6 . 3my 3 0 ,屮 y 2,y223m 43m 4108m2121(3m24)2 3m24 3m234、. 3 ,3m214 3 , 3m21I y1 y2 I4 9m22 2 3m 43m4j3mJ3m2_13J3m213S 2.3 ,2 )3m2-l144x24844(3m2 1) 343 22、3此时伽2 1 ：3m21令直线的倾角为，则tg备 即厶OAB面积的最大值为3, 正切值为于。m32此时直线倾斜角的例14、（ 2003年江苏高考题）已知常数a o， 向量 C （0,a）J （1,0）.经过原点O以C

42、 r为方向向量的直线与经过定点A（0, a）以r 2 C为方向向量的直线相交于点 P，其 中r.试问：是否存在两个定点E、F，使得 |PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若 不存在，说明理由.解：丁 r= （1，0）， c= （0，a）， C+ 兀=（人a）， r 2 Ap= （1， 2 2a）.因此，直线OP和AP的方程分别为 y ax和y a 2 ax .消去参数 人得点P（x,y）的坐标满足方程y（y a） 2a整理得x2 (y 2)18 .因为a 0,所以得：(i )当a手时，方程是圆方程，故不存在 合乎题意的定点E和F;(ii)当 0 a 时，方程表示椭圆，焦点E(1

43、1 a2,-)22 2 2和F( 2； a2,|)为合乎题意的两个定点；(iii )当a彳时，方程也表示椭圆，焦点 E(°1(a曾I)和F(°g(a眉舟)为合乎题意的两个定 占;、说明：由于向量可以用一条有向线段来表示， 有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜 率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着 天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线 的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问 题解决。例15、已知椭圆4 4 1(a b 0)的长、短轴端点分a b别为A、B，从此椭圆上一点 M向x轴作垂 线，恰好通过椭圆的左焦点 已，向量AB与OM是 共线向量。(1) 求椭圆

44、的离心率e;(2) 设Q是椭圆上任意一点，冃、F2分别是左、右焦点，求/ FQF2 解：(1 ) T F, c,0),则Xm的取值范围;c, Ymb2oac-,OM与AB是共线向量， ab2bac a ?b=c,故2e 2 °(2)设FQri, F2Q a, Fi QF2ri D 2a, F1F22c,rj r22 4c2 (rid)2 2% 4c2a2- d ncos1102r1r22rir2r1r2( ri r2)22当且仅当ri r2时，cos 6 =06 。弓o 说明：由于共线向量与解析几何中平行线、共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中 与平行线、三点共线等相关的问题均

45、可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是: 正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线 等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问 题例16、一条斜率为1的直线i与离心率为乎的椭圆C： 4 Z 1 ( a b 0)交于P、Q,两点，直线l a b与丫轴交于点R,且OP OQ 3 , PR 3RQ，求直线I和椭圆C的方程。解：椭圆离心率为号,三号,a2 2b22a 2所以椭圆方程为£ £ 1，设i方程为：2b bPg, yJQ(X2, y2)2 2由2b2 b2 1消去y得 3x2 4mx 2m2 2b2 0y x m16m24 3(2m2 2b2)8( m2 3

46、b2)0 3b2 m2(*)(1) 所以Xi X24m( 1 )X1X2 2(m2 b2)(2)33OP OQ 3 所以 X1X2 y1 y23而 y1 y2 (x1 m)(x2 m) x1x2 m(X1 x2 ) m2所2x1x2 m(x.| x2) m23 (m2 b2) m233所以 3m2 4b29 (3 )又 R(0,m),X1 3X2b2m233 (m33m2 4b29 ( 3 )3又(X1,m yj 3( X2, y2 m) 从而 由(1) ( 2) ( 4 )得 3m2 由(3) (5)解得 b2 3, 所以所求直线i方程为：y 的方程为匸16 3构建起向量与解说明：向量数量积

47、的坐标表示，析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。 求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表 示，沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的 工具性。PR 3RQ-(4 )(5) 适合(*),;椭圆C例17、已知椭圆C的中心在原点，焦点 F1、 F2在X轴上，点P为椭圆上的一个动点，且/F1P巨 的最大值为90°直线I过左焦点F1与椭圆交于A、 B两点， ABF2的面积最大值为12.1)求椭圆C的离心率；(2)求椭圆C的方程.解法一：(1)设E钉鬥十門2c,对pf1F2,由余弦定理，得1 2,2cos FfF2经2r1 r2(1a)2 21 d 4c2 4a2 4c2 “1212

48、2122(4a2 4c24a2 4c2解出(2)考虑直线i的斜率的存在性, i)当k存在时，设 y k(x C)椭圆方程为 笃1, A(X1, yj, B(X2, y2)a b由 e # 得a2 2c2,b2 c2.于是椭圆方程可转化为 将代入，消去y得 整理为x的一元2 2 2 2 2(1 2k )x 4ck x 2c (k 1)0 .1 2e2 0 ,e e2X2 2y2C21 2)22 )可分两种情况：I的方程为2 2 2 22k (x c) 2c 0 ,次方程，得则X1、X2是上述方程的两根.且I X2 X1 |2 2c 1 k21 2k222 2c(1 k2)| AB |1 k |

49、X2 咅 |1 2k21AB边上的高c 11 k2S 2 2c(221 2k2 2ch |F!F2 |sin BFf? 2c .|k |1 k2 |k |)1 k2 2C 川2冏2宓kk4 ； 2血c2 |1 2k2. 1 4 k2 4k4112C24 k4 k2x C代入椭圆方程得ii)当k不存在时，把直线y JABI 2c,S _由 知S的最大值为2c2由题意得2c2=12所1以 C2 6 2 b2a2 12 2i 2C 2c2x2 y2 孑孑 1,A(X1,y1),B(X2,y2)a2 2c2,b2 c2,于是椭圆方程可化为：222 2 22 4m c 4c (m 2)2 2c(1 m2

50、)m 2m2 2AB边上的高h 从而2c2 J1 m 2S 11 AB | h 1 2 2c(1 山 2c22 m2 1 m212 2c2 彳2c2.m22- 12 1 m212m212 2C21 (m 2)2故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为:2 21L122 6 2解法二：设过左焦点的直线方程为：x my c0椭圆的方程为： 由e .得：x2 2y2 2c202 2 2(m 2)y 2mcy c 0把代入并整理得：于是y1,y2是上述方程的两根.|AB| (x1 x2)2 (y1 y2)?1 m2 | y2 y1 |11当且仅当m = 0取等号，即SmaX 2C2.22匚2b c 6.

51、2,a 12 2由题意知妊2 12,于是故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为:12 2 6 2 1.例18、2002年天津高考题)已知两点M(-1, 0) , N ( 1 , 0)且点P使MP MN,PM PN,而NP成公差小 于零的等差数列，(I )点P的轨迹是什么曲线(U )若点P坐标为(x0，y0),为PM与PN的夹角，求tan 9解：(I )记 P (x,y),由 M (-1, 0) N (1, 0) 得PM MP ( 1 x, y)PN NP ( 1 x, y)MN NM (2,0)所以MP MN 2(1 x)PM PN x2 y2 1NM NP 2(1 x)于是，MP MN, PM

52、 PN,NM NP是公差小于零的等差数列 等价于2 2 1xy12(1 x)2(1 x)22(1 x) 2(1 x) 0所以，点P的轨迹是以原点为圆心，3为半 径的右半圆。U )点P的坐标为 (x°,y°) o PM PN x。2 y。2 1uuuuPM所以cos一 cos2tanUULTPNsincos'(1xo)2yo2 -,(1UUUU-UUUrPMPNUUUL UULT PM PN1,0,sin311 4 x；Xo)2、1 cos22X°y。y .(4 2x。)(4 2xo)2.4因为 0 xo,3 ,2，X°说明：在引入向量的坐标表示后

53、，可以使向量运 算代数化，这样就可以将 形”和数”紧密地结合 在一起。向量的夹角问题融入解析几何问题中， 也就显得十分自然。求解这类问题的关键是：先把向量用坐标表示，再用解析几何知识结合向量 的夹角公式使问题获解；也可以把两向量夹角问 题转化为两直线所成角的问题，用数形结合方法 使问题获解。(皿)、强化训练2 21、已知P是以Fi、F2为焦点的椭圆笃 1(a b 0) a b上一点，若PFi PF2 0 tan PF 2，则椭圆的离心率为( )(A)寸(B) 3( C) £(D)；2、已知 ABC的顶点A(3, -1)， AB边上的中线所在直线的方程 为6x+10y-59=0, Z B的平分线所 在直线的方程为：x-4y+10=0,求 边BC所在直线的方程。3、求直线 12： 7x-y+4=0 到 11： x+y-2=0 的角平 分线的方程。食 物P食 物Q食 物R维生素A(单位400600400/kg)维生素B （单位/kg）800200400成本（元/kg）6544、已知三种食 物P、Q、R的维 生素含量与成本 如下表所示现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg 的食物R混合，制成