必修四第一章三角函数复习与小结(一)

1、年级且一 乒a学科数学版本苏教版课程标题必修四 A章 二角函数复习与小结编稿老师土东一校林卉二校黄楠审核土白玲VU iH!标 定 位明瑜学习目标，高效学习.有的故为一、考点突破1 .三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值 符号的选取和终边相同的角的集合的运用。2 .同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以 及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。3 .三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象 的变换和解析式的确定及通过图象

2、的描绘、观察，讨论函数的有关性质。4 .三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三 角函数模型解决最值问题。三角函数来源于测量学和天文学。在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量 学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。三角函数是进一步学习其他相关知识和高等 数学的基础。本章主要利用数形结合的思想。在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想， 还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方 面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图

3、象与性质、五点法”作图、诱导公式、函数 y=Asin （cox+（j）的图象与正弦函数 y=sinx的图象 间的关系、同角三角函数的基本关系。难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数 到丫=人$访（cox+j）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。而 知役错理【倾略师点撮夯实基础，提升勤】、知识脉络图:角的概念的推广: 任意角的概念角的概念三角函数.、知识点拨：1. y sin x与y cosx的周期是 。2. y sin( x )或 y cos( x )(x 3. y tan 的周期为2 。20）的周期为T4. y sin( x(k ,0

4、);y cos( x1(k1 ,0)；2y tan( x）的对称轴方程是 x k （ k Z）,对称中心为）的对称轴方程是 x k （ k Z）,对称中心为）的对称中心为,0)5 .当 tan tan 1 时，k (k Z)；当 tan tan 1 时，k (k Z)26 .函数y tan x在R上为增函数。(为只能在某个单调区间上单调递增。若在整个定义域上，则 同样也是错误的。7. y sinx不是周期函数；y sinx为周期函数（Ty tan x为增函数的说法）;Y=cos|x|y cosx是周期函数（如图）；y=|cosx| y cosx为周期函数（T随堂练习：函数f （x） =sinx

5、? （ cosx-sinx ）的最小正周期是（）A.4B. 一 C.d D. 2兀解：- f (x) =sinx? ( cosx-sinx ) =sinxcosx-sin 2x=1 ( sin2x+cos2x ) - 1 = sin (2x+ 一) 1.T=7t故选C.fibtuff典型削联，应用攻略，轻松解歙】知识点一：三角函数的概念例题1设角“属于第二象限，|cos金尸cos3 ,试判断角 金属于第几象限？思路导航：首先应根据a所属象限确定出 万所属的象限，然后再由 cos-0, cos W0确定最终答案，要点就是分类讨论。2答案：因为a属于第二象限，所以 2ke a 2k兀+兀（kC Z

6、）,k 兀+ - 一 k 兀-I(k C Z) o当 k=2n (nC Z)时，2n 2n 7t+ (nCZ)。是第一象限角；2当 k = 2n+ 1 (nC Z)时，2n 时勺 v 0 cos-WQ)所以,应为第二、三象限角或终边落在 x轴的负半轴上。综上所述，万是第三象限的角。点评：由a所在象限，判断诸如,I等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定,n所属的象限；另一种办法就是将 k进行分类讨论。一般来说，分母是几就应分几类去讨论。知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式3(X例题2 (1)已知 兀 a 2兀，cos (a 7城=,

7、求sin (3升a)与tan (5)的值;2(2)已知 2+sinAcosA =5cos2A ,求 tanA 的值;(3)已知 sin 时cos a= 1 ,且 (0,5好,求 sin3 a- cos3 a的值。答案:(1 ) COS ( a 7 兀)=一 COS a=3cos a=一。5又 Tt a 0, cos aV 0, a- cos ty 0 ,sinn cos k V1 2 sincos- sin3 a cos3 a=7 X (1 丝)5257581125点评:形如asin好 bcos a和 asin2 a+ bsinc cosh ccos2 a的式子分别称为关于sin a cos

8、a的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使 用。知识点三：三角函数的图象与性质例题3对于函数f (x) = 2sin (2x+),给出下列结论：3图象关于原点成中心对称；图象关于直线x=不成轴对称；图象可由函数 y =2sin2x的图象向左平移 一个单位得到；图象向左平移 行个单位，即得到函数 y = 2cos2x 的图象。其中正确结论的个数为()个A. 0B. 1C. 2D. 3思路导航：.f (x)是非奇非偶函数，错误。f (x)是由y=2sin2x向左平移 一个单位得到的，6.错误。把x= 代入f (x)中使函数取得最值，.正确。左移一个单位f (x

9、) = 2sin (2x+ )12 f (x) = 2sin 2 (x+ ) + = 2cos2x,.正确。答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。在用排除法时，要注意函 数性质的应用。例题 4 设函数 f (x) = sin3x+ |sin3x|,则 f (x)为()A.周期函数，最小正周期为 -B.周期函数，最小正周期为C.周期函数，最小正周期为2兀D.非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入f (x T) f(x)检验，也可化简f (x) sin3x sin3x。答案：f (x) = sin3x + |sin3x|一 2k 2sin 3x,-30,2k32kx ,3

10、32k 2一 x 333B正确。答案：B点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。本题也可以数形结 合运用图象的叠加来考虑。后者更简捷。知识点四：三角函数的应用4个相同的直角三角形0,大正方形的面25A. 124B. 25DA7C.25B7D.25例题5在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角是 积是1,小正方形的面积是 1-,则sin2。 cos2。的值等于(思路导航：由题意，设大正方形边长 AB = 1,小正方形的边长是-,则BE = sin 85AE = cos 9 ,1cos 0- sin 6=。524

11、平方得 2cos 0 sin =6 一。2549( cos 叶 sin 0 2= 1 + 2cos 0 sin =6。25cos 叶 sin 6= 7。5sin2 0 cos2 0= ( sin 8 cos 5 5答案：D7O25点评：三角函数的应用非常广泛。 利用三角函数的性质是解此题的关键。将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再例题6 函数y = Jsin xcosx1 ,一一的定义域是2sin x思路导航：由题意知，cosxsin xcosx作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域x|2k TtWxW2kL, kCZ o丸答案：x|2k 7tx2kn-, kCZ 点评：解三

12、角不等式基本上有两种方法：利用三角函数线。利用三角函数图象。例题7求函数f (x) = sinxcosx的最大、最小值。1 sin x cosx2 2思路导航： 利用二角函数中 sin cos 1和sin cos 与sin cos 的关 系，转化成同一个量的关系式。答案:t2 1设 sinx+ cosx=t,贝U sinxcosx =2te J2 J2,且 t a 1,则 yt21H t2 i1 t 2 2t，当 t= x/2 ,当 t=- 72 ,t e 0),将y f(x)的图像向右平移 3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于()A. 1 B. 3 C. 6 D. 93思路

13、分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将y f(x)的图象向右平移 一个单位长度后，所得的图象3与原图象重合，说明了 一是此函数周期的整数倍。3解答过程：由题意将y f(x)的图象向右平移 一个单位长度后，所得的图象与原图象3一 “, 一一，一一 12重合，说明了 一是此函数周期的整数倍，得 k (k Z),解得 6k,又330 ,令 k 1 ,得 mm 6。答案：C规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象 重合。高频疑点 【网排热点问题透视】在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理

14、以及科学计算器的 使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。例题 (临沂统考) 作函数y=cotxsinx的图象。思路导航：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象。函数 y = cotxsinx的图象即是y=cosx (xwk/kCZ)的图象，因此应作出 y=cosx的图象，但要把 x=kTt, kCZ的这些点去掉。答案： 当 sinx wq 即 xwkMkCZ) 时，有 y = cotxsinx = cosx, 即 y = cosx (xwkg kC Z)。其图象如图，1卜卜握奇技151西方法妙招.学习JSa ,解JK快捷】学习本章应该先复习角的概念，了解角度制的内容。在学

15、习本章时应该注意任意角、 弧度制、任意角的三角函数的区别和联系，这是我们学习其他知识的基础。学习过程中， 对需要证明的内容要自己亲手证明，加强对公式的理解和记忆。对函数图象的作图过程要 抓住关键，充分利用周期性和奇偶性等函数性质简化作图过程。对三角函数式的化简求值 要多加强练习，注意对题型的归纳总结才可熟练解决相关问题。修预习导学【两新知主动学习】必修四第二章第1 2节向量的概念及表示；向量的线性运算 一、预习导学1 .向量的概念：。表示法CBB. AB、CD、FA、DEuuuruuuruuruuuruuurOFD. AF、AB、OC、ODABCDEF2 .平行向量的概念： 、相等向量的概念：

16、 3 .已知点O是正六边形uuU uuu uuuA. OB、CD、FEuuu uuu uuuC. FE、AB、CB4 .向量的加法法则：。5 .数的运算：减法是加法的逆运算， 。6 .向量的加法运算： 、向量共线定理： 7 .平面向量基本定理： 、问题思考1 .如何用数学符号和有向线段表示向量？2 .向量加法的平行四边形法则和三角形法则如何？3 .如何结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量？4 .理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。精说好题，学以效用,越法打歌】（答题时间：60分钟）、选择题kCZ中的角所表示的范围（阴影部分）是（3m) ( mO),则2.已知角

17、”的终边经过点 P （-4m2sin a+ cos a 的值是()A. 1 或一13.4.5.C.1 或一已知 f (cosx)A. 一 sin3xC. cos3x(天津)A.若 B.若 C.若 D.若a、已知D. 1 或= cos3x,则 f (sinx)等于()E. 一 cos3xD. sin3xsin法sin么那么下列命题成立的是（3是第一象限角，则3是第二象限角，则3是第三象限角，则3是第四象限角，则要得到函数：- -A.向左平移兀百个单位兀C.向左平移三个单位COStanCOStanA COSA tanCOSA tan的图象,3333只需将函数B.向右平移D.向右平移y= sin2x

18、的图象（）个单位个单位6.已知a是某三角形的一个内角且sin (兀一ria) COs (兀+ a)=,则此三角形是(A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形QTT7.若|sin甫盲 0 55则tan外于（）A.器B. 2奏C.-12D. 二8.下列函数中，最小正周期为且图象关于直线A.C.7T ysin (2x+) y=sin (2x - g)D.B. :， 一9.函数y=tg （工 兀）在一个周期内的图象是（KB.D.*II *A.C.10.(上海)函数 y=x+sin|x|I I I iI I iIIIIx Tt,nt的大致图象是（）A.C.11.（福建）定义在R上的函数B

19、.D.(x)满足 f (x) = f (x+2),当 xC 3, 5时，f (x)A. f ( sinr) f (cosl)C. f (co) f (sin2)12.如图为一半径为 3m的水轮,水轮中心 O距水面2m,已知水轮每分钟旋转4圈，水= 2-|x-4|,则（）轮上点P到水面的距离y （m）与时间x （t）满足函数关系式 y = Asin （cox+/+2,则A.15A = 5B. 3=15271D. 3=2TT 15二、填空题13.若扇形的周长是16cm,圆心角是2弧度，则扇形的面积是14.函数y=-sinxcasxsinx4-COSItan工* I tarn |的值域是斤 13si

20、n & - 2二口台日15.已知tana2,则Sin9+3cos0IT .116.已知 bin (x十),贝U64sin (且J。+cos2(9工)6J17.不等式1+/川1()。的解集18.函数尸1口6回门(2汨jr)的单调减区间是19.函数f (x)是周期为 兀的偶函数，且当耳E 0,y )时，f(K)=仔犯工-1空)的值是320.设函数 f (x) = 3sin (2x+JTy),给出四个命题：它的周期是K它的图象关于直线x =7T.成轴对称；它的图象关于点(12,号上是增函数。其中正确命题的序号是,0)成中心对称；它在区间.31222.设函数 f(x) 2sin(2x-)(x R).3

21、(1)若 0，求 的值，使函数f(x)为偶数;(2)在(1)成立的条件下，求满足 f (x) 1,且x,的x的集合。三、解答题21.如图所示，某地一天从 6时至14时的温度变化曲线拟合正弦型曲线:y Asin( x )(1)求这段时间的最大温度差；23. (1)已知 tan(2)已知sin52c.，求 3sin 2 sin cos12m(0 m0, 0, 0时，厂前，sinQ二巽金？ ?.5二二 如二一冬 5m 55m 56 4 22En 口十 us 篁二合一W；5 5 5当 m0 时，厂5m, mind二-二一微，gQ二一 -5m5- 5m 5SsinCt +ccs d = -k-= - 故

22、选 B。 5 553. A解析：(法一)令t=cosx,由三倍角公式求出 f (t) =4t3-3t,换元可得fTT(sinx)的解析式。(法二)把 sinx用cos (-x)来表不，利用已知的条件f (cosx)= cos3x得出f (sinx)的解析式。解答过程：(法一)令 t=cosx, cos3x= 4cos3x 3cosx, f (cosx) = cos3x= 4cos3x 3cosx,.f (t) = 4t3-3t, f (sinx) = 4sin3x- 3sinx=- sin3x,故选 A。(法二)f (cosx) =cos3x,f (sinx) = f cos (日-x) =

23、cos3 (二一x)=cos3x) = sin3x, 故选 A。2cos4cos 故A错。4. D解析：若a、3同属于第一象限，则辞(8口；9若a、3同属于第二象限，则tan o tan 3 故 B 错。若a、3同属于第三象限，则 nap2L, cosa cos故C错。若“、3同属于第四象限，则 驾6M江0, cos o Q 又 y = cosx 在0, nt 止为减函数，所以 函数y=x+ sinx在0, nt上为增函数且增速越来越小；当一% 0 时，y = x sinx ,，y= 1 cosxQ 又丫=8$*在兀，0）上为增函 数，所以函数y = x- sinx在0, nt止为增函数且增速

24、越来越小；又函数y = x + sin|x|, xC国nt恒过（一5一城和（国兀）两点，所以 C选项对 应的图象符合。11. D 解析：由 f (x) =f (x+2)知 T=2, 又. xC 3, 5时，f (x) =2-|x-4|, 可知当 3WxW时，f (x) =2 + x。当4vxW5时，f (x) = 6-xo其图如下，故f （x）在（1, 0）上是增函数，在（0, 1）上是减函数。又由 |cos2K |sin2|,f （cos2） f （sin2）。故选 D。12. D 解析：已知水轮每分钟旋转4圈4X271 2 兀3=T-6015又半径为3m,水轮中心 O距水面2m, ，最高点

25、为5,即A = 3,故选D。、填空题13.16cm2解析：设扇形半径为 r,面积为S,圆心角是a,则a= 2,弧长为a ;则周长 16=2r+ a 户 2r+2r=4r,，r=4,扇形的面积为：S= A a r= X16= 16 ( cm2),故答案为16 cm2。22当角x在A象限时，y = 当角x在第二象限时，y = 当角x在第三象限时，y = 当角x在第四象限时，y =15. -解析：.tan 生 2,5.SsinQ - 2cos 日sin 6 +3cos 03式与6 _ 7一叫十3cos dtan 6 +3_3X2-22+3o5516. 一 解析：: sm (x+-16sm (J - Q +cm 6一si力n-(H) , 0=sin (x+-) + sin， &=JL1617. x k x 62解析：不等式1+jhanK X 一 -y+kn=Cx18. (k ,k -(k Z88解析：函数y=lo gin (二 1+1 +1 = 3,二 1 1 1 = 1 ,二1 1+ 1 = 1 ,二1+ 1- 1 = - 1。口6年5 口+cos2 Y)|k ,k ZIP tanx , 又 k tzvxvkTH- , kC Z,_J|2二?k九kE?)2k+)的定义域为(kn-S+手)Ik”)3ou14.1,3解答：解：由题意知