二次方程根分布情况归纳2021年9月

1、二次方程根分布情况归纳2021年9月 二次方程根的分布 一元二次方程 02= + + c bx ax 根的分布情况 设方程 ( )20 0 ax bx c a + + = ¹ 的不等两根为1 2, x x 且1 2x x < ，相应的二次函数为 ( )20 f x ax bx c = + + = ，方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与 0 的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于 0 ( )1 20, 0 x x < < 两个正根即两根都大于 0 ( )1 20, 0 x

2、x > > 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于 0 ( )1 20 x x < < 大致图象（0 > a） 得出的结论 ( )0020 0bafd > ìïï- <íï> ïî ( )0020 0bafd > ìïï ->íï> ïî ( ) 0 0 < f 大致图象（0 < a） 得出的结论 ( )0020 0bafd > ìïï -&l

3、t;íï< ïî ( )0020 0bafd > ìïï ->íï< ïî ( ) 0 0 > f 综合结论（不讨论a） ( )0020 0baa fd > ìïï- <íï× > ïî ( )0020 0baa fd > ìïï- >íï× > ïî ( ) 0

4、 0 < × f a 表二：（两根与 k 的大小比较） 分布情况 两根都小于 k 即 k x k x < <2 1, 两根都大于 k 即 k x k x > >2 1, 一个根小于 k ，一个大于 k 即 2 1x k x < < 大致图象（0 > a） 得出的结论 ( )020bkaf kd > ìïï- <íï> ïî ( )020bkaf kd > ìïï ->íï> 

5、9;î ( ) 0 < k f 大致图象（0 < a） 得出的结论 ( )020bkaf kd > ìïï -<íï< ïî ( )020bkaf kd > ìïï ->íï< ïî ( ) 0 > k f 综合结论（不讨论a） ( )020bkaa f kd > ìïï- <íï× > ïî (

6、 )020bkaa f kd > ìïï- >íï× > ïî ( ) 0 < × k f a kkk 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在 ( ) n m, 内 两根有且仅有一根在 ( ) n m, 内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在 ( ) n m, 内，另一根在 ( ) q p,内， q p n m < < < 大致图象（0 > a） 得出的结论 ( )( )0002f mf nbm nad > ìï>

7、ïï>íïï < - <ïî ( ) ( ) 0 < × n f m f ( )( )( )( )0000f mf nf pf qì >ï<ïí<ïï>î或( ) ( )( ) ( )00f m f nf p f q< ìïí<ï î 大致图象（0 < a） 得出的结论 ( )( )0002f mf nbm nad > 

8、36;ï<ïï<íïï < - <ïî ( ) ( ) 0 < × n f m f ( )( )( )( )0000f mf nf pf qì <ï>ïí>ïï<î或( ) ( )( ) ( )00f m f nf p f q< ìïí<ï î 综合结论（不讨论a） ( ) ( ) 0 < × n f m

9、f ( ) ( )( ) ( )ïîïíì<<00q f p fn f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 ( ) n m, 外，即在区间两侧1 2, x m x n < > ，（图形分别如下）需满足的条件是 （1） 0 a > 时，( )( )00f mf n< ìïí<ï î； （2） 0 a < 时，( )( )00f mf n> ìïí>ï î 根的分布题型 型

10、 例 1、已知二次方程 ( ) ( )22 1 2 1 0 m x mx m + - + - = 有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。 例 2、已知方程 ( )22 1 0 x m x m - + + = 有两个不等正实根，求实数 m 的取值范围。 例 3、已知二次函数 ( ) ( ) ( )22 2 4 3 3 y m x m x m = + - + + + 与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数m 的取值范围。 练习： 1、已知二次方程 ( )22 3 4 0 mx m x + - + = 只有一个正根且这个根小于 1，则实数 m 的取值范围 。 2、方程 ( )22 2 0 mx m x - + + = 在区间 ( ) 1,3 上有一根，则实数 m 的取值范围