一元二次方程题型分类总结

1、一元二次方程题型分类总结则m的值为 o知识梳理、知识结构:解与解法一元二次方程根的判别韦达定理考点类型一概念（1）定义：|只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程 II就是一元二次方程。（2） 一般表达式： ax2 bx c 0（a 0）难点：卜何理解 “未知数的最高次数是2 ” ：该项系数不为“0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A八，2 八，一11八八A3x12x1B20x 2xax bx c 0变式：当k 时，关于x的方程kx2 2x x2 3是一元二

2、次方程。例2、方程 m 2 xm 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ,常数项是。 2、若方程m 2 x|m| 1 0是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。 3、若方程m 1 x2 Jm?x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 04、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=3,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点类型二方程的解概念：|使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。应用：愀用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知2y2 y 3的值为2,则

3、4y2 2y 1的值为。例2、关于x的一元二次方程a 2 x2 x a2 4 0的一个根为0,则a的值为 o例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c b ,则 此方程必有一根为。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两 个根，针对练习：2 1、已知万程x kx 10 0的一根是2,则k为,另一根是 X 12、已知关于X的方程X2例2、若9x 116 x 2 ，则x的值为。针对练习：|下列方程无解的是()2222A. x 3 2x 1 B. x 20 C. 2x 3 1 x D. x 9 0 kx 2 0的一个解与方

4、程 3的解相同。x 1求k的值；方程的另一个解。223、已知m是万程x x 1 0的一个根，则代数式 m m 。22_ 4、已知a是x 3x 1 0的根，则2a 6a 。2 5、万程abx bcxca 0的一个根为()A 1B 1C b cD a 6、若 2x 5y 3 0,则 4x?32y 。考点类型三解法方法：|直接开方法;因式分解法；配方法；公式法关键点：群次类型一、直接开方法：x2 m m 0 , x mm222对于x a m, ax m bx n等形式均适用直接开方法典型例题：22一 2例 1、解万程：1 2x 8 0;2 25 16x =0;3 1 x 9 0;类型二、因式分解法：

5、x x1 x x20 x x1，或 x x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,”,方程形式：力口 ax2 c2x 2ax a典型例题:例 1、2x x 3的根为（Xi52，x2例2、若4x y2 3 4x4 0,则 4x+y的值为22 2变式1 ： a bb26 0,则 a2b2变式3 :若x2xyxyx 28 ,则x+y的值为例3、方程x26 0的解为A. x13, X2B. x13, x2C. x13, x23 D. x1 2, x2例4、解方程:2 .32,3例5、已知2x23xy2y20,M- xy的值为 y变式：已知2x23xy2y20,yy的值为 y针对练习: 1、下列说法

6、中:方程x2 px q 0的二根为x1 , x2,则2x pxq (x xi)(x x2)x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2 y2 （x y）（、,x . y）（,x , y）方程（3x 1）2 7 0可变形为（3x 1 "）（3x 1 此 0正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个D.4个2、以i a与1 "为根的一元二次方程是（）22A.x2x6 0B.x2x 60C.y22y6 0D.y22y 603、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1 ,且两根互

7、为相反数： 4、若实数x、y满足xy3xy 2 0,则x+y的值为（）A、-1 或-2 B、-1 或 2C、1 或-2 D、1 或 215、方程：x 2的解是。 x6、已知 V6x2 xy V6y2 0,且 x 0, y 0 ,求 2x_ '6y 的值。 3x y2 7、万程1999x1998 2000x 1 0的较大根为 r , 万程2007x2 2008x 1 0的较小根为s,则s-r的值为。类型三、配方法ax2 bx c 0 a 0b 2 b2 4ac2a 4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明x2 2x

8、3的值恒大于0例2、已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7的最小值例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求xy的值。例4、分解因式：4x2 12x 3针对练习:1、试用配方法说明10x2 7x 4的值恒小于00111 2、已知x丁 x 40,则xxxx 3、若t2 3 3x212x9,则t的最大值为 ,最小值为。 4、如果 a b v'c1 1 4va2 2vb 1 4,那么 a 2b 3c 的值2_0,且 b4ac 0例1、选择适当方法解下列方程:8. x2 4x 1 0 3x2 4x 1 01 3x 12x 5 .、2(1)31 x 6.例2、在

9、实数范围内分解因式：(1) x2 2<2x 3;(2)4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c=0,求出两根，再写成2ax bx c=a(x x1)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：2 一 一x 1 x 1.例1、 已知x 3x 2 0,求代数式的值。x 1例2、如果x2 x 1 0,那么代数式x3 2x2 7的值。例3、已知a是一元二次方程x2

10、3x 1一3 2a 2 a 5a 1 “0的一根，求2的值a 1例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)22x2 5xy 6y2 0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种： 先消元，再降次；先降次， 再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想， 即把新问题转化归结为 我们已知的问题.考点类型四根的判别式b2-4ac根的判别式的作用定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x2 2lkx 1 0有两个不相等的实数根，则 k的取值范 围是 0例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则m的取值范围是()A. m 0且m 1 B.

11、 m 0 C. m 1D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰 ABC的一边长为1 ,另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周例4、已知二次三项式9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组x 2y 6,有两个不同的实数解？有两个相同的实mxy 3.数解?针对练习： 1、当k 时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程mx2 mx 2 0有两个不相等的实数根，则m的值是.

12、ykx 2. 4、k为何值时，方程组 2y2 4x 2y 1 0.(1)有两组相等的实数解，并求此解;(2)有两组不相等的实数解;(3)没有实数解. 5当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根与m均为有理数？考点类型五方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则m为,只有一个根，则m为。例2、不解方程，判断关于x的方程x2 2 x k k2 3根的情况。例3、如果关于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。考点类型六

13、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题;“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放、，一、一一一一 一 一， 1 一一市场，根据计划，第一年投入资金 600万兀，第二年比第一年减少 -，第三年比第二年减3，1、,、一,一，少一，该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收21回，还要盈利3,要实现这一目标，该产品收入的

14、年平均增长率约为多少？(结果精确到0.1,而 3.61)4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出 500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少10千克，针对此回答： (1)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？

15、若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为 36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后, 甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点类型七根与系数的关系前提：对于ax2 bx c 0而言，当满足a 0、0时,才能用韦达定理。主要内容： X1 X2, X1X2 -a a应用：胀体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是()A. 3B.3C.6D. .6例2、已知关于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有两个不相等的实数根x1,x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 a b, a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0,求 a b 变式：若a2 2a