毕业论文正交矩阵及其应用

1、正交矩阵及其应用The orthogonal matrix and its applicalion摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具，它的应用非常广泛.本文从以下主要 例举了正交矩阵的三大应用：正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代 数中的应用、正交矩阵在物理中的应用.关键词：矩阵；正交矩阵；标准正交基；集合；特征根；行列式AbstractOrthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is widely used. This article cites the fo

2、llowing main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, Orthogonal matrix topology and Modem Algebra, orthogonal matrix the application of physics.Keywords： matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues;determinant摘 要Is1t II0引言11正交矩阵的定义及其简单性

3、质11.1 正交矩阵的定义及其判定11.2 正交矩阵的性质12正交矩阵的应用22.1 正交矩阵在线性代数中的应用22.2 正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用82.3 正交矩阵在物理中的作用 11参考文献150引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊性质，使得它在不同的领域都 有着广泛的应用，也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的定义以及其性质入手, 来探讨它的四大应用即：正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中 的应用、正交矩阵在物理中的应用.1正交矩阵的定义及其简单性质1.1 正交矩阵的的定义及其判定定义1.1阶实矩阵A,若满足A A = E，则称A为正交矩阵.判定1

4、A为正交矩阵=4=A，fl / = /判定2 A为正交矩阵'勺,/ = 1,21。，川，判定3 A为正交矩阵O仪乐=i = / = 1,2,.1.2 正交矩阵的性质设A为正交矩阵，它有如下性质：性质1同=±1, 4”存在，并且也为正交矩阵；性质2A ,父也是正交矩阵；当国=1时，A = A*,即 = & ;当同=-1时.A=-a即徇=4.性质3若8也是正交矩阵，则力用A民ABA-gAb都为正交矩阵.证明性质1显然同=±1,（A）=（A）"=（A-i所以A-也是正交矩阵.性质2 A=A-1显然A为正交矩阵.由同= ±1,A*t=百,当同=1

5、时，A =A*,即 =4；当 |川=一1 时，A = -A,即 =-4;所以A.为正交矩阵.性质3由A =A-18 =8"可知(AB) = B A =B-A- =(ABy",故A8为正交矩阵.由性质1,性质2推知A8,A8',A-i8,AB-i均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上儿点，还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征 值的特征向量相互正交；如果力是它的特征值，那么,也是它的特征值，另外正交矩阵可以对角化，即存在复可逆矩阵T,使A = T" T_ 4_其中4，,4为A的全部特征值，即国=1(，= 1,2,.,).这些性质这里就不再证明了.2正交矩

6、阵的应用2.1正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利 用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧空间的一组基为标准正交 基的另一种方法.设向量W =(%,卬2) »令S = Jw； +卬；(J > /), C = W% ,d = Wj/，则称阶矩1c d i彳丁TU='''d c )彳丁_ : : 1i列 j列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵外,是由向量W的第i,/两个元素定义的，与单位矩阵只在第行 和第列相应的四个元素上有差别.设7；是由向量W定义的初等旋转矩阵(；>0，则有

7、如下的性质：<1> 7；是正交矩阵；<2> 设7；W = (%,，,J,则有% = s,iij =。，畋=wk (k ", j);< 3>用.左乘任一矩阵A, 7； A只改变A的第i行和/行元素(用%右乘任一矩阵 A, A果只改变A的第，列和j列元素).(VV2 + W2 ).证明<1> vc2+d2 = : 2 1 =1,故T再=E, 7；.是正交矩阵. S< 2>由7；得定义知，用%左乘向量卬，只改变W的第ij两个元素，且吗2崂itj = cWj + aw： =F =ss sW： Wj WjWju i = 一小 + c%

8、 = -：_- + _- = 0s s所以7；左乘W,使7；卬的第i个分量非负，第/个分量为0,其余分量不变.< 3>根据<2>及矩阵乘法即可以得出结论.引理2. 1.1任何阶实非奇异矩阵A =,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理2. 1.1设P是阶正交矩阵1若阳=1,则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即P = PPPr；2若|4=-1,则尸可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵氏即P ="巴PrE_,其中2 （i = 1,2,r）是初等旋转矩阵.证明 由于P是阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵，

9、,5?,邑使(2. 1)S2S|P = R这里R是阶上三角阵，而且R得对角线上的元素除最后一个外都 是正的，所以有P = S'S<SRI 1/由P是正交矩阵和1）式得P P = RS,SSSR = E 即RR = E(2. 2)其中，。0（i = l,2一 1）,则22 rln山上式得o i 手 j；_ I 1 i = j； /J = l,2 sn-1= J 1 i = / = 且|P| = 1-1，= / = 且|P| = -1所以(2. 3)rE,当|P| = 1k，当 |P|=1于是由(2. 1) (2. 3)式得<1> 当阳=1 时，p = s；sS；<

10、2> 当阳=-1 时，P = SSSrEf.记E =S；(i = l,2,j), P,是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2.1.2由设4 = (%),秩(A)=?，则A可以通过左连乘初等旋转矩阵，把A变为R的形式，其中R是？阶上三角阵，。是(-?)x7矩阵. o证明由引理2其中是阶正交矩阵，鸟是机阶上三角阵，乂根据定理1知："of1 其中。=12),尸£,|P| = 一1 是初等旋转矩阵.1 当|" = 1 时，A = 8外令R =<2> 当阳=-1 时，A = PiP2- PrERJo)于是有P.PA = E_.为、O)显然，R是?阶上三角

11、阵，当=，时R与RJ除最后一行对应元素绝对值相等、符号相 反外，其余元素对应相等.当机时，R = K，所以由。、2知本定理的结论成立."Il52"I"？mi C'21'"224 2m设 =.， = -，.<l"2 / nm /是欧式空间尺"的子空间V"'的一组基，记(a al2 Clni( a"a”,A = &%-4)= -1 一 Ml an2Cln,n >是秩为m的x m矩阵.若A = (% )"“满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵<2£使巳

12、-书 A=(2. 4)且E = PP =仍小，记.疣,所以P；P；_P2RE = PP*=P(2.5)< R、 由(2. 4)、5)两式知，对A、七做同样的旋转变换，在把A化为 的同时"就将E化成了回，而P的前川个列向量属于子空间Vw.综上所述可得化欧式空间的子空间口"的一组基：%,4，(a =(即,"2i，,册),j = 1,2,1为一组标准正交基德方法为：<1>由已知基%,见，。m为列向量构成矩阵A = (% )g” ；<2>对矩阵(土 E)施行初等旋转变换，化A为同时E就被化为正交矩阵回，这里R是小阶上三角阵；<3>

13、取P的前机个列向量便可得口的一组标准正交基.显然，上述方法是求子空间V"的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 2.1.1 求以向量 q = (-1,1,00),% = ( 1,0,10), % = (-1，。，0，1)为基的向量空间L的一组标准正交基.解矩阵-110< 0-1010-1、001 >对分块矩阵(AN)依次左乘几，723，734，其中f V2 V.显o、°V2 V 旦o oV201372飞0002-T0 '0V321一切JLV2V3V2O-LV21忑273JLV21 一V61O>/3后 1P9、o oV3

14、 1211 一2; o7221一2V31 一 2 1 一V21 一V612V312 1一72-LV61273121一V61一V6V2耳 O JLV2JLV2O O91 一V61一V6V2一V3O29 I - - - -I I /IFlTT。/ I则匕匕,8就是由4。2,%得至U的厂的一组标准正交基.2.2正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用全体阶正交矩阵作成的集合，记为。仇），从代数和拓扑的角度来看，我们可以证 明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie群.（1）。（“）构成拓扑群在证明。构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义2. 2.1设G是任一集合，R是G的子集构成的子集族，且

15、满足：1、结合G与空集。属于R;2、R中任意个集的并集属于R;3、R中任意有穷个集的交集属于R;称R是G上的一个拓扑，集合G上定义了拓扑R,称G是一个拓扑空间.定义2. 2. 2如果G是一个拓扑空间，兵赋予群的机构，使得群的乘法运算：GxGfG、求逆运算 v : G tG ;是连续映射，就称G为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体阶正交矩阵作成的集合构成拓 扑群.<1>全体阶正交矩阵作成的集合。构成一拓扑空间.<2>全体阶正交矩阵作成的集合。R构成一群.3全体阶正交矩阵作成的集合。构成一拓扑群.证明1设M表示所有具有实元素的阶矩阵作成的集合，以A = （%）

16、表示"的 一个代表元素.我们可以把"等同于2维欧氏空间E"）也就是将A = （%）对应于£产 的点师必2,勺”,422Ml，叫“） R是点集Er的子集族，则和。都属于R, R中任 意个集的并集属于R, R中有穷个集的交集也属于R,可以验证构成一拓扑空间, 从而用成为一拓扑空间.。是所有实元素的阶正交矩阵，所以是用的子集合，于 是由"的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而0（“）构成M的一个子拓扑空间.2 1° VABCeO由于矩阵的乘法满足集合律，所以（A8）C f A（8C）2° 3En e On,st VA e O,E“

17、A = AEn = A3° VA e q”）,3A-i = Ast A_1A = A A = AA-1 = AA = E 所以正交矩阵作成的集合。对于乘法运算可构成一群.3对于1中的拓扑空间M的拓扑，定义矩阵乘法m :M xM f A/设XM = （4）8 = （与），则乘积，（A8）的。个元素是£认现在"具有乘积空间石i/xxE”2个因子）的拓扑，对于任何满足4的ij,我们有投影映射 福7：MxMfMfeL 将A和8的乘积?（48）映为它的第（/个元素.现在赤?（4,8）=是A和8的元素的多项式，因此行"?连续，投影映射丐是连续的,火-1从而证明映射机

18、是连续的.因为。具有M的子空间拓扑，是用的一个子拓扑空间， 且由正交矩阵的性质3及上面的讨论知，映射?：q”）xq“）- q“）也是连续的.。（“）中的矩阵可逆，定义求逆映射/：o（“）-。间，va£Q“）/（a）=at.由于合成映 射通广4"-0（“）一炉，将VAe°（”）映为A”的第。个元素，由正交矩阵的性质2,A=A_,所以知=看,即福A）= ' ”的行列式及4的代数余子式都是A内元 素的多项式，且网工0,所以行/为连续的，而投影映射福为连续的，所以求逆映射 /：。（”）一4）为连续的至此，。（“）乂是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都

19、是拓扑空间 的连续映射，因而所有阶正交矩阵作成的集合。构成一拓扑群，称它为正交群.（2）。的是紧致lie群在证明之前我们知道以下有关的定义和定理.定义2.2.3设G为拓扑群，G的拓扑为维实（或复）解析流形，且映射 ®，g2）f Pg,gyG为解析流形GxG到G上的解析映射，则称G为维lie 群.定理2. 2.1欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明VAeM （所有具有实元素的阶矩阵作成的集合），A对应/维欧氏空间 E"的点乩4必2,"可作为，维欧氏空间.A的行列式det A为元 素卬必2,的解析函数，AtMdetA =。为例中的开子集.这时: 按诱导拓扑可以知道M*

20、为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故M,为维lie群.。为M'的闭子集，按诱导拓扑为子流形，为lie群.为了证明。（“）紧致，根据定理内容，只要证明"等同于时，。相当于内 的有界闭集.设VAeO（”），由于4人=后有nZ% =九 IWi.kWn对于任意的,定义映射f.k M f E VA wM 九5）=£%则。（）为系列各集合的交集/r；1 （o） <i.k<n "k由于（都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此。（“）是M的有界 闭集，这就证明了的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie群，我们称为紧lie群，所以。是紧lie群.（

21、3）。（“）是不连通的定义2.2. 4设X是一个拓扑空间，X中存在着两个非空的闭子集A和3,使 4118 = *和408 =。成立，则称X是不连通的.证明 我们再设SO®是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S为所有行列式为 -1的正交矩阵构成的集合.因为det：sq“）f炉是连续映射，而我们知道单点集1是 户的闭集，sq”）=de（i）,在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以sq“） 也为闭集，为。的闭集，同理，我们也可以证明s是闭集，因为sq.）us = o, sons = 0,而so（“）和s是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明。是不连通的.2.3正交矩阵在物理中的应

22、用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠 率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线4（，） = 玉"）%（，"皿）与曲线，：。）=4，），（/”（/）只差一个运动，从曲线，；（/）/ 、 玉到曲线4。）的变换为(2.6)其中是三阶正交矩阵，也也是常数对(2.6)两边求n阶导数得不/)4 )=Ayz1从而有以z；” ；=A丁、)严 打a2ixm +a22ym +a23z1"3】人"+%2)+%32(2.7)因为A是正交矩阵，所以也有(2.8)(x y zJl石XyM4Xy62,)1qXy

23、* )'. y6 y现在取«(，)彳(/)彳(/)=(;。"。»(，)可类似地讨论.因为X】yZ / ,7”_/凹4% “7- V人 J,| 句一八 | M H I J K » 4 M， b Z . Z演 占 X* y.y6 yzz X ” X +z .X X(2.9)(2.10)另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵y两边取行列式，由detA = ±l得(2.7)代入(2.9)的右边得N4 !/mz33 a+y324 +X31 a 7rfn +/ (2.11)+ 1 M 1 y y X 内 F31 a + X 演V 1 M 1

24、z z Xn2a + 1 1 z z 1 1 y y /I z#/m= +a32y 为 4+ 七2)'4 I , 1 y V， my 2Z Z .+ C123Z46 Fl>1因(2.9)与(2.10)右边相等，有(2.10)右边与(2.11)式右边相等得Z；.z；+ “2】" 4占 X12Z；ZIy1y：y；y：41 Z +(心+心+心)ffffZiZX； +ff xl由正交矩阵的性质2知，% =%且由乞4八=葭(/, & = 1,2,3) r-1将上面三式左右分别平方相加/1Z，V2/尸,2-2 4舒 J；yz"z，/炉yv：f(A)+Al + A、)'：王写成矢函数，即得ri (Z)x71 (/)r (Oxr (r)于是我们可推得； X； (r)f，T "r (Oxn (0=Kfri (r)J呼吁(r 】(f)xri (O)2f " w。；(0)丁