专题09圆锥曲线综合问题(答题指导)(解析版)

1、专题09圆锥曲线综合问题(答题指导)【题型解读】12题型特点命题趋势圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位 置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主， 这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但 在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算， 对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现.圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点.命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题. 命 题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识

2、综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点.?题型一圆锥曲线中的最值问题1 .圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.2 .最值问题的两类解法技巧(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. _. . . .一 2,113 9 13【例1】(2017 浙江卷)如图，已知抛物线x

3、= y,点A万，-,B-,-，抛物线上的点P(x,y) -x2 .过点B作直线 AP的垂线，垂足为 Q(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求| PA | PQ的最大值.【答案】见解析21x41【斛析】(1)设直线AP的斜率为k,则k=1 = x 2.x+2一，13因为一2Vx 0)为一个定点，过点E作斜率分别为k1,k2的两条直线交H于点A B,C,D,且M N分别是线段AR CD勺中点.(1)求轨迹H的方程；(2)若m= 1,且过点E的两条直线相互垂直，求EMN勺面积的最小值.【答案】见解析【解析】(1)设动圆圆心的坐标为(x, y),由题意可以得到 7x 22+ y2 =,Jx2+ 4,

4、化简得y2=4x,所以 动圆圆心的轨迹H的方程为y2=4x.(2)当m= 1时，E为抛物线y2=4x的焦点，因为kik2=1,所以ABJCD设直线AB的方程为y=ki(x1),A(xi, y1) , B(x2, y2) .y=k1(x-1), 由2.y = 4x2得 k1y -4y-4k1 = 0,则4y+y-dy1y2= 4,y1 + y24x1+x2=-+2=k?+2.因为Mf，y1要，所以M22+1, 2 . 22k1k1同理，可得 N(2 k2+1, 2k1).11202c 一001一 所以 Saem后引 EM | EN = 2J k? + k 7 2k1+ ( -2k1) = 2i

5、k1+ p+ 22 *2+ 2 = 4,当且仅当k2= ；2,即k1=l时， EMN勺面积取最小值 4.k1?题型二圆锥曲线中的定点与定值问题1 .定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.2 .圆锥曲线中定点、定值问题的解法(1)定点问题的常见解法假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.(2)定值问题的常见解法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接

6、推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【例2】(2018 北京卷)已知抛物线 C： y2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个 不同的交点 A, B,且直线PA交y轴于M直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围； 11(2)设O为原点，QM=入QO QN= QO求证： 7十一为定值.人【答案】见解析【解析】(1)因为抛物线y2=2px经过点R1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx + 1(kw0).y2= 4x,由得 k2x2+ (2 k-4) x+

7、 1 = 0.y= kx+ 1依题意 A = (2 k4)2 4X k2xi0,解得kb0)的离心率 a b(1)求椭圆E的方程;P(0,1)在短轴 CD上，且 PC- PD= - 1.入，使得OA O跳入PA- P助(2)设O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于 A, B两点.是否存在常数定值？若存在，求 入的值；若不存在，请说明理由.D的坐标分别为(0, b), (0, b).又点P的坐标为(0,1)解得 a=2, b=,2,a2 b2= c2,22所以椭圆E方程为+(=1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A, B 的坐标分别为(X1, y1) , (X2,

8、 y2).22x-1,联立 4 2得(2k2+1)x2 + 4kx2=0.y= kx+ 1其判别式 = (4 k)2+ 8(2 k2+ 1)0 ,4k2所以，X1 + X2=- 2k2 + 1, X1X2= - 2k2+ 1.从而 OA。OBb 入 PA, PB= X1X2+ yy+ 入X1X2+ (y1 1) , ( y2 1) = (1 + 入)(1 + k2) X1X2+ k( xi + X2) + 1 =入-1入一1_ _ ,2p 入2.所以，当入=1时，如入2=3, OA- O拼入PA-PB= 3为定值.当直线 AB斜率不存在时， 直线AB即为直线 CD此时OA OBF入PA- PB

9、= OC ODF入PC PD= 2入=3,故存在常数入=1. 综上可知，存在常数入=1,使得OA O跳入PAP划定彳1- 3.一 . ._ X22 _ . 一 . 一 22 2.【例3】 已知椭圆C： - + y =1(a0),过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x+y=;相切.a3(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点 M分别作直线 MA M皎椭圆C于A B两点，设这两条直线的斜率分别为ki, k2,且ki + k2=2,证明：直线 AB过定点.【答案】见解析【解析】(1)因为直线过点(a,0)和(0,1),所以直线的方程为x+ay a=0,因为直线与圆 x2+y2=2相切，3

10、所以匚雪=迫，解得a2=2,所以椭圆C的方程为3+y2=1.1 + a 32(2)证明：当直线 AB的斜率不存在时，设 A(X0, y(0,则B(x0, y(o),由k1+kz=2得竺二+二y二 =2,X0X0解得X0= 1.当直线 AB的斜率存在时，设 AB的方程为y = kx + m(m 1),A(X1,y1),B(X2,y2),由x2,22-，3+y =1，. 2 22 八一小4km2m-2 , . 一一 y12? (1 + 2k ) x + 4km奸 2m-2= 0,得 X1 + X2= - -X1 X2= -由 k1 + k2= 2?, 1 + 2k1 + 2kX1y= kx+ m+

11、 y = 2?(Z+m- DxHk-nm- 1)X2 =2 即化2k)x1X2= (m- 1)( X1 + X2)? (22k)(2 m2-2) =(mX2X1X221)( -4km),即(1 k)( m- 1) = km( m- 1),由 ml 得(1 -k)(1) = - km? k=1,即 y= kx + m= ( m+ 1)x+m? m(x+1) =y-x,故直线 AB过定点(1, - 1).综上，直线 AB过定点( 1, - 1).欣【素养解读】本例问题(1)中用直接法求解椭圆方程考查了数学运算的核心素养；本例问题 (2)中分类讨论斜率存在与不 存在两种情况，再利用相应公式计算求解考

12、查了逻辑推理和数学运算的核心素养.、一,【突破训练3已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点F(1,0) , O为坐标原点，A,B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程；八，一,1，、,，一(2)若直线OA OB的斜率之积为2,求证：直线 AB过x轴上一定点.【答案】见解析【解析】(1)因为抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为(1,0)，所以P=1,所以p= 2.所以抛物线 C的方程为2y = 4x.,2,21(2)证明：当直线 AB的斜率不存在时，设 A：, t , B4, t .因为直线 OA OB的斜率之积为一2,所t一 t1 一） 一 一一.以一 =2,化简得t =32.所

13、以A（8, t）, R8, t）,此时直线 AB的万程为x=8. 44.2y = 4x2当直线AB的斜率存在时，设其万程为y = kx+b, A（xi, yi）, Rx2, y2）,联立化间得kyy= kx+ b,4y + 4b= 0.4b_ . . 1_. yiy21一根据根与系数的关系得 yiy2=，因为直线OA OB的斜率之积为一片，所以L y-=-,即xix2+2yiy2=0, k2 xix2222即宁,2yiy2= 0,解得 yiy2=0（舍去）或 yiy2=- 32.4b所以 yiy2 = = -32,即 b=8k,所以 y= kx 8k, k即y=k（x 8）.综上所述，直线 A

14、B过定点（8,0）.?题型三 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变 量（如点的坐标、角、斜率等 ），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解.一般有五种思考方法：（I）利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；（4）利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；（5）利用函数的值域，确定参数的取值范围. 22【例4】 已知m I,直线l： x

15、- my-= 0,椭圆C：3+ y2= i, Fi, F2分别为椭圆C的左、右焦点.（i）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A B两点， AFF2, ABFE的重心分别为 G H,若原点O在以线段6曲直径的2【解析】（I）因为直线l ： x- my-，=0 经过 F2（ m2 i, 0）,2所以 n2- I = 2，得m2 = 2.又因为nl I,所以m= 2,故直线l的方程为x-2y-i = 0.(2)设 A(xi, yi), B(x2, y2),一，mx= my+ 5, 由2m+y2=1，22m消去x,得2y +m什 -1 = 0,2则由A=m8m2m41

16、= n2+80 知 n2v8,且有 yi+y2= 2, yi - ym 12=3w.由 Fi（ c, 0） , F2（c, 0）,可8 2,一xi yi . X2 y2 一， 知G, 3，H, g .因为原点O在以线段GW直径的圆内，所以OH- O 0,即 xiX2+ yiy20.所以 xiX22,m+ yiy2= my+ 2m2m2 imy2+ +yiy2=（m2+i） - 0,解得 m24（满足 m28）.又因为 m i,所以实数 28 2的取值范围是（i,2）【素养解读】本题的解答通过方程的知识得到一个不等式，进而求得所求范围，考查了数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养.0【突破训练

17、4】（20i8 浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点 A, B满足PA PB的中点均在 C上.设AB中点为M证明：PM霍直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+y=i（xv0）上的动点，求 PAB面积的取值范围.4【答案】见解析i 2i 2【解析】（i）设 P（x。，y。），Aki, yi , B 4y2, y2 .i 21 y + x一、.一 、.、一1y+y024-22 一一“ _一因为PA PB的中点在抛物线上， 所以yi, y2为方程 2一 =4 一2一即y 2y0y+8x0y0= 0的两个不同的实数根.所以 yi+y2=2y0.因此，PML

18、y轴.y1 +y2= 2y0,1(2)由可知y2=8*0_丫2,所以1PM =8(黄+内x =PAB的面积 SA PA-RPM |yi-y2| =3 223 一、，24-(y4x)2.因为 xoT2yo2. 2.= 1( 1wx0 0)交于M N两点.(1)当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2) y轴上是否存在点 P,使彳导当k变动时，总有/ OPM： /OPN说明理由. 【答案】见解析2x x【解析】(1)依题息求得x与c的父点不妨设为M2/a,a) ,N( 2.ja,a).又y =故y=在x=2ja2处的导数值为-y/a,所以C在点M2,Ja,a)处的切线方程为y-a= /a(

19、x-2|ra),即xy a= 0. y=；在x = 2%匕处的导数值为一a,所以C在点N2、Ja, a)处的切线方程为 ya= ya(x+2,Ja),即qax+y + a= 0.故所求切线方程为 ax- y-a= 0 Jax+ y+ a= 0.(2)存在符合题意的点.证明如下：设 P(0, b)为符合题意的点，Mx1, y0, N(x2, y。，直线PM PN的斜率 分别为 k1, k2.将 y=kx + a 代入 C 的方程，得 x2 4kx 4a = 0.故 x1 + x2 = 4k, x1x2= - 4a.从而可得 k + k2y1- b y2b 2kx1x2+( ab)(x 1 + x2) k( a+ b)“ -f-=-+ =-=-.当b= a时，有 k + k2=0,则直线 PM的倾斜角与直x1x2x1x2a线PN的倾斜角互补，故/ OPM： / OPN所以点P(0, a)符合题意.【素养解读】本例问题(1)中将解析几何的计算与导数应用结合起来求切线方程，考查了数学运算和数学抽象的核心素养；问题(2)中将角的关系转化为直线的斜率进行处理，考查了数学建模和直观想象的核心素养.WI一【突破训练5】 (2015 全国卷n )已知椭圆C： 9x?+y2= m2( m 0),直线l不过原点 O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A, B,线