第一章第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

1、第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件课本温故追根来源，教材回顾夯实基础知识梳理.1 .命题其中判断为真的语句叫用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫做命题.做真命题，判断为假典语句叫做假命题.2 .四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系它们有相同的真假性;两个命题互为逆否命题,两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.3 .充分条件、必要条件与充要条件若p? q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件;(2)若p? q且q7 p,则p是q的充分不必要条件；若p7 q且q? p,则p是q的必要不充分条件；若p? q,则p是q的充要条件.i要点整合

2、1 .辨明两个易误点(i)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定 命题的结论.(2)注意区别 A是B的充分不必要条件(A? B且B7 A),与A的充分不必要条件是 B(B ?人且A7 B)两者的不同.2 .充要条件常用的三种判断方法3 1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.4 2)等价法：利用A? B与B?A, B? A与A?B, A? B与B?A的等价关系， 对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.5 3)利用集合间的包含关系判断：若A? B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A= B,则A是B的充要条件.丁双基自测1.教材习题改编“（x

3、1）（x+2）=0”是“x=1”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B2 .教材习题改编X>4”是“x22x3>0”的（）A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件B 解析因为x2-2x-3>0,所以该不等式的解集为x|x< 1或x>3,所以x>4? x2 -2x-3>0.但x22x 3>07 x>4,所以x>4”是“x22x3>0”的充分而不必要条件.3 . （2017杭州七校高三联考）在4ABC中，“A> j'是"sin

4、 A*”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B 解析取A= 则sin A=乎，由 sin A>U? 7<A<2r. 233所以“A>3”是“sin A系”的必要不充分条件.4 . （2015高考山东卷）设mC R,命题“若 m>0,则方程x2 + x-m= 0有实根”的逆否 命题是（）A ,若方程x2+xm = 0有实根，则 m>08 .若方程x2+x-m = 0有实根，则 m< 0C.若方程x2+x-m = 0没有实本H,则 m>0D,若方程x2+xm = 0没有实根，则 m< 0D 解析根据逆

5、否命题的定义，命题“若m>0,则方程x2+x-m = 0有实根”的逆 否命题是“若方程x2+xm = 0没有实根，则mW0” .故选D.5.教材习题改编命题：“若一个三角形的两边不相等，则这两条边所对的角也不相等” 的否命题是.答案“若一个三角形的两边相等，则这两条边所对的角也相等”典例剖析.突破考点 蜜用电姗此而考点1 四种命题的相互关系及真假判断学生用书P5典例引领例1| (1)(2017银川模拟)命题“若x2+y2=0, x, yC R,则x= y= 0"的逆否命题是()A.若 xwyw0, x, yC R,则 x2 + y2 = 0B.若 x= yw0, x, yC R

6、,则 x2+y2w0C.若 xw 0 且 yw 0, x, yC R,则 x2+y2w0D.若 xw0或 yw 0, x, yC R,则 x2+y2w0(2)命题p： “矩形的对角线相等”的逆命题为q,则p与q的真假性是()A.p真q假B.p真q真C. p隹i q真D. p隹i q隹i【解析】(1)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可.由x= y= 0知x= 0且y=0,其否定是xW0或yW0.(2)q：对角线相等的四边形是矩形，根据矩形的性质可知，p真，q假.【答案】(1)D (2)A判断四种命题间关系、真假的方法(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论

7、，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假.通关练习1 .命题“若a>b,则a1 > b1"的否命题是()A .若 a>b)则 a 1wb 18 .若 a>b)则 a 1Vb 1C.若 awb, 则 a 1wb 19 .若 avb> 贝f a 1Vb 1C 解析根据否命题的定义可知，命题“若a> b,则a 1>b1”的否命题应为 “若 a< b,则 a- 1<b-1",故选 C.2.命题“若x2+3x4=0,则x=4”

8、的逆否命题及其真假性为（）A."若x= 4,则x2+3x 4=0”为真命题B. “若xw4,则x2+3x 4W0”为真命题C. “若xw4,则x2+3x 4W0”为假命题D."若x= 4,则x2+3x4=0"为假命题C 解析根据逆否命题的定义可以排除A, D,由x2+3x 4=0,得x=4或1,故选C.3.下列命题中为真命题的是 （）A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x> |y|"的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x2=0”的否命题D.命题“若-> 1,则x>1”的逆否命题 xB 解析对于

9、A,命题“若x> 1,则x2>1”的否命题为“若xwi,则x2wi"，易 知当x=2时，x2=4>1,故为假命题；对于B,命题“若x>y,则x>|y|"的逆命题为“若 x>|y|,则x>y"，分析可知为真命题；对于 C,命题“若x=1,则x2+x 2=0”的否命题 为“若xw1,则x2+x 2W0"，易知当x=2时，x2+x2= 0,故为假命题；对于 D, 命题“若1>1,则x> 1”的逆否命题为“若xw 1,则1W1”，易知为假命题，故选B.xx考点2 充分条件、必要条件的判断（高频考点）学生用书P

10、6充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面.高考对充要条件的考查主要有以下两个命题角度：（1）判断指定条件与结论之间的关系；（2）与命题的真假性相交汇命题.典例引领例2）（1）（2016高考浙江卷）已知函数f（x）=x2+bx,则b<0”是“f（f（x）的最小值与f（x） 的最小值相等”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件(2)给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan+1为等比数列”的充分不必要条件；"m=3"是"直线(m+3)x+ my 2=0与直线m

11、x 6y+5=0互相垂直”的充要条件;设a, b, c分别是 ABC三个内角A, B, C所对的边，若a=1, b = 0 则“ A =30 °”是“ B = 60 °”的必要不充分条件.其中真命题的序号是.当b<0时，f(x)在b, +8/单调递增，在8, _21上单调递减，所以 f(x)min = f-b y 4 即 f(”+ 00又一 2e + 00 所以当 f(x)= 2时,.2. 2f(f(x)min=f -2 i=“ 故 f(x)与 f(f(x)有相等的最小值；另一方面，取 b=0, f(x) = x2与f(f(x) = x4有相等的最小值0 ,故选A .

12、(2)对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan+1是等比数列，但当数列anan+1为等比数列时,数列an未必是等比数列,如数列1, 3, 2, 6, 4, 12, 8显然不是等比 数列，而相应的数列3, 6, 12, 24, 48, 96是等比数列，因此正确；对于 ，当m= 3 时，相应的两条直线互相垂直 ，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m=3,也可能 m= 0.b sin B1因此不正确；对于 ，由题意得一7 = V3,右B= 60°,则sin A=",汪息到b>a,故a sin A2A=30°,反之,当A=30°时，有sin B=,由

13、于b>a,所以B= 60°或B= 120°,因此正 确.综上所述，真命题的序号是 .【答案】(1)A (2)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合).(2)充要条件与命题真假性的交汇问题.依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即 可.题点通关口角度一判断指定条件与结论之间的关系1. (2017杭州市富阳二中高三开学检测 )若a, b为实数，则“ a<3b”是“=>2”的()|a| 1b|A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件D 解析根据题意，若“3a

14、<3b"，则有a<b,而“工>工”不一定成立，如a= 3, |a| |b|b=1；若 “LE”，则有 |a|<|b|, "3a<3b” 不一定成立，如 a=1, b= 3,故 3a<3b” 是 “J；!” |a| |b|a| |b|的既不充分也不必要条件.角度二与命题的真假性相交汇命题2. (2017黄冈中学月考)下列有关命题的说法正确的是()A . “ x= 1”是“ x2 5x 6= 0”的必要不充分条件8. p： AAB = A； q： A B,则p是q的充分不必要条件C.已知数列an,若p：对于任意的 nC N，点Pn(n, an

15、)都在直线y=2x+1上；q ：an为等差数列，则p是q的充要条件D. "x<0”是“ ln(1+x)<0"的必要不充分条件D 解析选项A :当x= 1时，x2- 5x- 6=0,所以x=- 1是x2- 5x-6=0的充分条件，故A错.选项 B:因为 AA B= A7 A B（如 A= B）,而 A B? ACB = A,从而 p7 q, q? p,所以p是q的必要不充分条件，故B错.选项C:因为Pn(n, an)在直线y=2x+1上.所以 an=2n+ 1(nC N*),则 an+1 an = 2(n+1)+1 (2n+1) = 2,又由n的任意性可知数列an

16、是以公差为2的等差数列，即p? q.但反之则不成立，如：令an=n,则an为等差数列，但点(n, n)不在直线y=2x+1上, 从而q? p.从而可知p是q的充分而不必要条件，故C错.选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断.因为ln(x+1)<0? 0<x+1<1? 1<x<0,所以文<0”是“ln(x+ 1)<0"的必要不充分条件.故 D正确.考点 3 充分性和必要性的证明学生用书P7典例引领例3(2015高考全国卷n节选)设a, b, c, d均为正数，且a+b= c+ d,证明：币十b> c+ <是忸一b|<|c d

17、|的充要条件.【证明】充分性：若«+也>加+也，则(狙+Vb)2>(VC+加)2,即 a + b+ 2j/ab>c+ d + 2爪d.因为 a+b= c+ d,所以 ab>cd.于是(a b)2= (a+ b)2 4ab<(c+ d)2 4cd= (c d)2因此1|a b|<|c d|.必要性：若|ab|<|cd|,则(ab)2<(cd)2,即(a+ b)2 4ab<(c+d)2 4cd.因为 a+b= c+ d,所以 ab>cd.所以(也 + /b)2>(Vc+ Vd)2，得，a+ b> c+ d.综上，qa

18、+4b> &+yd是|ab|<|c d|的充要条件.(i)有关充要条件的证明题，破题关键是：一般要对充分性和必要性分别进行证明，但在一些问题中也可以进行统一的证明，这要根据问题的实际情况灵活处理.(2)要注意“A成立的充要条件是B”，虽然充要条件是相互的，但这里已经指明了B是条件，按照充要条件的概念，A? B是问题的必要性，B? A是问题的充分性.跚踪调炼已知数列an的前n项和Sn=pn+q(pw 0且pw 1),求证：数列an为等 比数列的充要条件为 q=- 1.证明充分性：当q = -1时，ai=p-1,当 n>2 时，an=Sn Sn 1= p (p 1),当

19、n=1 时也成立.an + 1pn (p 1)于是丁 = pn 1 (p1) =P'即数列an为等比数列.必要性：当n=1时，ai=Si = p+q.当 n>2 时，an=Sn Sn i= p (p- 1).因为pw 0且pw 1,an +1p (p1)所以 W = pn(p1)因为an为等比数列，an + 1所以了=p.所以 a2=pai, S2= ai+a2= ai(p+1)= (p+q) (p+1)= p2+pq+p+q.又因为S2= p2+ q,所以 p2+pq+p+q = p2+q,所以 p(q + 1)= 0.又因为pw0,所以q = 1.即数列an为等比数列的充要条

20、件为q=- 1.考点4 充分条件、必要条件的应用学生用书P7典例引领已知 p = x|x2-8x- 20<0,非空集合 S= x|1-m<x< 1+ m.若 xC P 是 xC S的必要条件,求m的取值范围.由 x28x20W0,得2WxW 10,所以 P = x|-2<x< 10,由xCP是xCS的必要条件，知S? P."1 mW 1 + m,则 5 1 m> 2,所以 0w mW 3.所以当0WmW3时，x叩是xCS的必要条件，即所求m的取值范围是0, 3.L互罚探究若本例条件不变，问是否存在实数m,使xCP是xCS的充要条件.解若xC P是x

21、C S的充要条件，则P=S,1 m= 2,所以1 + m= 10,m = 3，所以lm= 9,即不存在实数 m,使xC P是xCS的充要条件.根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出 现漏解或增解的现象.(20跟踪调炼(2017常德一中月考)若“x2x 6>0”是x>a”的必要不充分条件，则a 的最小值为.解

22、析由 x2 x 6>0,解得 x< 2 或 x>3.因为“x2 x6>0”是x>a”的必要不充分条件，所以x|x>a是x|x< 2或x>3的真子集，即a>3,故a的最小值为3.答案3拈底升华融类旁通名师讲坛提升素养育脸礴一等价转化思想在充要条件中的应用典例已知p：x 11一万< 2, q： 1 m< x< 1 + m(m>0),且p是q的必要而不充分条件，则实数 m的取值范围为 【解析】 法一：由1_= <2,得一2WxW10,13所以p对应的集合为x|x>10或x< 2,设 A= x|x>1

23、0 或 x< 2.1 mW x< 1 + m(m>0),所以q对应的集合为x|x>m+1或x<1 m, m>0,设 B= x|x>m+ 1 或 x<1 m, m>0.因为p是q的必要而不充分条件，所以B A, m m>0,所以1 mw -2,且不能同时取得等号.1 + m> 10,解得m>9,所以实数m的取值范围为9,十).法二：因为p是q的必要而不充分条件，所以q是p的必要而不充分条件.即p是q的充分而不必要条件，因为q对应的集合为x|1 mwxw 1 + m, m>0,设 M = x|1 mWxw 1 + m,

24、m>0,又由 1_匕 <2,得一2WxW10, 3所以p对应的集合为x|-2<x< 10,设 N=x|-2<x< 10.由p是q的充分而不必要条件知N M ,/m>0,所以1 1-m< 2,且不能同时取等号，解得m>9. - 1 + m> 10,所以实数m的取值范围为9, +8).【答案】9, +8 )£感悟提高(1)本题法二将p是q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分 而不必要条件”；将p、q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用.(2)转化与化归思想就是

25、在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.处跟踪调炼1.给定两个命题p、q.若p是q的必要而不充分条件，则p是4的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 解析由q?p且p? q可得p?q且q7 p,所以p是q的充分而不必要 条件.2.如果x, y是实数，那么"xwy"是"cos xw cos y”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D

26、.既不充分又不必要条件C 解析法一：设集合 A=（x, y）|xwy , B=（x, y）|cos x在os y,则 A 的补集 C= （x, y）|x= y , B 的补集 D=（x, y）|cos x= cos y,显然 C D,所以 B A,于是"xwy” 是“cos x兀os y”的必要不充分条件.法二：（等价转化法）x= y? cos x= cos y, 而 cos x= cos y7 x=y.分层演练直击高考学生用书P291（独立成册）基础达标1 .下列命题是真命题的是B.若 x2= 1,则 x= 1D.若 xvy,则 x2< y2A 解析由1 =：得*=丫，A正确

27、；由*2=1得*= +，B错误;由x = y,也，W不一定有意义，C错误；由xvy不一定能得到x2<y2,如x= - 2, y =-1, D错误，故选A.2 .命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是（）A.若xW0,则xw 1B.若 xW0,则x>1C.若x> 0,则x< 1D.若 x<0,则x< 1A 解析依题意，命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是“若xW0,则xwi”，故选A .3 . (2015高考浙江卷)设a, b是实数，则“ a+b>0”是ab>0"W()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

28、分必要条件D .既不充分也不必要条件D 解析特值法：当 a=10, b=1 时，a+b>0, ab<0,故 a+b>07 ab>0;当 a= 2, b= 1 时，ab>0,但 a+ bv 0,所以 ab>07 a+ b>0.故“a + b> 0"是"ab >0”的既不充分也不必要条件.4 . (2017金华市东阳二中高三调研 )若"0<<1”是“(x a)x (a+2)W0”的充分不必要 条件，则实数a的取值范围是()A. -1, 0B. (-1, 0)C. (8, 0 U 1 , +8) D. (

29、 8, 1U0, +8)A 解析由(x a)x (a+2)W0 得 aWxWa+2,一八“， :a+2>1要使0Vx<1”是“(x a)x(a+2)W0”的充分不必要条件，则，所以一、aw 01 w a w 0.5 . (2017杭州中学高三月考)已知a,bCR,条件p：a>b条件q：“2a>2b1”，则p是q的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件A 解析由条件p： a>b”，再根据函数y=2x是增函数，可得2a>2b,所以2a>2b 1,故条件q： “2a>2b1”成立，故充分性成立.但由条件q：

30、 “2a>2b1”成立，不能推出条件p： a>b”成立，例如由2°>2° 1成立，不能推出0>0,故必要性不成立.故 p是q的充分不必要条件，故选A.6 .已知命题p： x2+2x3>0;命题q： x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是()A. 1 , +OO )B. ( 8,1C. - 1,+°°)D . (一 - 3A 解析由x2+2x3>0,得x< 3或x>1,由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故 a>1.7 .对于原命

31、题：“已知 a、b、cCR,若ac2>bc2,则a>b"，以及它的逆命题、否命 题、逆否命题，真命题的个数为 .解析原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a>b,则ac2>bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为 2.答案28 .函数f(x)=x2+mx+ 1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 .解析已知函数f(x) = x22x+1的图象关于直线x= 1对称，则m=2;反之也成立.所 以函数f(x)=x2 + mx+1的图象关于直线 x= 1对称的充要条件是 m= 2.答案m= 29 .有下列四个命题：“若xy=1,则x, y互为倒数”的逆命

32、题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若m< 1,则x22x+m = 0有实数解”的逆否命题；“若AAB=B,则A? B”的逆否命题.其中真命题为(填写所有真命题的序号).解析“若xy=1,则x, y互为倒数”的逆命题是“若x, y互为倒数，则xy=1"， 显然是真命题，故正确；“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形 不全等”，显然是真命题，故正确；若x22x+m= 0有实数解，则A= 4-4m>0,解 得mW1,所以“若mW1,则x22x+ m=0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题， 故正确；若AH B=B,则B? A,故原命题错误，所以其逆否命

33、题错误，故错误.答案10 .若命题“ ax22ax3>0不成立”是真命题，则实数 a的取值范围是 .解析由题意知ax22ax 3W0恒成立，当a=0时，一3W0成立；当aw。时，得 a<0,'2解得3Wa<0,故3w a< 0.= 4a + 12a< 0,答案 3, 0一，一 22 33 -1 一 ，, 2、11,已知集合 A= ly y=x -2x+ 1, 4< x<2 : B = x|x+ m2> 1. p： x A, q： xC B, 并且p是q的充分条件，求实数 m的取值范围.解化简集合A,由y=x2 2x+1.配方得y= g3/

34、+1.一飞 Q 、，7因为 x4 ? 2 5所以 ymin = 16 5 ymax= 2.所以 丫6 1Q, 2所以 A=，y WyW 2 中化简集合B,由x+ m2>1,得xR1 m2,2,B= x|x>1 m .因为命题p是命题q的充分条件，所以A? B.所以1 m'l,解得m>3或mW3.1644所以实数m的取值范围是00, -3 Iu4, +°°j12 .已知两个关于 x的一元二次方程 mx2-4x+ 4=0和x24mx+4m24m5 = 0,求 两方程的根都是整数的充要条件.解因为mx24x+4=0是一元二次方程，所以mw 0.又另一方程

35、为 x24mx+4m24m5 = 0,且两方程都要有实根，'A1= 16 (1m) >0,所以,一 2_ 2_.&=16m 4 (4m 4m 5) >0,解得 mC -4, 1 1因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数 ，r 4一&,m ，所以4mq所以m为4的约数.,2 I14m 4m 5 C Z.又因为mC -5, 1 !所以m= 1或1.当m= 1时，第一个方程x2+ 4x 4= 0的根为非整数；而当 m=1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根均为整数的充要条件是m= 1.能力提升13 . (2015 高考浙江卷)设 A, B 是有限集，定义

36、： d(A, B)= card(AU B) card(AA B), 其中card(A)表示有限集A中元素的个数.命题：对任意有限集A, B, “AWB”是“d(A, B)>0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A, B, C, d(A, C)<d(A, B)+d(B, C).()A .命题和命题都成立B.命题和命题都不成立C.命题成立，命题不成立D.命题不成立，命题成立A 解析命题 成立，若 Awb,则 card(AUB)>card(AA B),所以 d(A,B)= card(AU B)-card(AA B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“AwB”是“d(A, B)&

37、gt;0”的充分必要条件；命题成立，由Venn图，知 card(AU B)= card(A) + card(B) card(A A B),所以 d(A, B)=card(A)+card(B)2card(AAB),d(A, C) = card(A) + card(C) 2card(A n C),d(B, C)=card(B)+card(C) 2card(BA C),所以 d(A, B)+d(B, C)-d(A, C)=card(A) + card(B) 2card(A A B)+ card(B) + card(C) 2card(B AC) card(A) + card(C)-2card(AAC)=2card(B) 2card(A AB)- 2card(B n C) + 2card(A n C)=2card(B) + 2card(AAC) 2card(An B) + card(BA C)=2card(B) + 2card(A AC) 2card(AU C) n B) + card(A