2020全国高中数学联赛广东省预赛试题及解答精品

1、2020全国高中数学联赛广东省预赛试题及解答一、填空题（共8小题，每题8分，共64分）1 .若 2012* 十 2O10x 20 ll.x2013x 2014 =肝伯 ），则# =W：Jt +以工 = 20122+ 2010x2011x2013x2014= 2012* 十（20121）就（2012 十 1）薜2012 2）汽（2012 十 2）=20煜+（ 2Q12 1）x（2Q1M - 4）=（20123-2）所融= 2012= 2 = 4048142.2 .函数/二却口工斗二+sm 工-士 -+效最小值为16/ I 6）、（颦：=矛 in x- - -cos 又+3I6I6=2sjiLZC

2、0S COS X + 36=-75 sin j- cosx-h3（ 汽、=2siii h-b3I当工=-=+ 2幼T,止E 2时等号成立,即函数r(工)二sin卜+川口工+效最小值淅3设/(工)二黑,是常数且加f 1 2卷-二溪常数贝/二I工J解，口二程m 2工+口上十汇的F+(+1)工+1二班常数,若对于Vx w阳有日无，+仅口 +1）工+82aP +（0+4）x+ 2a2则有白言,即32)SB)=因为她2,所Ub= %,于有卜占；/十仅？十1工十A2axJ + a +41 x+ 2a 2a 4L即上=L4若方程3方-=语两个不相等的正实数根，则却取值范围为 解:令3=1,则尸一 3一尸=0

3、,激“-父-小7(l) = -2-p0.于是Hl =Q 解得学一5 .如图是一个5 乂潮数表,%为电a或/24叼5。31的2吆出4。35以41“42口43444由5为1的2演町5其中旬,%, %, %, % (1父Y 5)成等差数列,%, %，-% (1 J M 5)成等比数列, 每一列的公比都相等,且为二4,41二-2 a43= 10,则如x 与=.二6,于是= 41 +d = 4,。 =。心十d 二 16,%5二。44 十d 二 22, 2从而g2二组=4,于是g二士2,a24可得町=等=干:，455 = g = 22, q 2所%X% = -11.6 .若点尸在曲线y = 上点0在曲线y

4、 = ln(2力上，则阕的最小值为. 乙解：注意到y =白引=In(2”的图像关于直券=I称，乙只需考虑点。到直绻=他距离,其中八|ln (2j)- x-ln(2x)V2为(x)二；t-ln(24贝夕二1二，X若XW (0,1)凤夕(穴)v 0;若X e (L+OO),则f 0, 于是媪2)/ 0)= / =1 -1口 2, 因此 tnin |中。| = 2 mm d -戊(1-ln 2).7在一个4 x糊16个小方格中填入2个1和2个瓦每个小方格至多填一个字母, 若相同的字母既不在同一行也不在同一列，共有 种排列方式.解:先填入第一个凡有16种填法，再填入第二个。，有9种排法，考虑到两个最相

5、同的，共有等=72种排法,现在填入第一个瓦1）若第一个b填入后两个4分别与第一个胴行或同列，则第二个砥9种填法，此时有笫=9种填法，22）若笫一个对直入后,有目仅有一个与第一个合同行或同列, 则第二个殖8种填法，此时有浮=32种填法，3）若第一个力填入后,两个口均与第一M不同行且不同列，则第二个砥7种填法，此时有学=14种填法，乙这里共有55种填法，根据乘法原理，共有72 k55=3960种填法&在一个直角梯形电上底长小于下底长，若以它的下底为轴旋转所得旋转体的体积物0% 以上底湖由旋转所得体积为11况以直角獴为轴旋转所得体积为156比则直角梯形周长为 解 设上底长为生下底长为友高彻，则有+病

6、0 -a） = 8。兀泌%+:/20-0）=2兀9 m+L2 = i56w解得 = 3/=9,%=4.从而非直角谡的长为2/，于是直角梯形周长为16+ 2#.二、解答题（共3小题，共56分）1 .（本小题盼）已知椭圆三+3 =1，G，5。1jeUb分别为椭圆的左右顶点 座椭圆上异于应喊一点满足I必卜|。闻证明:直线。曲斜率满足标卜力. 证明:设点F坐标为（0 8E absinthcos3 6+y sinJ H = Ja* 0*一k）帛由* 3 u加又pH=|工卜/连|。尸卜|3口从而NQ4尸 2。白4 = 4口尸,可知/以匕工， 323tan LOPA 3所以以= |tanS -于是/。/=界

7、”加 -XORA =-2 .（本小题2喻）令内b人是非负实数十5十。=3,-庆+1） （J - m + /，的最大值于是SM由*.（厘，一。方+书，设口 +b= p 3卢b二 q 工,淳十3十 丫=|pMp3 4/于是3三口口/（03 -白匕+白。=/仿口 -初Eg（9-4,电,）=/（9一3。贝 1f（1） = 9屋2一中），（91若毛。，2）网七）心若0三2,-如皿I 4从而畸/7=12.于是谢最大值为12,福=2田=卜=。及其轮换时取徐3.（本题满分20分）求所有函数/ 2T?产,使得时任意X,”?产，均有（/丫 +嫩/V） +/整除 解:令工=1,可检+11 / （） +1（这里4 18表示强灌除）,即川）+i|i）i）T，显见（/。）+1 J。） = 1，从而，（1）+117