点到直线的距离公式三

1、C¥FL!北京市朝阳外国语学校教案数学教研组课题3.3.3点到直线的距离和3.3.4两平行线间的距离教案编号课型新课授课班级课时授课时间2011-4授课人教材分析点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛.点到直线 的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长.我们知道，求点到点的距离，有 工具-两点间的距离公式可用， 同样有必要创造出一套 工具”来方便地解决点到直线的距离问题， 也就是说：已知点P (x1, y1)和直线l:Ax + By + C=0, (A, B不全为0),目标是设法用已知的量 xi, yi, A, B, C把点P至U l的距离表示 出来，当作公式用.教材

2、上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作 直线m过点P与l垂直，设垂足为 Po (xo, yo) , Po满足直线m的方程，也满足 直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线 m和直线l的方程，通过恒等变形利用 两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式.这种方法思路清晰，学生易于接 受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样 变形.这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问 题的能力.公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力.这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能 熟练地应用公式求点到直线

3、的距离，难点是点到直线的距离公式的推导.学情分析这节课是在学习了 两点间的距离公式”、两条直线的位置关系”的基础上引入的， 通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直 线的距离问题转化为两点间的距离问题.为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标.若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而/、求，整体代换来解决 问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直 线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键.本课通过观察、 分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间

4、距离公式的步骤；通过例题和 练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问 题培养学生的数学思维能力.学法指导卜识技 知与能1.通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力.过程 与方 法2.理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结 合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的 能力.情感 态度 与价 值观教学重点教学难点教学资源教学方法知识结构板书计划教学过程教学环节 所需时间教学内容设计意图 教学反馈教师活动学生活动一、问题情境1 .某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部

5、门内部设计好的坐标图(以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，长度单位为km),则这个村庄的坐标是(15, 20),它附近只丘-条线路通过，其方程为 3x 4y10=0.问：要完成任务，至少需要多长的电线？这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距 离，如何求村庄到线路的距离呢？2 .在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求 法如下：(1)设过点P (15, 20)与l: 3x4y10=0垂直的直线为 m,易 j3，一 4 3- 10 = 0.求m的方程为4x+3y120 = 0.由14工十3了一 120=。'102工=-T解得j

6、 即m与l的交点由两点间的距离公式，得d= | PPJ =J115平产产=9(km),故要完成任务，至少需要 9km长的电线.第10页共8页10（2）设直线l: 3x 4y10=0与x轴的交点为 Q,则Q（T,0）.在512 ±直线l上任取一点 M （0, 丁），易让向量 MQ = （ 3 , 下） 与向量n= （3, 4）垂直.设向量Q与向量n的夹角为Q点P到直线l的距离为d,由向量 的数量积的定义易知 n | Qp n cos（3）设过点P （15, 20）与l: 3x 4y10=0垂直的直线为m,易 求 m 的方程为 4 （x15） +3 （y20） =0.设垂足为 Po（x。

7、，y。），则 4（x。 15）+3（y。 20）=0,又因为点 Po在 l 上，所以 3x。一4y。 10=0,即 3x。4y0=10,而 3X154X20 10=3X154X20 3x0+4y0= 3 （x。15） +4 （y。-20）,即 3 （x。一 15） - 4 （y。一20） = 45.把等式和等式两边相加，得25 （x。15） 2+ （y。20） 2 = 452,“口-13）工+（第-20）工=巩km）*3.教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线 与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自 然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线

8、方 程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既 巧妙，又简单明了.二、建立模型设坐标平面上（如图 24-1）,有点P （x1，y1）和直线l: Ax + By + C=0 （A, B 不全为 0）.ra Z4 -1我们来寻求点到直线i距离的算法.作直线m通过点P (x1, y1),并且与直线l垂直，设垂足为P00 (%, y(0 .容易求得直线 m的方程为B (xxi) A (yy1)=0.由此得 B(X0x1)一A (y0y1)= 0.由点Po在直线l上，可知 Axo+Byo+C=0,即 C= Ax 0 By0.所以 Ax1+By1+C= Ax1+By1 Ax0By0,即 A

9、 (x1 x0) + B (y y0) = Ax i + By i + C.把等式和两边平方后相加，整理可得(A2+B2) (x1 一 x°) 2 + (y1 一 y0) 2 = ( Axi + Byi + C) 2,Aj y -即(xi x0)2+ y y 1 y0) 2="容易看出，等式左边即为点P (xi, y"到直线l距离的平方.由此我们可以得到点 P (xi, yi)到直线l的距离d的计算公式：归纳求点P (xi? yj到直线l: Ax + By + C=0的距离的计算步骤如 下：(i)给出点的坐标xi和yi赋值.(2)给A, B, C赋值.(3)计算&

10、quot;'"注意：(1)在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式.(2)当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般 不用公式.三、解释应用例题I .求点P ( 1, 2)到下列直线的距离：II : 2x+y = 5,l2： 3x = 2.注意：规范解题格式.2 .求两平行直线 11：Ax + By + C1 = 0, 12： Ax+By+C2=。，(C1WS) 之间的距离.分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离.解：在11上任取一点P (x1, y1),则Ax1+By = C1,点P至山2的3 .建立适当的直角坐标系

11、，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.解：以等腰三角形底边所在的直线为 轴，底边上的高所在的直线为y轴， 直角坐标系(如图 24-2).不妨设底边I AB I = 2a,高| OC一+斗=1则直线AC : a b即 bx ay+ ab= 0;J v直线 BC: 丁 飞-一1即 bx+ay ab=0,，点 B (a, 0).在线段AB上任取一点 D (m, 0),贝U a< mfC a二点1,到A的距离小rnb abnib ab *点D 5IJ BC的距离心=mb -ab点8到小的距离d =/a 4- b: ab - mb 、.ktabJM +*/a2 -b22ab

12、.d1+d2=、H +，=出,即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.四、拓展延伸1 .点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际 问题中的应用吗？2 .点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探 索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法.(1)如图，已知点 Po (xo, y°),直 线l: Ax + By + C = 0,求点Po到直线 l的距离.不妨设 Awo, Bwo,这时l 和x轴、y轴都相交.过点Po作直线l 的垂线，交l于Q.令| PoQ | = d，过 Po作x轴的平行线交l于R (xi, yo), 作y轴的平行线交l于S

13、 (%, y2).由 Ax1 + Byo+C=。，Axo+By2+C=。-C _ Aro - C二 |P°R| = |I Axo + HyrJ + C.1 T 1 #A.ir, * iiy.7TI RS = y /J.R -F P.5I2 ="* ABA.r.j + 1±以 +RSPR 几51y/A£ +易证A = o或B = o,公式也成立.(2)点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂.求法如下：如图24-4,证明向量n= (A, B)与直线l垂直.c不妨设AWO,直线l与x轴的交点是 Q

14、(八，0).如果Pi (xi, y1)是直线l上不同于Q的点，则Axi+Byi + C=0.C:' A (x+ ) + B y yi0) = 0,£即(A, B) (x1+ 八,y1-0) = 0,_ £，向量n= (A, B),与向量 Q芭=(x十八,y1 0)垂直，即 向量n与直线l垂直.求点P0到直线l的距离d.由数量积的定义，如果向量与向量n的夹角为0,那么qAj * n Qfiu I * n cosQp J I cos Q =q/V川cI彳沙一口) (A十中1J不易证当A = 0 或 B=0 时，公式也成立.A-Tij + Byj +| JA + fJ-课堂小结1 .求下列点到直线的距离.(1) 0 (0, 0) , 11: 3x+4y5= 0.(2) A (1, 0) , 12：疝 x+y-万=0.(3) B (1, 2) , 13: 3x + y=0.(4) C ( 2, 3) , 14： y7 = 0.2 .求两条平行直线 2x+3y8=0和2x+3y+18=0之间的距离.3 . (1)求过