2020学年广东省佛山市南海区高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

1、2020高二数学阶段检测2020学年广东省佛山市南海区高二下学期期末数学试题一、单选题1 .若复数z满足z i 1 2i ,则z的虚部为（）A. 1B. 2C. iD. 2i【答案】A【解析】利用复数的乘法法则将复数z表示为一般形式，可得出复数z的虚部. 【详解】Qz i 1 2i i 2i22 i ,因此，复数z的虚部为1,故选：A.【点睛】本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的 四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题 .2 .用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）有有理数根， 那么a、b、c中至少有一个偶数时

2、，下列假设正确的是（）A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数D.假设a、b、c至多有两个偶数【答案】B【解析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得 到答案。【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：”若整系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0有有理根，那么a,b,c中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设 a,b,c都不是偶 数”，故选Bo【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准 确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题。3.

3、 一工厂生产某种产品的生产量 x （单位：吨）与利润y （单位：万元）的 部分数据如表所示：X23456y2.23.85.56.57.0从所得的散点图分析可知，y与x线性相关，且回归方程为91.23X a,则A.2.15B.1.15C. 0.08D. 2.15【答案】C【解析】根据表格中的数据计算出X和y,再将点X, y的坐标代入回归直线7方程可求出实数a的值.【详解】2.2 3.8 5.5 6.5 75,2 3 4 5 6由题息可得x 4, y由于回归直线过样本中心点1、，则有1.23 4 a 5,解得a 0.08,故选:C.【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要充分利用“回归

4、直线过样本中心点X,； ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题 .4.已知72 2艮” 3艮4 4H ，若6在33,38:8,15.15. m . m（m、n均为正实数），根据以上等式，可推测m、n的值，则m n等于（）A. 40B. 41C. 42D. 43【答案】B【解析】根据前面几个等式归纳出一个关于 k的等式，再令k 6可得出m和 n的值，由此可计算出m n的值.【详解】当 k 6时，则有，6 -26 6jY, m 62 1 35, n 6,因此, ,61161m n 41,故选：B.【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等

5、题.25.甲射击时命中目标的概率为0.75,乙射击时命中目标的概率为-，则甲3乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（）B. 1C. 5D.1112【答案】D【解析】记事件A:甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独 立事件的概率乘法公式计算出事件 A的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件 A的概率.【详解】 记事件A:甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中, 则事件A:甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标,321由独立事件的概率乘法公式得 P A 14 1-,111P A 1 P A 1 一 一，故选：D.12 12【点睛】本题考查独立事件的

6、概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可 以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题2 X6.止积分 e2dx （）011A. 2eB. e 1C. 2e 2D.e 122【答案】Cx2）一一【解析】找出函数v e2的原函数，然后微积分定理可求出2e2dx的值.y e0【详解】xQ e2x2 xx1e"所以，e%x 2e2 ； 2e 2,故选：C.2o【点睛】本题考查简单复合函数定积分的计算，解题的关键就是要找到被积函数的原 函数，考查计算能力，属于中等题.7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动, 要求每人参加一天且每天至多安

7、排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不 同的安排方法共有（）A. 20 种B. 30 种C. 40 种D. 60 种【答案】A【解析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案.解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A2=12种安排方法，甲在星期二有A2=6种安排方法，甲在星期三有A2=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A.c58. x x y的展开式中，xy的系数为（）A. 10B. 20C. 30D. 60【答案】B25

8、25【解析】将二项式表小为x2 x yx2 x y ,利用二项展开式通项5 r2C5r x2 x yr,可得出r 3,再利用完全平方公式计算出 x2 x展开式中x3的系数，乘以C；可得出结果.【详解】c5c55r.Q x x y x x y ,其展开式通项为C5 x x y ,由题意可2此时所求项为 C52 x2 x y3 C； x4 2x3 x2 y2,因此，x2 x y 5的展开式中，x3y3的系数为2C3 2 10 20 ,故选：B.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助 二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题 .9. 一台机器在一天内发生故

9、障的概率为 0.1,若这台机器一周5个工作日不 发生故障，可获利4万元；发生1次故障获利为0万元；发生2次或2次以上 故障要亏损1万元，这台机器一周5个工作日内可能获利的数学期望是（）万元.（已知 0.94 0.6561, 0.95 0.5905 ）A. 3.4736B. 3C. 2.2805D. 1.231【答案】C【解析】设获利为随机变量X ,可得出X的可能取值有1、0、4,列出随 机变量X的分布列，利用数学期望公式计算出随机变量X的数学期望EX .【详解】设获利为随机变量X,则随机变量X的可能取值有4、0、1,5由题意可得 P X 41 0.10.5905 ,P X 0 c5 0.1 0

10、.94 0.32805,贝（J P X 11 0.5905 0.32805 0.08145.所以，随机变量X的分布列如下表所示：X401P0.59050.328050.08145因此，随机变量X的数学期望为EX 4 0.5905 0 0.32805 1 0.08145 2.28055,故选：C.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，解题的关键就是根据已知条件列出随机变量的分布列，考查运算求解能力，属于中等题 .10.已知函数f（x） =ax3 3x2+1,若f（x）存在唯一的零点x。，且x0>0,则a的取值范围为（）2020高二数学阶段检测A.(2 , +00)B.( 8, 2)2)C

11、.(1 , +oo)d.( 8, 1)【答案】B【解析】求导后讨论a 0、a 0、a 0时的单调性，结合函数只有一个零点，求出参量取值范围【详解】Q 函数 f x ax3 3x2 12贝 U f x 3ax 6x 3x ax 2 ,令 f x 0贝(J 3x ax 20当a 0时，f x3x2 1 0,存在两个零点，不符合题意，故 a 0, 222 ,当a 0时，一0, f x在，0 ,一，上单调递增，在。，一上aaa单调递减 2 .八,八x 是f x的极小值点，x 0是f x的极大值点，且f 010,a当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷此时函数f x必有一负零点，不符合题意222当a 0时

12、，2 0, f x在 ，4,q上单调递减，在-,0上aaa单调递增2 x1是f x的极小值点，x 0是f x的极大值点，要使函数f x仅有一正零点，结合函数图像，24代入可得：f -1二0,解得a 2a a综上，则a的取值范围为292020高二数学阶段检测故选B【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数单调区间和零点，在计算过程中需要对 参量进行分类讨论，有一定的计算量，属于中档题。11 .甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说： 你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看内的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据 以上信息，

13、则（）A.乙、丁可以知道自己的成绩B.乙可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D. 丁可以知道四人的成绩【答案】A【解析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再 结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.因此，乙、丁知道自己的成绩，故选： A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要

14、时可采 用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.12 .已知函数f x的定义域为0,且满足f x xf x 0 （ f x是 f x的导函数），则不等式x 1 f x2 1 f x 1的解集为（）A.,2B, 1,C, 1,2D. 1,2【答案】D【解析】构造函数g x xf x ,利用导数分析函数y g x在0, 上的 单调性，在不等式 x 1 f x2 1 f x 1两边同时乘以x 1化为x2 1 f x2 1 x 1 f x 1 ,即g x2 1 g x 1 ,然后利用函数y g x在0,上的单调性进行求解即可.【详解】构造函数g x xf x ,其中X0,则gx f x

15、 xf x 0,所以，函数y g x在定义域0, 上为增函数， 2在不等式x 1 f x 1 f x 1两边同时乘以x 1得x2 1 f x2 1 x 1 f x 1 ,即 g x2 1 g x 1 ,x2 1 x 1所以x2 1 0 ，解得1 x 2, x 1 0因此，不等式x 1 f x2 1 f x 1的解集为1,2 ,故选：D.【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：(1)根据导数不等式的结构构造新函数 y g x ；(2)利用导数分析函数y g x的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；(3)将不等式变形为g x1 g x2 ,利用函数y g x的单调性与奇偶性

16、求 解.二、填空题13 .在1 x 6的展开式中，含x3项的系数为.【答案】20【解析】利用二项展开式通项，令x的指数为3,求出参数的值，再代入通项可得出x3项的系数.【详解】二项式1 x 6展开式的通项为C： 16 k xk C： xk ,令k 3,因此，在1 x 6的展开式中，含x3项的系数为C3 20,故答案为: 20.【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题.14 .复数n(i为虚数单位)的共腕复数是1 2i24【解析】利用复数的除法法则将复数1 i2i表示为一般形式，由此可得出复数t的共腕复数.Q1-i-1 2i1 i 1 2i1 2i 1 2i1

17、3i 2i253.5，1 i _,1因此,复数的共腕复数为53.i5 ，故答案为:3. i5【点睛】 本题考查复数的除法运算以及共腕复数，解题的关键就是利用复数的四则运 算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题15.已知函数y = x2与函数y kx k 0的图象所围成的面积为一，则实数k3的值为.【答案】4【解析】求出两函数的交点坐标，可得知当 0 x k时，kx x2,由此得出 kc 32两函数图象所围成区域的面积为n kx x2 dx 女，可解出实数k的值.03【详解】ykxx0xk联立 2,得 c或 12,当0乂 k时，由不等式的性质得x2 kx. yxy0yk所以，函数y

18、 = x2与函数y kx k 0的图象所围成的面积为k 232kx x dx 一,03k o 1 a ,1 a 32即kx2 1x3 0 1k3 32,解得k 4,故答案为：4.2363【点睛】 本题考查利用定积分计算曲边三角形的面积，解题时要结合题意确定被积区 间与被积函数，并利用定积分公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等 题.16 .某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分） X服从正态分布N 110,102 ,从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩90110为事件A,记该同学的成绩80100为事件B,则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P BA .(结果用分数表示)附参考数据

19、：P X0.68； P 2 X 20.95；P 3 X 30.99.27 【答案】2795【解析】计算出P AB和P A ,然后利用条件概率公式可得出P AB的值.【详解】由题意可知110 ,10,事件AB为90100, Q902100,所以，P AB P 90100 P 2P 2 X 2 PX 0.95 0.68272220095P 2 X 2P A P 90110 P 22002由条件概率公式得P BAP AB27 200200 9527 一嬴，故答案为: 952795【点睛】本题考查条件概率的计算,同时也考查了正态分布3原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密

20、度曲线的对称性计 算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17 .已知函数f x x3 bx2 cx 2的图象在点1,f 1处的切线方程为4x y 1 0 .(1)求函数f x的解析式；(2)求函数f x在区间0,2上的最大值.【答案】(1) f x x3 x2 x 2 ； (2)最大值为12.f 14【解析】(1)将点1,f 1代入直线4x y 1 0,得出f1 3,再由f 13解出b、c的值，可得出函数y f x的解析式;(2)利用导数求出函数f x在区间0,2上的极值,再与端点函数值比较大小，可得出函数yx在区间0,2上的最大值.(1) Qf x32x bxcx 2, f,x) = 3x

21、2 +2bx +c ,将点点1,f代入直线4x y 1 。，得4 1 f 13,所以2b c 3 42；(2)Qf2,3x2 2x3x函数y0,3上单调递减，在11,2上单调递增,3当x 0,2时，函数y，1 x在x 处取得极小值, 3而 f 02, f 212函数y f x在区间0,2上的最大值为12.【点睛】本题考查了导数的几何意义,同时也考查了利用导数求函数的最值，意在对导数知识点以及应用的考查,属于中等题18 .约定乒乓球比赛无平局且实行5局3胜制，甲、乙二人进行乒乓球比赛, 甲每局取胜的概率为p 0 p 1 .(1)试求甲赢得比赛的概率;(2)当p 0.5时，胜者获得奖金800元，在

22、第一局比赛甲获胜后，因特殊原因要终止比赛.试问应当如何分配奖金最恰当?【答案】(1) P3 6p2 15p 10 ; (2)甲获得500元，乙获得250元.【解析】(1)甲赢得比赛包括三种情况：前3局甲全胜；前三局甲胜2局输1 局，第4局胜；前4局甲胜2局输2局，第5局胜.这三个事件互斥，然后利 用独立重复试验的概率和互斥事件的概率加法公式可得出计算所求事件的 概率；(2)设甲获得奖金为随机变量 X ,可得出随机变量X的可能取值为800、0 , 在第一局比赛甲获胜后，计算出甲获胜的概率，并列出随机变量X的分布列， 并计算出随机变量X的数学期望EX的值，即可得出甲分得奖金数为EX元,乙分得奖金8

23、00 EX元.【详解】(1)甲赢得比赛包括三种情况：前3局甲全胜；前三局甲胜2局输1局，第4 局胜；前4局甲胜2局输2局，第5局胜.记甲赢得比赛为事件 A,则PA C；p3 C；p2 1 p C2 P2 1 p 2 p P3 6p2 15p 10；(2)如果比赛正常进行，则甲赢得比赛有三种情况：第 2、3局全胜；第2、3局胜1局输1局，第1局胜；第2、3、4局胜1场输2局，第5局胜，此时甲 赢得比赛的概率为c21116则甲获得奖金X的分布列为X8000P115161611则甲获得奖金的期望为EX 800 - 550元，16最恰当的奖金分配为：甲获得550元，乙获得250元.【点睛】本题考查利用

24、独立重复试验和互斥事件的概率公式计算出事件的概率，同时 也考查了随机变量分布列及其数学期望，考查运算求解能力，属于中等题 .19.为了研究家用轿车在高速公路上的速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15 人.在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过 100km/h 的有 25人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 100km/h与性别有关，(结果保留小数点后三位)平均车速超过100km/h人数平均

25、车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取10辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这10辆车中平均有多少 辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/ h ?2附：K2 n ad bc （其中n a b c d为样本容量）abcd a c b d_2P K k0.050.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析；有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关。(2) 4辆【解析】(1)根据题中数据补充2 2列联表，计

26、算出K2的观测值，并利用临 界值表计算出犯错误的概率，可对题中结论的正误进行判断；(2)记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆为X ,由题意2得出X : B 10,2 ,利用二项分布的数学期望公式计算出 EX ,即可得出结 5果.【详解】(1) 2 2列联表如下：平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人202545数合计6040100根据列联表中数据，计算随机变量 K2的观测值 2100 40 25 15 20 k 8.249,60 40 55 45Q8.249 7.879,有99.5%的把握认为平均车速超过10

27、0km/h与性别有关；（2）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/ h的车辆为X ,根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取142辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的频率为二利用频率100 5 2 估计它的概率为-.5, 一 ，-2由已知可知X服从二项分布，即X: 10,-.52所以驾驶员为男性且超过100km/h的车辆数X的均值E X 10 - 45（辆）.在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h.【点睛】本题考查2 2列联表，以及独立性检验思想，同时也考查了二项分布数学期望的计算，解题时要弄清楚二项分布的特点，考

28、查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付50元参保费，出险时可获得2万元的赔付，已知一年中的出险率为 0.15%,现有6000人参保.（1）求保险公司获利在6.12 （单位：万元）范围内的概率（结果保留小数 点后三位）；（2）求保险公司亏本的概率.（结果保留小数点后三位）k附：Pkc6000 0.0015t 0.99856000 ti 0k9101112131415P k0.5870.7060.8030.8760.9260.9590.978【答案】(1) 0.289; (2) 0.022.【解析】(1)由题意知，总的保费为30万元，分析出保险

29、公式获利6万元和12万元的人数X别为X 12、X 9,由此得出所求概率为P 9 X 12 P X 12 PX9；(2)由题意得出保险公式亏本时 X 15,由此可得出所求概率为P X 15 1 P X 15 .【详解】每个人在一年内是否遭遇意外伤害可以看成是一次随机试验，把遭遇意外伤 害看作成功，则成功概率为0.0015.6000人参保可以看成是6000次独立重复试验，用X表示一年内这6000人中遭遇意外伤害的人数，则 X : B 6000,0.0015 .(1)由题意知，保险公司每年的包费收入为30万，若获利6万元，则有12人 出险；若获利12万元，则有9人出险.当遭遇意外伤害的人数X 9,1

30、2时，保险公司获利在6,12 (单位：万元)范围内.其概率为 P 9 X 12 P X 12 P X 90.876 0.587 0.289.保险公司获利在6,12 (单位：万元)范围内的概率为 0.289;(2)当遭遇意外伤害的人数X 15时，保险公司亏本.P X 151 P X 151 0.978 0.022.保险公司亏本的概率为0.022.【点睛】本题考查概率的计算，考查对立事件概率的计算，解题时要结合条件分析出出险人数，结合表格中的概率进行计算，考查计算能力，属于中等题 .X21 .已知 f x ln e-1. x(1)求证：eXx ex 1 0包成立；(2)试求f x的单调区问；(3)

31、若 ai 1 , an i f an ,且 an 0 ,其中 n N ,求证：an an 1 包成立.【答案】(1)证明见解析；(2)单调递增区间为,0 , 0,无单调递减区间。(3)证明见解析【解析】(1)构造函数g x exx ex 1,利用导数求出函数y g x的最小值，利用g x min 0来证明所证不等式成立;x(2)先解等式0可得出函数y f x的定义域，求出该函数的导数 xf x ,利用(1)中的结论得出f x 0在定义域内包成立，由此可得出函 数y f x的单调区问；(3)证法一：利用分析法得出要证an an1,即证anean ean 1 0,利用数 学归纳法和单调性证明出an

32、 0对任意的n N恒成立，冉利用(1)中的不 等式即可得证；证法二：利用数学归纳法证明an an 1,先验证当n 1时，不等式成立，即a1 a2,再假设当n k时不等式成立，即ak a-，利用函数y f x的单 调性得出ak 1 ak 2,由归纳原理证明所证不等式成立.【详解】(1)令g x exx ex 1,则g x exx,由g x 0得x 0,由g x 0 得x 0.函数y g x在 ,0上单调递减，在0,上单调递增，g(x)? g(0) 0,即 exx ex 1 0 包成立； x(2)由e 0得x 0或x 0, 函数y f x的定义域为,0因为f0,xxx ex e 1x -2xe 1

33、x .'e 1由(1)可知当x 0时，exx ex0包成立,函数y f x单调递增区间为,0 , 0,ean(3)证法一：Qan 1 f anln 且 x ex 10 , f x 0.,无单调递减区间；anan an 1,即证 an In,e 1 xananaean1a a即证 en ,即证 anen en 10.anx先证对任意x 0 , f x 0 ,即e1 1 ,即ex 1 X.x构造函数g x ex x 1,其中x 0,则g x ex 1 0,则函数y g x在0, 上单调递增， g x g 00,xx所以，对任意的 x 0, ex 1 x,即 e_ 1, f x ln-1 0

34、.xx下面证明对任意的n N , an 0.Q a1 0 , a2 f a1 0.假设当n k k N时，ak 0 ,则当n k 1时，ak 1 f ak 0.由上可知，对任意的n N , an0.由（1）可知，当 x 0 时，exx ex 1 0, Qan 0, anean ean 1 0,因此，对任意的n N , an an 1;证法二：数学归纳法当 n 1 时，为 1 , a2 f a1 f 1 ln e 1 ,Qe 1 e, ln e 11,即 a2 a1 成立；假设当n k k N时结论成立，即ak1 ak成立.由（2）知，函数y f x在0,上单调递增，f ak 1 f ak ,又

35、 f ak 1ak 2, f akak 1 ,ak 2ak 1 ,当 n k 1 时结论成立综合，anan 1包成立.【点睛】 本题考查利用导数证明不等式以及利用导数求函数的单调区间，同时也考查 了利用数学归纳法证明不等式，证明时应充分利用导数分析函数的单调性， 考查逻辑推理能力，属于难题.22.选修4-4 :坐标系与参数方程.,一x cos在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci：后x y 4 0,曲线C2 ： / . y 1 sin（为参数），以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（I ）求曲线Ci , C2的极坐标方程；x t cos5)曲线 C3： y tsin (t 为参数，t0,0-)分别交C1, C2于A, B两点，当取