圆锥曲线.圆锥曲线中点弦垂直平分线.知识讲解教师版

1、2021 年一轮复习圆锥曲线中点弦 , 垂直平分线护N I中点弦，垂直平分线 2021年高考怎么考内容明细内容要求层次了解理解掌握圆锥曲线椭圆的定义与标准方程V椭圆的简单几何意义V抛物线的定义及其标准方程V抛物线的简单几何意义V双曲线的定义及标准方程V双曲线的简单几何性质V直线与圆锥曲线的位置关系V自检自查必考点弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直(两直线的斜率之积为-1)和平分(中点坐标公式)1 垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设Axi,yi、B X2,y2是直线与曲线的两个交点，O为坐标原点，(1)那

2、么 OA OBx1x2 y1 y2 0 ,假设 P Xo，yo ,那么 AP BPXoX1XoX2yoy1yoy2o2.弦中点问题，除利用韦达定理外, 否那么不宜用此法也可以运用“代点作差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提,(1)设椭圆或双曲线方程:21上两点A X1,y1 ,nB X2, y2 , AB 的中点为 P Xo, yo ，那么2xom掌握抛物线x2 my(m 0)上两点“为，泊月化，y?)连线的斜率公式kAB -1一2m3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，

3、常用“点差法，即设弦的两个端点 A为， ,B X2,y2 ,弦AB中点为M x。，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的"设而不求法，具体有:1(a b 0)与直线相交于 A、B，设弦AB中点为M(xo,yo)，那么有 粵ax2pab21(a0,b0)与直线l相交于A、xiB,设弦AB中点为M(xo,yo)那么有飞ay2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(xo,yo),那么有2yok=2p,即yok=p.中点弦常考题型1kAB1.|PB| |PA| PQ ABkPQ设A(x!,y1),B(X2,y2),注意一般只有弦

4、与椭圆相交的两点才设为xx?的，其它点不要随便设为A%, %), B(X2,y2). Q 为弦 AB 的中点.设直线方程为y kx m ,不要设为y kx b,因为b在椭圆标准方程中会出现联立直线与椭圆方程y kx m2x2 y2 消去y,得22 2 1 aa b(kx m)2b21,即(2 4)x2竺几a bbm2b2设 A(X1,yJ, B(X2,y2),那么2 2m1k40a2b2a2b22 22km 21k2 m2百4字罚产12kmxiX2A?a21x,x2b21k2中的高次项是可消去的kmxx1x2b2Xq2 yQ21k72 2a bkxQm由Xq求y分子是可消去的kmm.2故中点Q

5、的坐标为b 21 k2-2 a，1k222a ba2b2.2 k m.2 k mm.2 k mm.2,22,22bmbabam221 k1k1k2727272a babab定点P设为S,t 那么kpQyQtXqSm丄t2 i1 k2a2 b2km耳s1 k2a2 b2巴 t± Jkl2 t 2 2 a a bkm1k22 ST2 babm1k22 t 22故-aakm. 1k .亍52b a b2 2 21 km 1 k、 km / 1 k111 k .席二2r sr 2，kmr2 kt s 22k a abb a ba ba b2以OA,OB为邻边的平行四边形的顶点 P在椭圆上XQ

6、xixyiy22易知p点坐标2kmXp2xqXiX2b21a22k2myp 2yQy1y2 kX1mkx2 m k(x! x2) 2m2k2m2m 2k2m2m.22 . 22baba1.21.2kk222'2abab1a注意：1不能把xP代入y kx m方程中求yP ,因为点P不在直线上2m2 由xp求yp分子是可消去的.2 km 2ma22 -故P(亡,1 k2 Tia b-V在椭圆上.b22km吞那么一a2m二)2a2 b21b2两边同时乘以4k2m2 4m2a2b av4m2ab2(k21)b2)y3弦AB的垂直平分线交x,y轴分别为点N,Mkm中点Q的坐标为b1 Ia2 Im

7、2 , a牙，垂直平分线方程为 y 丄 k.TT TTb a bma_ 丄 a1R(xb2kmb2 丄 ab2令x 0 ,得到M点坐标为0,1a1 i咋码,令y 0,得到N点坐标为b2kmja丄a占 严© kb2例题精讲2【例1】过点(21)的直线与双曲线X2 I 1相交于两点P、P2，求线段片卩2中点的轨迹方程。2【解析】设pg, %)，&(X2, y2)，那么代入双曲线方程【例2】两式相减得：(X2X1)(X1X2)(y2y1)(y1y2)，即 y2y12(X1X2)2X2为y2设P1P2的中点为M (x。，yo)，那么2x0yokpP2y2 y1又kAM，而 R、A、M

8、、X02kpp2 kAM，即PP2y 1 2x0X02yoP1P2中点M的轨迹方程是2x2P2共线直线 y x 1与椭圆X2X1y2 4x写1(ab20)相交于A、B两点，且线段 AB的中点在直线l : x 2y 0 上.(I)求此椭圆的离心率；(H)假设椭圆的右焦点关于直线I的对称点的在圆x2 y2 4上，求此椭圆的方程y x 1,【解析】(I)设A B两点的坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2).那么由x2 y2得1a2 b2(a2 b2)x2 2a2x a2 a2b20,22根据韦达定理，得x1x2严 2 , yy2(x1x2)2b2 ,a ba ba2 b2线段 AB的中

9、点坐标为(2).代入I :x 2y 0得，a2 2c2a2 b2 a2 b2故椭圆的离心率为e 22【例3】(n)由(I)知 b为(x0,y0),那么 Hc,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线2号0,解得X丰且y0丰4,(3b)253224,b24，故所求的椭圆方程为育I :x 2y 0的对称点2 2椭圆笃Z 1(aa2b2b 0)的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2(I)求椭圆的方程;点Q0, y°在线段 AB的n设直线I与椭圆相交于不同的两点A, B ,点A的坐标为a,0,垂直平分线上,且QAQB 4 ,求y的值【来源】【解析】2021天津(

10、I)由 e aT，得3八4，再由Ja2b2，得 a 2b由题意可知,1-2a22b 4,即 ab 2解方程组aab2b得a22,b 1所以椭圆的方程为。H由I可知A2,0,设B点的坐标为勺，直线I的斜率为k ,那么直线I的方程为y k2，于是A,B两点的坐标满足方程组y k(x2x 2y42)由方程组消去y并整理,得(1 4k2)x216k2x (16k24)02由 2为 些'，得x11 4k222 8k22,从而1 4k24k2 ,1 4k2设线段AB是中点为M，贝U M的坐标为8k22k 、1 4k2'1 4k2)以下分两种情况:【例4】(1)当 kQA ( 2,QAlQB

11、0时，点B的坐标为2,0。线段AB的垂直平分线为yo),QB (2, yo)由 QAQB 4,得 y°= 2.20时，线段AB的垂直平分线方程为 y f1 4k2；X解得2X1y0(y1整理得7 k22,故k2 2椭圆C ：务占a2 b2y轴，于是吟瞬由QA (2,O2(2 8k2) y°)=1 4k2y°),QB (X1, y16k 4k1 4k2 (1 4k2142 14所以y° =。综上y°=75y。)2 2 或 y0 =2 1451a b 0的左焦点为F -1,，离心率为于，过点F的直线与椭圆C交于A、B两点I求椭圆C的方程；n设过点F

12、不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C于A B两点，线段 AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围【来源】2021昌平二模文 【解析】(I)由题意可知：c 1, a2 b2 c2, e - a 22解得：a . 2,b 1。故椭圆的方程为：y212(H)设直线AB的方程为y k(x 1)(k0),yk(x1)联立，得X22 y整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k22021直线AB过椭圆的左焦点F方程有两个不等实根记 A(X|,y1),B(X2, y2), AB 的中点 N(xo,yo)那么 X!X24 k221 2k2X0X-!X2yo%y22垂直平分线NG的方程为y y01R(XX

13、o)，令 y 0,得 XgXo kyo2k2k2222k2 1 2k21k2112k212 4k221b k 0,Xg0* 2点G横坐标的取值范围(-1,0).2【例5】椭圆b21 (a b 0)的离心率为6，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和3为6.(I)求椭圆C的方程；(H)设直线l : y kx 2与椭圆C交与A,B两点，点P(0,1)，且PA PB，求直线l的方程.【来源】2021西城二模文【解析】(I)由2a6 , 6，解得 a 3, c6 ,a 322所以b22 a2 c3，所以椭圆C的方程为-19322Xy1 2 2'得，(1 3k )x 12kx 3(n)由930

14、 ,y kx 2直线与椭圆有两个不同的交点，所以144k2 12(1 3k2)0,解得k2设 A(为，yj，Bg, y?)，那么XiX212k1 3k2,X1X232 ，3k2计算 y1y2 k(xi x2) 412k,1 3k242 ，1 3k26k2 ,所以，A,B中点坐标为E(1 3k21 3k2 2)，因为 PA |PB，所以 PE AB, kpE kABi，所以21 3k26k1 3k2解得k 1，经检验，符合题意,所以直线I的方程为x y 20或x y 20.【例6】(I )x ky【来源】【解析】抛物线y2 4x的焦点为F1假设直线y (2k b) (x 2) 过点M(4,0),

15、且F k40的方程;到直线b如的距离为2 ,求直线(H)设A, B为抛物线上两点， 且AB不与x轴垂直，假设线段AB中点的横坐标为2.求证：线段AB的垂直平分线恰过定点。山东省莱芜市2021届高三上学期期末文(I)由，x 4不合题意。设直线 x ky 4 0的方程为y k(x 4),k22，解得k晋，所以直线x ky 4 0的斜率为红5 所以直线的方程为52 5T(x4)由，抛物线的焦点坐标为(10),因为点F到直线x ky 4 0的距离为2，所以3k L41(H)设 A, B 坐标为 A(xi,y1), B(X2,y2),因为AB不垂直于x轴，设直线 AB的方程为y kx b,联立方程亍4x ，消去y得k2x2 (2bky kx b24)x b20 ,空处，因为AB中点的横坐标为2，故4，整理得bk2k22k2由AB中点的坐标为(2,2k b),得AB垂直平分线的方程为：y (2k b)1Vx 2)(人线段AB的垂直平分线恰过定点(4,0)使得【例7】 过点T 1,0作直线|与曲线N : y2 x交于A B两点，在x轴上是否存在一点E(Xo,O)，ABE是等边三角形，假设存在，求出xo ;假设不存在，请说明理由。【解析】依题意知，直线的斜率存在，且不等于设直线i：yk(x 1)， (k 0)， A(xi,yi)， B(x2,y2)。k(x1)消y整理，得k2x