圆锥曲线题型总结

1、锥曲线题型总结(总10页)L-FENGHAI.-( YICAI)-Compa ny One 1? CAL 本页仅作为文档封面，使用请直接删除直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、中点坐标公式:x= ' ,y =,其中x,y是点A X , BX2,y 2的中点坐标。2 22、弦长公式:假设点AX: , , B X2,y2在直线y二kx + b伙H0上，那么厶y2=kx2b,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，或者亠4卩2。=1 +右(+儿)J 1+右3、两条直线A : y = k X + b J2： y = k 2X + b 2垂直：贝弘禹=-1两条直线垂直，那么直线所在的向量

2、阱？/=4、韦达定理：假设一元二次方程 ax2 +bx+c = O aAO有两个不同的根XrXA ,那么斗+禺=-1召禺=oOa a常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二:弦的垂直平分线问题 题型三:动弦过定点的问题 题型四:过曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题 题型六：面积问题题型七:弦或弦长为定值问题题型八：角度问题 问题九:四点共线问题问题十：范围问题本质是函数问题问题一、存在性问题：存在点，存在直线 y二kx+m,存在实数.存在图形：三角形等比.等腰.直角，四边形矩形、菱形、正方形，圆题型一:数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系2 2例题1、直线/

3、:，=也+ 1与椭圆C：八+ = 1始终有交点，求加的取值范围4 m解：根据直线的方程可知，直线恒过定点0,1,椭圆C：罕+匚=1过动点4 m2 20,妬,且加式4,如果直线和椭圆C: + = 1始终有交点，那么而"且心4,即4 m1< 诅 7 H 4 o规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点: 题型二:弦的垂直平分线问题例题2、过点T-l,0作直线/与曲线N :旷“交于A、B两点，在x轴上是否存在一点EAo,0,使得AABE是等边三角形，假设存在，求出;假设不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0设直线 l:y = kx + ,"0,心

4、,yj, BX2,y 2。由消y整理得駭2+2/_1兀+/=0 厂=X由直线和抛物线交于两点，得= 2疋一 12 一 4疋=-4疋+>0即0<疋<土"2 一 7八2 -11由韦达定理，得：召+心=-二八，小2=1。那么线段AB的中点为-七八，族线段的垂直平分线方程为? aabe旷P2芬和到直线护一守令炖得？和斗那么云存訥AB = 7 (a-A-2)2 + (y,-y2)2 =严./ + / d =13 3?卑吾？ >/ik =当春 解得k = ±卑 满足2式此时忑=| 。 2kr题型三:动弦过定点的问题例题3、椭圆C: . +各=1( >b&g

5、t;0)的离心率为£且cr tr2在X轴上的顶点分别为 Al(-2,0),A2(2,0)。(D求椭圆的方程;(H)假设直线丨：x = t(t>2) 与x轴交于点T,点P为直线/上异于 点T的任一点，直线PA|,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问 直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你 的结论解：由椭圆c的离心率e =-二八，4 = 2,那么得c = E = l °从而椭圆的方程为罕+b=l a 24(II)设Mg), Ng,儿)，直线AM的斜率为勺,那么直线列M的方程为y#(x + 2),由C消y整理得心心+*+哄一和是方程的两个根,2"生那么州=海，儿=占&

6、quot;，即点卜I的坐标为(海，伕儿1 + 4灯 1 + 41 + 4灯1 + 4好肿 _2 AL同理设直线讣的斜率为炷那么得点N的坐标为(由八疋)？.？儿二何(+2)，儿 *,(一2).?.?41 = ?, ?.?直线MN的方程为：二1 = =1?! + K2tX - X X2 - X 二令"得“卄将点M、N的坐标代入化简后得：一 又? />2, .0<、2? ?椭圆的焦点为“,0?冷= 屈即心芈 故当t =八-时，MN过椭圆的焦点题型四:过曲线上定点的弦的问题 例题4、点A、B、C是椭圆E： 4 + 4 = 1 >0)上的三点，其中点 A(2A3,0)是椭圆的

7、右顶cr lr 点，直线BC过椭圆的中心。，且AC.BC = 0, |bc|=2|ac|,如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)假设椭圆E上存在两点P、Q.使得直线PC与直线QC关于直线x = A3对称，求直线PQ的斜率9疋 -1弘9F-18同理可得：Xq = 9/+18&-3R-3巧(1 + 3 疋)解: (1)计阿=2+碍,且BC过椭圆的中心0/. |oc| = AC|? ?AC-BC= 0 ZACO =彳又？ ？ A (2八3,0)点 C 的坐标为(JI 向。vA(2>/3,0)是椭圆的右顶点，.?.d=2屈那么椭圆方程为：咅+ gi将点C(73,73)代入方程，

8、得/r=4,椭圆E的方程为£22 =124(ID V直线PC与直线QC关于直线"曲对称，二设直线PC的斜率为匚 那么直线QC的斜率为-心 从而直线PC的方程为：y-八=k(x-43),即y = d + VJ(l-幻，由卜=总+血(1-幻消y,整理得:3 讨一 12 = 0(1 + 3,)+6屈(1 一灯兀+9/-18比_3 = 0 =的是方程的一个根, 解：设 P(xi,yi),Q(X2,y2 ),? .? DP= XDQ. (xi,yi-3)= A (X2,y2-3) % =迪杪 z 即3) J5(1 +=即斗3L)?/ yp -y q =kx p + yj3(-k)+k

9、xQ-y/3( + k) 二 k(x p +x Q)-2V3k丫 _9R2_18 3 9 疋 +-36k_丹一旳_1""一 J5(1 + 3R2) J5(1 + 3R2) JJ( i + 3/)1"陀二?_xq =5 那么直线 PQ 的斜率为定值 2。题型五:共线向量问题 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M冷+壬"于P、Q两点，且亦熄求实数入的 取值范围。判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ消y整理后,的方(4 + 9疋)十+54八+ 45 = 0? .? P、Q是曲线M上的两点? =( 54k)2-4x45(4 + 9F)144 疋一 80 二

10、 0 即 9k2 >5 由韦达定理得：八+X2 =54k4T9P，V2 =.(召 +吃 )2 _坷十勺.54 专 _(1 + 刃 2362 _松 +44 兮?45(4 + 9疋)一+ W 2由得0<-A<1代入，整理得解之得!v兄<5 9L 55(1 + 2)* 55当直线PQ的斜率不存在，即*0时，易知几=5或2 = 1总之实数入的取值范围是右5。题型六:面积问题例题6、椭圆C: . +需=1 (a>b>0)的离心率为竽，短轴一个端点到右焦点的距离为的 cr3(I )求椭圆C的方程；(II)设直线1与椭圆c交于A、B两点，坐标原点0到直线1的距离为斗，求A

11、AOB面积的最大解：(I )设椭圆的半焦距为C,依题意沪=所求椭圆方程为斗+尸=1。a =(II)设A3, yj, Bg,儿)。当A3丄x轴时，|仙| =石。当A3与X轴不垂直时，设直线AB的方程为y二kx+ mo由旦二逼，得吋2伙彳+叭4把y = d +加代入椭圆方程，整理得32X疋+ 才-1)3疋+112伙2+ 1)(3"(3R 丄+1 )x2 + bkmx+ 3 亦-3 = 0,=("0)W3 + 9疋+丄+ 6 k?当且仅当9P=-L,即k=±芋时等号成立。当£ = 0时，阳二辰K当|M最大时，/AOB面积取最大值S =卜|4隘x芈=£

12、 题型七:弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy中，过定点C (0, p)作直线与抛物线x2=2py (p>0)相交于A、B两点。(I )假设点N是点C关于坐标原点O的对称点，求AANB面积的最小值；(II)是否存在垂直于y轴1的方程；假设不存在，说明理的直线1,使得1被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？假设存在，求出(I )依题意，点N的坐标为N (0rp)，可设A (x hyi) ,B (x 2,y2),直线AB的方程为y二kx+p,与 A 2"消去 y 得 x2-2pkx-2p2=O.由韦达定理得 xi+X2=2pk,xiX2=2p , ?于是 y = kx+

13、p. x2=2pyX联立 y SBN = $ 以 N +X122 2二 px -Xj| =+x2)-4xA2 = py!4p k +8p2 =2p2jk , + 2./.当 k = 0 时，(Sw,h) min = 2、伍巾Q,(II)假设满足条件的直线1存在，其方程为y=a,AC的中点为O行与AC为直径的圆相交于点P、PQ的中点为H,那么077丄PQ O,点的坐标为(牛,丄¥ )?I。卩I = *|AC| =屮+_ “二g Jyf + p2|O7/| = a - = |2? -p|,=|O7f-QA|2 = 1(>-2 + p2)_t (2a ->? - p) 2=(&

14、#176; _彳 ) +(心 _4),|Pfi|2 = (2|PH|)2 = 4 a- |)y2 + ap-a)令"-£ = 0,得“=此时PQ=p为定值，故满足条件的直线1存在，其方程为y =即抛物线的通径所在的直线解法2 :(I )前同解法1,再由弦长公式得二 2pV + k 2 ? Jk, +2.又由点到直线的距离公式得2 卩l +从而，就二丄？ ？卜切二丄？ 2八/1 +疋? J/ + 2? 31 = 2 2jF+2,222yj + k(II)假设满足条件的直线t存在，其方程为y二a那么以AC为直径的圆的方程为(x - OX%-x 1)-(y-/?)(y - ) =

15、 0,将直线方程 y=a 代入得设直线1与以AC为直径的圆的交点为P(X2$2),Q(X4"4 )，那么有令T = o伽諾，此时=p为定值.故满足条件的直线1存在，其方程为y = 4-即抛物线的通径所在的 直线。题型八:角度问题例题8、(如图(21)图(-2, 0)和；¥ (2, 0)是平面上的两点，动点尸满足：PM+PN = 6.2(I )求点尸的轨迹方程；(II)假设|PM|? |PN|=，求点尸的坐标.1-cos ZMPN解：(丨)由椭圆的定义，点尸的轨迹是以M为焦点，长轴长2尹6的椭圆.因此半焦距尸2,长半轴沪3,从而短半轴所以椭圆的方程为A- + 4 = 1-，得

16、 2PM |e| cos MPN= | PM |? |PV|12.(由MpNmpn =7 J因为cosM/W"卩不为椭圆长轴顶点，故P、乩N构成三角形？在刊W中，|MN|=4,由余弦定理有MN+|/W一2|PM|? |PN|cosMPN.将代入，得 42=|PM|2+|P/V|2-2(|PM|.|P/V|-2).故点尸在以M川为焦点，实轴长为2的的双曲线二_) , 2=上.由()知，点尸的坐标又满足八-+4=1.所以7 解得-#?由方 程组 說丁v = f±问题九:四点共线问题 例题9、设椭圆c手+召十 心0)过点伙局)，且看焦点为2,0)(I) 求椭圆C的方程；(II)

17、当过点P(4,l)的动直线/与椭圆C相交与两不同点A3时，在线段AB±_B点Q,满足 网？国 卜驱H两|，证明：点。总在某定直线上解由题意:C2=2二+秒=1 ,解得宀4,护=2,所求椭圆方程为v + V = 1cr lr422 2 2c =a -b(2)方法一设点Q、A、B的坐标分别为(x,y(x vy)9(X2,y 2)。由题设知|人冲卩科，卜0,也呵均不 为零，记兄=戸科松科一，贝匸几。且久工1X： -A X； A, (1)I 一 X又 A, P, B, Q 四点共线，从而 AP = AAPB.AQ = AQB于是1-2 '1_ 小 21-2比 + AX2>1+八

18、2从而人V1 + 2? 1 + 2又点A、B在椭圆C上，即 即点0 (兀y)总在定直线2x + y-2 = 0上方法二PB 设点0 (X,刃，心,孚L), (兀2, 儿儿)，由题设，网，岡，网I，均不为零。且 M=_且网 I 词又 P.A.Q.B 四点共线，可设 PA = -AAQ,PB = ABQ(A0, ±1)是(1)4-Axl-2y4+Axl+2y由于A(Xryi尸(x 2,y 2)在椭圆将,分别代入C的方程x2+2/=4,整理得(x2 + 2y2-4)才 一 4(2x + y - 2)/1 +14 = 0(3)(x2 + 2y2 一 4)才 + 4(2x +>*-2)2

19、 + 14 = 0(4)得 8(2x + y-2)2 = 0即点(2 (九y)总在定直线2x + y - 2 = 0上问题十：范围问题(本质是函数问题) 设仟、竹分别是椭圆罕 + b=l 的左、右焦点。4(I) 假设P是该椭圆上的一个动点，求函？延的最大值和最小值；(II) 设过定点M (0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且2OB为锐角(其中O为坐标原 点)， 求直线 / 的斜率斤的取值范围。解：(丨)解法一：易知a = 2 yb = ,c = y/3 所以存(-更0)迅(據0),设P (x,y)，贝IJ因为沧-2,2,故当X = 0,即点P为椭圆短轴端点时，PF -PF2有最小值-

20、2当x = ±即点P为椭圆长轴端点时，卩斤“忙有最大值1解法二：易知 a = 2,h = .c = j3, 所以林( -点 0) 迅(点 0)，设 P(x,y) ,那么(II)显然直线兀=0不满足题设条件,可设直线/:严尬-2忍(几旳),消去儿整理得： 2+卜 2+4也+ 3 = 02勺 *2)，4k? ? 召 +吃=一 +43 心= j- k2 k2 +4x3 = 4/-3>0 得:k<、或 k>- +2 2又 0° < ZA0B <90 °<A> cos ZA0B > 0 <A> 04 ?面>0

21、 /.厲OB = xx2 + y ly1 >0又 >yi =处1 +2竝 +2 = &2州吃 +%X +七 +24 = +-2 +4 =/+ 丄 k2+-k2+-4443_A2 + 1? ? 一一 - + >0,即 k2 v4 ? -2<k <2 t 1 1 f 2 1+- k- +44故由、得_2<"、或尊*22 2问题十一、存在性问题：(存在点，存在直线 y=kx+m, 存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、 直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)2 2设椭圆E: ? + a = | (a,b>0)过M (2, V2) ,

22、N (A,1)两点，O为坐标原点，ah求椭圆 E 的方程；(II )是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且丙丄西假设存在，写出该圆的方程.并求AB|的取值范围，假设不存在说明理由。2 2解：(1)因为椭圆 E:二 + £ = 1 (a,b>0)过 M (2fa/2) ,N (岳,1)两点，+ = 1 /2-(a =82 2x2 v2所以戻解得8所以厂椭圆E的方程为-+-=16 1 1 1"=48 4产+沪=1济蔦2假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B.且丽丄面,y = kx + m设该圆的切线方程为y二lex + m解方程组 十2得奸+ 2 也+加2=8,即F - = 11841 + 2A: 2X2 +4kmx + 2m 一 8 = 0,4km 贝 IJA = 16AW -41 + 2k22m2 一 8 = 88 疋一+4>