2019-2020年高中数学3.3第2课时线性规划的概念练习新人教A版必修5

1、2019-2020 年高中数学 3.3 第 2 课时 线性规划的概念练习 新人教 A 版必修 5 、选择题 1. 若x0, y0,且X+ yw 1,贝y z= x y的最大值为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 答案B 解析可行域为图中 AOB当直线y= x z经过点B时，z最小从而z最大二Zmax =1. x y+ 50 2.已知x、y满足约束条件 x + y0 x W3 A. 5 C. 10 答案B 解析可行域为图中 ABC及其内部的平面区域，当直线 3）时，z 最小，Zmin= 6. xy+20 3 . （xx -唐山市 模）设x，y满足约束条件 2x+y 50， 贝 U z

2、= 3x+ 2y的最大 2x y 3l 4. 若 X、y R,且 x 2y+ 30 ，贝 U z = x + 2y的最小值等于（ ) y x A. 2 B. 3 C 5 D. 9 答案B 解析不等式组表示的可行域如图所示: 画出直线l 0： x+ 2y= 0, 平行移动l 0到I的位置， 当I通过点M时，z取到最小值. 此时 M1,1），即 Zmin= 3. 2x+ y4 x y1 ，则目标函数z = x + y( ) x2y4 解析画出不等式组 x y 1 5. （xx 南昌市一模）设x、y满足约束条件 A. 有最小值 2, 无最大值 B.有最大值 3，无最小值 C. 有最小值 2, 最大值

3、 3 D.既无最小值，也无最大值 表示的平面区域，如下图，由 z= x + y,得y = .X 2y W2 x + z,令z = 0，画出y = x的图象.当它的平行线经过点 A(2,0)时，z取得最小值，最小值为 2;无最大值故选 A. x+ y 8 2y x4 0 .y0 A. 48 B. 30 C. 24 D. 16 答案C 解析本题考查了线性规划中最优解问题.作出不等式组表示的平面区域如图. 1 作直线I。： y = 5x，平移直线1. 当 10过点 A(4,4)时可得 zmax= 16,.a= 16. 当l 0过点 巳 8,0)时可得Zmin= 8,. b= 8. a b= 16 (

4、 8) = 24. 二、填空题 x 一 y一 1 7.若非负变量x、y满足约束条件 x + 2y0 y 0 由题意知x、y满足的约束条件 1 x-y1 x + 2yW4 画出可行域如图所示. 设x + y= t ? y= x +1, t表示直线在y轴截距，截距越大，t越大. 作直线Io： x + y = 0,平移直线Io,当I。经过点A(4,0)时，t取最大值 4. 2x + 3y 6W0 &在平面直角坐标系 xOy中，M为不等式组x+ y 20 70 点，则|OM的最小值是 _ . 答案,2 解析本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题. 不等式组所表示平面区域如图， 由图可知

5、|OM的最小值即O到直线x+ y 2 = 0 的距离. 三、解答题 5x + 3y 15 9.求z= 3x + 5y的最大值和最小值，使式中的 x、y满足约束条件tywx+ 1 所表示的区域上一动 故| OM的最小值为 I 2| r =2. LX 5y 45 5x + 6y 55 m . y0 目标函数z = 2x+ 3y. 作出以上不等式组所表示的平面区域 (即可行域)，如图所示. 5161-55 z= 2x+ 3y变为y= |x+彳，得斜率为|，在y轴上截距为且随z变化的一族平行直 线. 5x+ 6y= 55 当直线z = 2x+ 3y过可行域上点 M时，截距最小，z最小解方程组 l|x+

6、 6y= 45 得M点的坐标为(5,5). 2 此时 Zmin = 2 X 5+ 3X 5= 25 (m ). 答：当两种金属板各取 5 张时，用料面积最省.=1. 拓展应用提能 一、选择题 仅在点（1,0）处取得最小值，则 a的取值范围是（ 答案 A. 1 B 2 C. 5 D. 1 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图所示， / /J 1 JC-JP+1=0 x+y=0 1 x y+1 0, 洛阳市期末)实数x ,y满足x+ y0, x 1, x y 1, 2x y W2 目标函数z= ax+ 2y A. ( 4,2) B (1,2) C. ( 4,0) D (2,4) 解 则z=

7、x + 2y的最小值是（ ） 12. (xx 作出可即 可求得A 3， 6）、耳；5， 70）、q 等，一 f），所以 ABC区域内的点（x, y）满足一-3 55111177 5 19 20 10 X V 7，- 7 V y V 后. / X、y Z,. 0 x 2, 2 y 0,且 x、y Z. 经检验，共有三个整点（0,0） , （1 , 1） , （2 , 2）. fy x, 14. （xx 辽宁葫芦岛市一模）若变量x, y满足约束条件 x+ y 1, 的最大值和最小值分别为 m和n,贝 U m- n=（ ） A. 5 C. 7 答案B 解析作出可行域如图 y-2x 0 5x+ 3y

8、5v 0 A. 2 C. 4 答案B 表示的平面区域内的整点个数为 （ ） B. 3 解析不等式y 2x 0 表 示直线x + 2y + 3 = 0 右上方区域（不含边界），5x+ 3y 5v 0 表示直线 5x+ 3y 5= 0 左下方 区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的厶 ABC区域. B. 6 D. 8 平移直线 2x + y= 0 知，当直线z = 2x+ y经过点A 1, 1）时z取得最小值，经过点 B(2 , - 1)时，z取得最大值， m2X 2- 1 = 3, n = 2X ( 1) 1 = - 3, m- n= 3 ( 3) = 6. 二、填

9、空题 15. 在 ABC中，三个顶点分别为 A(2,4)、 氏1,2)、C(1,0)，点P(x, y)在厶ABC的 内部及其边界上运动，则 y-x的取值范围为 _ . 答案1,3 2 解析画出三角形区域如图，易知 kAB= 31, 嗔 -i 0 2 * 令z = y x，则y=x + z,作出直线Io： y= x，平移直线Io,当经过点C时，Zmin= 1, 当经过点B时，Zmax= 3 , K z1 y 1 16. 已知点M N是0 -x + y 6 是 _ . 答案.17 解析不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示， y / 7 0 直线x y + 1= 0 与直线x + y= 6 垂

10、直， 直线x= 1 与y= 1 垂直， |MN的最大值是 |AB =p 5-1 2+ 2-1 2 =17. 三、解答题 17. 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 g，咖啡 4 g，糖 3 g ;乙种饮料每 杯含奶粉 4 g，咖啡 5 g，糖 10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉 3 600 g，咖啡 2 000 g, 糖 3 OOOg.如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元，每天在原料的使 用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？ 解析经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲 x杯，饮料乙y杯, 9x + 4y 3 60

11、0 4x + 5yw 2 000 线性约束条件为 3x + 10y 3 000 x, y N 利润z= 0.7 x+ 1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为 9 8 0 X W3 2 2 （1）求u= x + y的最大值与最小值; 求v=恙的最大值与最小值. h L5 0 N jr=3 解析满足条件的可行域如图所示 （阴影部分）. （1）令x2 + y2 = u表示一组同心圆（圆心为点O），且对同一圆上的点，x2+ y2的值都相等. 由图可知（x, y）在可行域内取 7 3 1 ，则目标函数z= 3x y的取值范围是 x + 2y2 A.x=3 x=3 由 ，解得 x y

12、+ 5= 0 jy= 8 x= 3 由勺 x+ y = 0 ，解得x= 3 y= 3 C. 1,6 D 6, | 答案A 解析本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想. 根据约束条件，画出可行 1 域如图，作直线Io： 3x y= 0，将直线平移至经过点 A(2,0)处z有最大值，经过点 耳 2 3) 3 处z有最小值，即寸z 6. JB炖加-严。 I / 1 iS-j 4 工 2ar+j=4 x + y 30 3. 设z= x y,式中变量x和y满足条件 0 A. 1 B. 1 C. 3 D. 3 答案A 解析作出可行域如图中阴影部分.直线 z=x y即y = x z.经过点A(2,1)

13、时，纵 截距最大，二z最小.Zmin= 1. X 一 2W 0, 4 . (xx 天津文，2)设变量x, y满足约束条件“X 2y 0, 则目标函数z= 3x Lx+ 2y 8w 0, + y的最大值为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 14 答案C 5 1 解析z = 3x+ y = 2(x 2) + 2(x + 2y 8) + 9 9,当 x= 2, y = 3 时取得最大值 9, 故选 C.此题也可画出可行域如图，借助图象求解. 当直线z = x+ y经过可行域内点 A时，z最大，且Zma尸8. 3 2x+ y 4 5.已知X、y满足约束条件*x + 2y0 6. （xx 哈尔滨

14、质检）已知变量x, y满足的不等组 y2x, kx y+10 角三角形围成的平面区域，则实数 k的值为（ ） 1 A. 0 或2 B. 0 或- 1 C. _ D. 2 表示的是一个直 答案B 解析 直线kx y + 1 = 0 过定点（0,1），由条件可知，直线 kx y + 1 = 0 与直线x = 0 由图知，A 3, 4) , B( 3,2) , C(3,2), 则 |OA = 9 + 16= 5, |OB = 9 + 4= 13, | OC = 9 + 4= 13. 设P(x, y)是不等式组表示的平面区域内任意一点， 则 x2+ y2= ( x2+ y2) 2= | Op2, 由图

15、知，| OP的最大值是| OA = 5,则x2 + y2最大值为| OA2= 25. 三、解答题 9制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含 A药品 3 g、B药品 4 g、C药品 4 g，乙种 烟花每枚含A药品 2 g、B药品 11 g、C药品 6 g .已知每天原料的使用限额为 A药品 120 g、一 1 或直线y = 2x垂直， k= 0 或k=空，故选 B. 二、填空题 x -1 0, 7. (xx 全国I理， 15)若x , y满足约束条件 x y0 x y K0 ，则x2+ y2的最大值为 _ 答案25 解析画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示. B药品 400 g、C药品

16、240 g .甲种烟花每枚可获利 2 元，乙种烟花每枚可获利 1 元，问每 天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大. 解析 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则 3x + 2y 0 y0 目标函数为：z= 2x+ y. 作直线I : 2x+ y= 0,将直线l向右上方平移至l i的位置时，直线经过可行域上的点 A(40,0)且与原点的距离最大.此时 z = 2x+ y取最大值. 故每天应只生产甲种烟花 40 枚可获最大利润. 10.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180t 支援物资的任务，该公司有 8 辆载重为 6t 的A型卡车和 4 辆载重为 10t 的B型卡

17、车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往 返的次数为 A型卡车 4 次，B型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的成本费 A型车为 320 元，B 型车为 504 元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低. 解析设每天调出 A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为 z元，则由题意知 xw 8, yw 4, x+ y w 10, 4x X 6+ 3y X 10 180, x 0, y 0, 域如图所示.，作出可行域如图所示. 目标函数为z= 320 x + 504y(其中x, y N).作出可行 由图易知，当直线 z = 320 x+ 504y在可行域内经过的整数点中，点 （8,0）使z= 32

18、0 x + 504y取得最小值，Zmin= 320X 8+ 504X 0= 2560 ,每天调出 A型车 8 辆，B型车 0 辆，公 司所花成本费最低. 拓展应用提能 一、选择题 x+ y1， 11. （xx 湖南文，4）若变量x, y满足约束条件*y x1, 形结合得答案.由约束条件 丿yx w 1, iXW 1, A(0,1) , z= 2x y在点A处取得最小值为 2X 0 1 = 1,故选 A.作出可行域如图，由图可知，最优解为 A联 立 x+y=1 y x= 1 12 .若实数x、y满足不等式组 A. 13 C. 20 答案A 解析作出可行域如图所示, 入 3 z 令 z = 3x

19、+ 4y,. y = 4X+ 4 rx+ 2y 50 0 x0, y0 B D 15 28 求z的最小值，即求直线 y = ，贝 U 3x+ 4y的最小值是（ 3 z 4x+ 4 截距的最小值. 经讨论知点M为最优解，即为直线x + 2y 5 = 0 与 2x + y 7= 0 的交点，解之得M3,1）. I Zmin = 9 + 4= 13. 13为支援灾区人民，某单位要将捐献的 100 台电视机运往灾区， 现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用 400 元，可装电视机 20 台；每辆乙型货车 运输费用 300 元，可装电视机 10 台，若每辆车至多只运一次，则该

20、厂所花的最少运输费用 A. 2 800 元 B. 2 400 元 C. 2 200 元 D. 2 000 元 答案C 解析设调用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，贝U 0W x4,0 w y 100, 即 2x + y 10,设运输费用为 t，则 t = 400 x+ 300y. 0 x4 线性约束条件为0 y 102. 作出可行域如图，则当直线y =-4x+為经过可行域内点 A（4,2）时，t取最小值 2 200, 故选c. + 1 y0 14. （xx 南昌市一模）已知实数x, y满足*x + y 40 x+ y4 m 表示的可行域如图中阴影部分所示. Io： 2x+ y= 0 向上平移

21、至过点 A, B时，z = 2x + y分别取得最小值与最大值.由 x+ 1 - y= 0 x + y 4= 0 得 A(m- 1, m，由i 得 耳 4 mm，所以 Zmin= 2( m 1) + m 将直线 y= m 2x+y=10 2. ly = m =3 m- 2 , Zmax= 2(4 nj + m= 8 m,所以 Zmax Zmin =8 m- (3 m 2) = 10 4m= 2，解得 m= 二、填空题 x y + 20 15.已知实数x、y满足x + y 0 ，则z = 2x+y的最小值是 iX 0, 则z = 2x+ y的最 x 2y + 1w 0, 大值为 _ . 答案8

22、x+ y 5W0 解析不等式组；2x y10 ，表示的可行域是以 A(1,1),耳 2,3) , C(3,2)为 / 2y+ 1W0 顶点的三角形区域，z= 2x + y的最大值必在顶点 C处取得，即x= 3, y = 2 时，Zmax= 8. 三、解答题 17. 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 260 万吨，需经过东车站和西车站 两个车站运往外地. 东车站每年最多能运 280 万吨煤，西车站每年最多能运 360 万吨煤，甲 煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/t 和 1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车 站的运费价格分别为 0.8 元/t 和 1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？ 解析设甲煤矿向东车站运 x万吨煤，乙煤矿向东车站运 y万吨煤，那么总运费 s+y=O z= x + 1.5(200 x) + 0.8y + 1.6(260 y)(万元)即 z= 716 0.5x 0.8 y. x0 y0 x、y应满足 1 260 y0 x+ yw 280 200 x + 260 y W；如 g x w 200 即0W y w 260 , J00w x+ y w 280 作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图. 设直线x + y = 280 与y = 260 的交点为 M贝 U M(20,260).