解三角形中相关的取值范围问题

1、解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角VABC中，A 2B,则c的取值范围是b例2:若VABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C ,则sin B cosB的取值范围是例 3:在VABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,且 acosC,bcosB,ccosA成等差数列。(1)求B的大小。(2)若b 5,求VABC周长的取值范围。例4：在中，a2 b2 c2 3ab，若的外接圆半径为当，则VABC的面积的最大值为例5： (2008,江苏)满足AB 2, AC V2BC的VABC的面积的最大值是例6：已知角A, B,C是VABC三个内角，a,b,c是

2、各角的对边，向量irAB 5AB 口 mm (1 cos(A B),cos) , n (- ,cos)，且 m n282(1)求 tan A tan B 的值。(2)求普吟的最大值。 a b c通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。巩固练习1 .在VABC中，a 2,c 1,则C的取值范围为 2 .若钝角三角形的三内角的度数成等

3、差数列，且最大边长与最小边 长的比值为m ,则m的取值范围是3 .在RtVABC中，C ,且A, B,C所对的边a,b,c满足a b xc ,则实 2数x的取值范围为4 .在锐角VABC中，A 2B, AC 1,则BC的取值范围是5 .在锐角VABC中，三个内角A, B,C成等差数列，记M cosAcosC ,则M的取值范围是6 .已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是7 .已知VABC外接圆的半径为6 ,若面积Svabc a2 (b c)2且,SVABC的最大值为_ 4sin B sinC ，贝U sin A3，irr u r8 .在 VABC 中，m (sin A,cos

4、C), n (cos B,sin A),且 m n sin B sin C(1)求证：VABC为直角三角形(2)若VABC外接圆的半径为1,求VABC的周长的取值范围9 .在VABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V2sin A %/3cosA(1)若a2 c2 b2 mbc,求实数m的值(2)若a艮求VABC面积的最大值。解决与三角形相关的取值范围问题例1：在锐角VABC中，A 2B,则c的取值范围是b解析：由0 A 2B 且0 C A B 22c sinC sin3B sin2BcosB cos2BsinB ,2- (得 _ B ,所以 _ 4cos B 1 ,64b sin B

5、 sin Bsin B又 cosB (巫，立)所以,4cos2 B 1 (1,2)22 b点评：本题易错在求B的范围上，容易忽视“ VABC是锐角三角形” 这个条件。本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多 元为一元，体现了解题的通性通法。例2:若VABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角依次为A,B,C, 则sin B cosB的取值范围是解析：由题设知b2 ac , 又余弦定理知cosB22.2a c b2ac22a c ac 2ac ac 12ac 2ac 2又 sin B cosB V2 sin(B )且一 B 所 以44412V2sin(B -) (1,亚即 si

6、nB cosB 的取值范围是(1,72点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。例 3:在 VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acosC,bcos B,ccos A成等差数列。（1）求B的大小。（2）若b 5,求VABC周长的取值范围。解析：（1）由题意知 acosC ccosA 2bcosB ,由正弦定理得 sinAcosC sinCcosA 2sinBcosB1所以 sin(A C) 2sin BcosB ,于是 cosB - R 一 23(2)由正弦定理士 ，上10 ,所以sin A sin B sin C

7、31010_10210-sin A 5 -sin C 5 sin(- A) sin A 5 10sin(A ) ,3.3,3336又由0A万得6 A 6 23,所以5 10sin(A -) (10,15。点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。例4:在VABC中，a2 b2 c2 2 ab ,若VABC的外接圆半径为 典,则 32VABC的面积的最大值为222解析：又a2 b2 c2 2ab及余弦定理得cosC a b c 1 ,所以32ab 32,2 sin C ,3 2o o又由于 c 2RsinC 4,所以 c2 a

8、2 b2 2abcosC 即 16 - ab a2 b2 2ab 3所以ab 12,又由于S 1absinC ab 4巧，故当且仅当a b 2« 23时，VABC的面积取最大值4也点评：先利用余弦定理求cosA的大小，再利用面积公式结合基本不等 式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。例5： （2008,江苏）满足AB 2, AC &BC的VABC的面积的最大值是 解析：设BC x ,则AC近x.xv1 cos2 B 由余弦定理得cosB AB22f BCAC24 x2 ( . 2x)24 x24x4x代入式得Svabcxj（土X）24x128 (x2 12)

9、2161根据面积公式得 Svabc -AB BCsinB 2由三角形三边关系有 点x x 2且x 2 T2x ,所以2" 2 x 2" 2 ,故当x 2褥时，Svabc取得最大值2"。点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。例6：已知角A, B,C是VABC三个内角，a,b,c是各角的对边，向量irab r 5 AB1rm (1 cos(A B),cos), n (- ,cos), 且 m282(1)求 tan A tanB 的值。求-a解析：由absinC2b2irm (1的最大值。cos(A

10、A B、r ,5 A B 匹B),cos) , n (- ,cos), 且 m28251 cos(A B) 8cos2 AB 9- -, 所以 4cos( A B) 5cos( A即 cosAcosB 9sin Asin B ,所以 tan A tanB(2)由余弦定理得2absinC2 - a b c/a -、 tan A tanB 9, A tan(A B)(tan A1 tan Atan B 83即tan(A B)有取小值- 又tanC 4absinC2abcosC 9tan B)-tan( A191-tanC ,而22、tan AtanBB),所以tanC有最大值-（当且仅当tan A

11、 tanB ,时取等号） 43所以2absFC 2的最大值为3a2 b2 c28通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。巩固练习1 .在VABC中，a 2,c 1,则C的取值范围为 2 .若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ,则m的取值范围是3 .在RtVABC中，C 一,且A, B,C所对的边a,

12、b,c满足a b xc ,则实 2数x的取值范围为4 .在锐角VABC中，A 2B, AC 1,则BC的取值范围是5 .在锐角VABC中，三个内角A, B,C成等差数列，记M cosAcosC , 则M的取值范围是6 .已知锐角三角形的边长分别为13a ,则a的取值范围是7 .已知VABC外接圆的半径为6 ,若面积Svabc a2 (b c)2且 sinB sinC 4.贝U sin A. SVABC 的最大值为3,Lrr. irr8 .在 VABC 中，m(sin A,cosC), n(cosB,sin A),且 mnsin B sin C(1)求证：VABC为直角三角形(2)若VABC外接

13、圆的半径为1,求VABC的周长的取值范围9 .在VABC中A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V2sin A j3cosA(1)若a2 c2 b2 mbc,求实数m的值(2)若a石，求VABC面积的最大值。参考答案sinC1 sin A21八2，C(0,62.(2,3.(1, .2ACsinABC sin B5.易知Bsin2Bsin B2cosB6(-2, ,3)正弦定理3，AC232M cosAcosC cosAcos( A)31cos2A 2.3 . A Asin Acos A2cos A 14立 sin2A41尸6)1M -sin(2A -)0 A 311 1Z ( 21N2A 6

14、 766.设13a所对的角分别为A,B,C ,由三角形三边关系有1 3 a,11 ,故2 a 4 ,易知BA ,要保证VABC为锐角三角形,只需cosB0,cosC/_220且13a_2 1 37 由 SVABC2(b c),得 a2b22 , ,sin A c bc(- 2)由余弦定理得2,22a b csinA 八 “2bccosA,故有 2 2cosA,2易得A为锐角，且4 2sin Asin2 A44cos2A ,即17sin2 A 8sin A 0 ,故有8 sin A , 17号）SVABC-4c 2R(sinB sinC) 12 -1sin A .b c、2bcsin A ()2

15、2216147 64 256 （当且仅当b c 8时取等256即SVABC的最大值为方8. (1)由urm (sin A,cos C), nl ur r(cos B,sin A), 且 m n sin B sin C得 sinAcosB sin AcosC sin B sinC ,由正弦定理得 acosB acosC b c,22.22.22由余弦定理得a -a2上上b c2ac2ab整理得(b c)(a2 b2 c2) 0又由于b c 0,故a2 b2 c2,即VABC是直角三角形(或者：由 sin AcosB sin AcosC sin B sinC 得,sin AcosB sin AcosC sin( A C) sin(A B)化简得 cosA(sinB sin C) 0,由于 sin B sinC 0,故 cosA 0,即VABC是直角三角形)(2)设VABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c由于VABC外接圆的半径为1, A ,所以a 2Rsin A 2, 2所以 b c 2R(sin B cosB) 2(sin B cosB) 2.2sin(B )又 0B一,故B 3-,因而 2V2sin(B ) (2,2 V224444故 4 a