解直角三角形及应用举例专题讲座

1、解直角三角形及应用举例（专题讲座）解直角三角形、知识点（一）目标点1、熟记直角三角形中各元素间的关系，并能熟练地运用它们解直角三角形。2、利用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题及特殊四边形、等腰三角 形等有关问题。（二）要点1、解直角三角形的依据：在 RtABC中，/ C= 90 , / A、/R ZC所对的边 分别是/瓦算则：（1）三边之间关系：（2）锐角之间关系：ZAah ah+ /B= 90 ; （3）边角之间的关系：sinA = t , cosA=白，tgA = 1 , ctgA = ,S = sinB = c , cosB= c , tgB =金,ctgB = & ; （4）面

2、积公式：22,（此为。边上的高）2、直角三角形的解法。直角三角形的解法按除直角外已知二个元素（至少一个边）的不同情况，可大致分为四种类型（设/ O90 , / A、/R /C所对的边分别是许瓦C） ; （1）已知一条直角边和一个锐角（如阳，/A）,其解法为:曲/B= 90 /A,沏/，b = ai：tgA (或=) ; (2)已知斜边和一个锐角（如忖，/A）,其解法为：/B= 90 /A,（或（3）已知二直角边（口为），其解法为：十/ ;由tgAa=2求出/A, /B= 90 /A; （4）已知斜边和一条直角边（如（和甘），其解法为匕=昭二下，由sinA = c ,求出/ A, / B= 90

3、 / A。3、解直角三角形时正确选择关系式的要领：（1）若求边，一般用未知边比已知边（即未知边放在分子），去寻找已知角的某个三角函数；（2）若求角，一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某个三角函数；（3）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积误差”和“一错再错”。（三）重难点重点：直角三角形的解法。难点：选择简便方法解直角三角形。二、考点（一）命题方向分析1、考查解直角三角形的定义，主要以判断题和填空题形式出现。目的是理解直 角三角形的概念，并注意在已知两个元素至少有一个是边。2、考查解直角三角形，主要出现在计算题中。目的要求画出草图，由直角三角 形的五个元素之间的关系进

4、行计算。注意：（1）书写就刻不要写成上班始；（2） 在计算中尽量用原始数据，以免“累积误差”和“一错再错”；（3）在计算过程中若同时可选用两个公式计算时，为简便，要选用乘法计算的公式而不选用除 法计算的公式。3、一般考查解直角三角形，由于题目本身知识限制（不准查表），因此考题中仍以给特殊角或特殊值为多。所以要求学生掌握一个角为30。的直角三角形和一个角为45。的等腰三角形三边的比值关系，对解有关直角三角形的问题尤为 重要，希望教者给予注意。（二）热点考题举例例1、在RtzXABC, / C= 90 ,点，解这个直角三角形。a 52_ - -解：在 RtABC中，sinA=。短2 , . / a

5、= 45 , ZB= 90 / A= 45解法二：=/ A= /B,占=5 ； b - c 1 sin A - 5/2 x- 5解法二：,cosA= c ,2。说明：灵活选择关系式，使运算简便。例2、（1）在ABC,已知/ C= 90 , AO3心,/A的平分线A&6,解这 个三角形；（2）在4ABC中，已知/C= 90,若AD是BC边中线，AO,月，/ADC= 60 ,求这个三角形的面积。解：（1）如图所示， ABE RtA, / C= 90 ,在 RtACD中,cosZCAD=工Q2 /CA氏 30。VAD是/A 的平分线，./ CA乐2/CA年60 。 . AB= 2AO6行，又tg/C

6、A由卅C ,bo AC tg/CA由 3再 tg60 0 = 9;CD(2)在 RtzXACD中，v ctg ZCDAfC5 AC- ctg / CDAf石 tg60 =3, AD是 BC边中线，BO2c56,Sy针=-= - 33 6 = 9（平方单位）值h r乙 2说明：对于较复杂的问题，题设条件中没有直接给出解直角三角形的二个已知元 素（至少有一个是边），而是需要通过其他条件运用学过的有关几何、 代数知识, 先求出这个直角三角形的二个元素 （至少有一个是边）,然后再解这个直角三角 形。解这类题目要认真分析题意，细心观察图形。例3、在RtzXABCt, / A /B= 30 ,鼻一占-2

7、,解这个直角三角形fZ4-Z = 30o12 d = 60。口解：在RtzXABC中,解此方程组，得:=匕八眦tsAbv Z5 = 2b =2(73 + 1)说明：这个题目没有直接给出一个已知元素（除直角外），所以先要设法求出直 角三角形的二个元素。由已知/A /B= 30 ,和隐含条件/ A+ /B= 90 ,求得/A、/B,再由4=6坦闻曰一8 = 2 ,联立求得mb ,最后求出。例 4、在 RtAABC,/C= 90 ,解这个三角形。二tgA三2三工，七三2口二匚=Z + b = 4解法一：占2,解关于人的二元一次方L3十廿=4程组：V=2 ，得a - 0.8944, b - 1,788

8、8 tgA =55,2 ,查表得锐角A=26 34, . .B= 9O 26 34=63 26。.1v tgA - 一解法二：2,查表得锐角 a= 260 34, ；B= 9O 26 34=63 26。二 由且三巴二.以三也 川三 2, sm 26Q34 = 2 x0,4473 = 0.896cos = ,= c c月-2, cos26*34 - 2K 0 8945 - 1 789c说明：这两种解求法得的口值相差不多，但它们谁更接近准确数呢？应该说解法 一中的值更为准确，这是因为解法一中的求1都是用的题设条件的原始数据；而 解二中求以，用的是查表求得的/ A,然后再经查表求sinA,产生了累计

9、误差， 因此选择关系式时还要注意避免不必要的误差，选择关系式通常遵循二条选择原 则：一是应当尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是应当设法选择便于计算和查表的关系式。解直角三角形应用举例一、知识点（一）目标点1、掌握把实际问题转化为数学问题并用解直角三角形的知识去解决的方法。2、了解仰角、俯角、坡角、坡度等概念，并理解它们的意义。（二）要点有关的概念: 仰角和俯角：如图，它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角， 其中视线 在水平线上的叫仰角；视线在水平线下方的叫俯角。如图a叫做仰角，B叫做俯 角。仰角与俯角坡度和坡角坡度与坡角如图，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度。通常用i表示，

10、即 ？； 坡角是坡面与水平面的夹角，通常用字母a表示，坡度与坡角白关系是：i =tg a ,坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡。2、应用解直角三角形的知识解决实际问题，应注意以下几个环节：（1）分析题意，先根据已知条件画出它的平面或截面示意图；（2）如果图形不是直角三角 形，可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形；（3）把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关 系。细心推理计算；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，逐步写 出解答并注明单位。（三）重难点 重点：1、用解直角三角形的方法解简单的测量问题。2、把解等腰三角形的问题转化为解直角

11、三角形的问题。难点：1、将测量距离的实际问题转化为解直角三角形的问题。2、选用恰当的方法计算本课题中例题所要求的长度。二、考点（一）命题方向分析1、考查应用解直角三角形的知识去解决某些简单的实际问题是本章的重点和难 点之一，在重视理论联系实际的今天，这类题在中考中常以中档题的面孔出现。目的是：（1） 了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；（2）会将实际 问题转化为数学问题；（3）会通过引适当的辅助线使之转化为解直角三角形的 计算问题而达到解决实际问题。2、考查实习作业中的测量倾斜角和测量底部可 以到达的物体高度的问题。由于知识本身的限制，所以不能考全过程，而常以填 空题形式考测量工具和测

12、量步骤及公式，而以填写实习报告的形式考计算。近年来，由于实习作业不仅能达到理论联系实际的目的， 还能培养学生三大数学能 力，因此，又成为中考内容的热点。教者应注意要带领学生实际操作，通过制作 工具和测量，不仅巩固学生所学知识，也提高学生分析和解决简单的实际问题能 力、动手操作能力和用数学语言表达实习过程与实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。（二）热点考题举例BO2,求 AG例 1、如图，已知 ABC中，/A= 30 , / B /C= 60解：在 ABC, ./A+ /B+ ZC= 180 , / A= 30 , . . / B+ /O 150 , 又/B /C= 60 ,解方程组,得/

13、 B= 105 , / C= 45 。过 B作 BDLAC于 D,贝U/DBC= 45 , 在 RtABDC, B又DC=2 = 0BC- sin45 =2;在 RtzXADB中，AD- BD- ctg30 =,/.AO ADf DO说明：尽管原 AB5是直角三角形。但通过作高线，即可把原三 角形变成两个直角三角形。由已知条件可将 RtBDC变成可解 RtA,求出BD和DC从而另一 RtBDAfe可解，因而问题得以解 决。2例2、如图，在等腰三角形ABC+,底边BC为5, a是底角且tg a =5 ,求AG解：作 ADLBC于 D,在 RtzXADB中，=tg a =,设 A又2k, BD=

14、5k,贝U ABQRsWA-coM 又 BO5,BA,5k=,得k= .AO AB=2 o说明：作等腰三角形ABC边上的高AD,则构造出直角三角形。由于只有在RtA中，才有a三角函数为各边之比，所以tg a BC正确。应是在RtADB中，tgADa=D,然后再用设k方法，求出腰长AC例3、一艘船以32.2海里/小时的速度向正北航行，在 A处看见了灯塔S在船 的北偏东20 ,半小时后，航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65 ,求 灯塔S和B处的距离。（精确到0.1海里）fA 例3图解：依题意作简图1如图，作 Bn AD 于 Eo .AB= 32.2 X 2 =16.1 （海里）在 RtAAEB些I中，sin20 =/石，；B已AB- sin20 = 5.5062 （海里）。在些RtzXBES中，/ BS/ 65 20 =45 , sin45 = 郎, . BSBEsui47.8 （海里）。答：灯塔S和B处的距离约为7.8海里。说明：画简图时，先应确定正北方向，然后按已知条件确定各角；由于 ABS是 斜三角形，所以需适当添加辅助线，构造可解直角三角形。本题中的辅助线BE是联系RtzXAEB和RtzXBES的桥梁，为了得到可解 RtzBE需先求出BE的长。例4、如图，一水坝横断面为等腰梯形 ABC