2020年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科)答案解析

1、2020年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）答案解析、选择题（共12题）1.在复平面内，复数1-21对应的点位于（A.第一象限C.第三象限D.第四象限2.【解答】解：:(1-21)(1+20，在复平面内，复数已知集合A=x|x* 2A. (T, 1)5iL-2i对应的点的坐标为（-2,2xv0, B = x| 1<x< 1,则B . (T, 2)1）,位于第二象限.AAB=(1, 0)D. (0, 1)【解答】 解：. A=x|0vxv 2, B=x|- 1<x< 1,，An b=(0, 1).3.已知 x, yCR,且 x>y>0,则（）A . cosx

2、 cosy > 0B. cosx+cosy>0C. Inx - Iny >0D. Inx+lny > 0【解答】解：根据题意，依次分析选项:对于 A, y= cosx 在(0, +0°)上不是单调函数，故cosx - cosy > 0不一定成立，A错误;对于B,当x=兀，y =7T2时,cosx+cosy = - 1< 0, B 不一定成立;对于 C, y=lnx 在(0, +8)上为增函数，若x>y>0,则 lnx>lny,必有 Inx - Iny > 0,C正确;对于D,当x=1, y =,Inx+lny = lny&l

3、t;0D不一定成立;故选:C.4.函数f （x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f（x）5.已知函数 f (x) =2x+ln (x+Jw + /) (aCR)为奇函数，则 a=()A . - 1B. 0C. 1D.近【解答】解：f (x)是奇函数，f ( - x) = - f (x),即 f (- x) +f (x) = 0,即2x+ln (- x+Jw + .) +2x+ln (*+寸私+工2) = 0,得1n x+VU)+ln(x+47)= 0，即 ln x%十/)(xM+F)=0.得 ln (a+x2-x2) =lna=0,得 a = 1,故选：C.6.希

4、尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取 点， 则 落 在 黑 色 区 域 的 概 率 为【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的工，不妨设第4个三角形的面积为1.，第三个三角形的面积为 1;则阴影部分的面积之为（1-4）士）鸟:4416第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率:9后 91 -1

5、67.已知a为锐角,COS a=tv aAjB-lC. 2D. 3【解答】解：:a为锐角,COS a=sin a=1 5tan a=a2ta5s工或 tan-5=解得-2 （舍），tan (）TV Cltair-tan-L+t a 口- tsrr-）是现在商家一种常见促8 .“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”销手段.今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖” ；丁说：“甲不能中奖”游戏结束后

6、，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【解答】解：若中奖的同学是甲，则甲预测结果是正确的，与题设相符，故中奖的同学是甲，若中奖的同学是乙，则甲、丙、丁预测结果是正确的，与题设矛盾，故中奖的同学不是乙，若中奖的同学是丙，则丙、丁预测结果是正确的， 与题设矛盾，故中奖的同学不是丙,若中奖的同学是丁，则乙、丁预测结果是正确的， 与题设矛盾，故中奖的同学不是丁,综合 得：中奖的同学是甲,9 .地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是清洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中

7、国更是发展迅猛，在2014年累计装机容量就突破了100GW,达到114.6GW,中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据以上信息，正确的统计结论是（）近10年中国风力发电新增装机容量92A.截止到2015年中国累计装机容量达到峰值8. 10年来全球新增装机容量连年攀升C . 10年来中国新增装机容量平均超过20GWD.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过二【解答】解：由图1知没有在截止到2015年中国累计装机容量达到峰值，A错；由图2知，10年来全球新增装机容量起

8、伏，B错；由图 1 知，10 年中国新增装机总容量为13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1 = 197.7,则10年来中国新增装机容量平均为19.77GW, C错；故选：D.10 .已知抛物线y2=2px上不同三点 A, B, C的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（）A. A, B, C的纵坐标成等差数列B. A, B, C到x轴的距离成等差数列C. A, B, C到点O （0, 0）的距离成等差数列D. A, B, C到点F （色，0）的距离成等差数列【解答】 解：设 A (xi, yi) , B (x2, y2), C (x3,

9、 y3), 因为A, B, C的横坐标成等差数列，所以 2X2=X1 + X3,由抛物线的定义，得点 A, B, C到焦点F但，0)的距离 2|AF|=xi+L, |BF|=x2+.L, |CF|=x3+-2|BF|=2x2+p,|AF|+|CF|=xi+x2+p,又因为，得 2|BF|=|AF|+|CF|,所以A, B, C到点F 发，0)的距离成等差数列.故选：D.11 .已知函数f (x) = sinx+sin (就)，现给出如下结论：f(x)是奇函数； f (x)是周期函数；f(x)在区间(0,兀)上有三个零点；(x)的最大值为2.其中正确结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D.

10、4【解答】 解：因为 f ( x) = sin ( x) +sin (一伙)=sinx - sin (兀x) = - f (x) 所以f (x)是奇函数，正确.假设存在周期T,贝U sin (x+T) +sin (兀(x+T) = sinx+sin ux,sin (x+T) - sinx= - sin (兀(x+T) - sin ux,而凹.T o 2x+T . I 2兀工+兀T小所以 sin?cos sin?cos,2222,2兀工口灯2耳口+T存在 XOCR, 使得 cos=0, 而 cosW0,将 xoR, - sin?cos空号注=0,由于ss"明工#，生.XTl 故-sin

11、 2 = 0,所以 sin= 0, sin "1 = 0, 22TJET=k ti, -=m Tt, k, m CZ,22所以k兀=m,矛盾，所以函数f (x) = sinx+sin (兀x),没有周期，错误.f （x） = sinx+sin （兀x） = 2sin函数的零点为方程sin-2±x=一或x=2（"2k）五1-冗,xC （0,兀）=0,x=2元所以f (x)在区间(0,兀)上有三个零点；故 正确.假设存在这样的x0使得f (x)最大值为2,兀所以今一泳加=J+2k, kCZ,无解，故错误.,（k2）12.已知椭圆C的焦点为F1F2,过Fi的直线与 C交

12、于A,B两点，若|AF2|=|FiF2|="|BFi|则C的离心率为(B.V3c 1C- 2D.【解答】解：椭圆C的焦点为Fi, F2过Fi的直线与 C交于A, B两点，若|AF2|=|FiF2|=|BFi|=2c,所以 |AFi|=2a 2c|BF2|=2a-c,所以H（2a="）工,可得 2c2+9aC-5a2= 0即为 2x- y+1 = 0,故答案为：2x - y+1 = 0.14.若实数变量x, y满足约束条件<真+y<l ,且z=2x+y的最大值和最小值分别为 m和n,贝U m+n= 0 .【解答】解：作出可行域，如图所示，由z=2x+y可得y=-

13、2x+z,则z表示直线的纵截距，平移直线y= - 2x,结合图象可知，当 2=2*+丫过人（-1, - 1）时z取最小值-3,当z=2x+y过B （2,-1）时z取最大值3故 m+n= 0,【解答】解：: a= 1 ABC的面积为，则c=_cosC=4 sinC=Vl-co s2,可得absinC =V?V?ab,解得 ab=2,b = 2,由余弦定理可得 c=2tb2-2abcOSC=yi2+23-2XiX2x1=V2故答案为：V2.16.已知正三棱柱 ABC-AiBiCi的侧棱长为 m (mCZ),底面边长为 n (nCZ),内有一个体57兀积为V的球，若V的最大值为二兀，则此时三棱柱外接

14、球表面积的最小值为2【解答】解：当球能与三侧面相切时，底面内切圆的半径=-*,273由题意得：刍九3工，所以r=g, n=3/3, nCZ,不符题意；3 r 22当球与上下底面能相切时，r =生，回由题意得：刍五 由12二，所以=4 m=3,3 r 22此时，-M旦所以n的最小值为6.2设外接球的半径设为 R,则R2 = rnbn+1 ,即有 a2 = 2x (1+1) =4, n=2 时，a3b3=4b2+1,即有 a3+ (也)，外接球的表面积S= 4 tR2= 57兀.故答案为：57兀.三、解答题(共7题)17.已知数列an是等比数列，数列bn满足bi = b2=b3 =,an+1bn+

15、1 = 2nbn+1 .(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.【解答】解：(1)数列an是等比数列，数列bn满足b1 = b2,an+1bn+1=当 n = 1 可彳a a2b2= 2b1+1,可得等比数列an的公比为2,且 an=4?2n-2=2n;(2)由 an+1bn+1 = 2nbn+1 ,即 2n+1bn+1=2nbn+1 ,即有bn的前n项和为Sn= 1?772+n+14+3+n?g)+2?4相减可得Sn=2+ ()2222+n+13+ (二)nI可得2nbn为首项为1,公差为1的等差数列，可得 2nbn=1+n - 1 = n,贝U bn= n?(丁)n+1化简可得bn

16、的前n项和为2- (n+2)?“少年强则国强”，青少年身心健康、18 .党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长.体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面.全面实施国家学生体质健康标准，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求.国家学生体质健康标准有一项指标是学生体质指数(BMI),其计算公式为：二 体重，当bmi>23.5时认 身高,m?)为“超重”，应加强锻炼以改善 BMI .某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表(a).为了解这2000名学生的BMI指数情况，从中随机抽取容量为160的

17、一个样本.性别 男生女生合计年级高一年级5506501200高二年级425375800合计97510252000表(a)(1)为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数;(2)分析这160个学生的BMI值，统计出“超重”的学生人数分布如表( b).性别男生女生年级高一年级46高二年级24表(b)(i)试估计这2000名学生中“超重”的学生数；(ii)对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强.应用卡方检验，可依次得到K2的观察值ki, k2,试判断ki和k2的大小

18、关系.（只需写出结论）【解答】解：（1）考虑到BMI应与年龄或性别均有关，最合理的分层应为以下四层：（Wj "男生、Wj 一"女生、tWj二男生、tWj二女生；则高一男生抽取 f型Lx 160=44 （人），2000高一女生抽取 E!Lx 160 = 52 （人），2000高二男生抽取 BLx 160 = 34 （人），2000高二女生抽取160 = 30 （人）；（2） （i） 160 人中，“超重”人数为 4+6+2+4 = 16 （人），“超重”发生的频率为 0.1,用样本的频率估计总体的频率，估计这2000名学生中“超重”的学生数为2000X 0.1 =200 （人

19、）；（ii）应用独立性检验的知识，分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强，得出K2的观察值k1, k2,则k1和k2的大小关系为k1>k2.19 .如图，三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC, / APB = /ACB = 90°，点 E, F 分别是棱AB, PB的中点，点G是 BCE的重心.（1）证明：PEL平面ABC;（2）若GF与平面ABC所成的角为60° ,且GF = 2,求三棱锥P - ABC的体积.【解答】解：（1）证明：PA=PB, E是AB的中点，PEXAB,. /ACB=90° , E 是 AB 中点，EC=EA,

20、PC= PA, PE=PE,PECA PEA, ./ PEC=Z PEA=90° , PEL EC,. ABnEC=E, . PE，平面 ABC.(2)解：连结CG,并延长，交 BE于点O,则点。为BE的中点，连结 OF, .F是棱PB的中点，OF II PE,由(1)得OF，平面ABC,，/ FGO是GF与平面 ABC所成角，/ FGO=60° ,在 RtAFGO 中，GF = 2, . OG= 1, OF=/3, G是 BCE的重心，O, F分别是BE, BP的中点， .OC=3, PE = 2>/3,. PA=PB, Z APB=Z ACB = 90°

21、 , E, F 分别是 AB, BP 的中点， AB=4a,CE=2后，OE = «,则在 CEO 中，OE2+OC2= (V3) 2+32= 12= ( 2/3) 2=CE2, . OCAB, 二三棱锥P-ABC的体积：v=Tsaabc 'FE= 知'F E=惠力, 3 2炳=12 .20.在平面直角坐标系 xOy中，已知两定点 A(- 2, 2), B (0, 2)动点P满足嵯L =/2 .(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上有两动点E, F,它们关于直线l: kx+y-4=0对称，且满足无研 =4, 求 OEF的面积.【解答】解：(1)设动点P的坐标为(

22、x, v)则型一=阪FB一-0(厂 2 整理得(x-2) 2+ (y- 2) 2=8,故动点P的轨迹C的方程是以(2, 2)为圆心，半径 为2 .一的圆.(2)二轨迹C上有两动点 巳F,它们关于直线l: kx+y-4=0对称；所以圆心(2, 2)在kx+y - 4= 0上，代入求得k= 1,故直线方程为：x+y - 4= 0;易知OC垂直于直线 L,且OC=R;设ef的中点为m,则丽?5F=(际+血)？(而十而)=(赢+而b?(6S-瓦)=国2 从铲=4;又请=夜+方忆R2+回2，记2 = R2一回2；，2&2=4, |而尸&，|血尸而匚需=必，而42|ME|= 2叵.易知 O

23、C II EF,O到直线EF的距离等于CM ,Saqef =1x2/6x72=2/3.21.已知函数f(x)= 1 - 2asinx-ex,(»是£(»的导函数，且f'(0)=0.(1)求a的值，并证明f (x)在x= 0处取得极值；(2)证明：f (x)在区间2k%, 2k兀/匚(kCN)有唯一零点.2【解答】 解：(1) f' (x) = - 2acosx+e x,令 f' ( 0) = 0,得-2a+1 =0,自= .f (x) = 1 - sinx- e x, f' (x) = - cosx+e x= e x (1 - ex

24、cosx),当 xv 0 时，e x> 1 >cosx, f' (x) = - cosx+e x>0,故 f (x)在(-°0,。)单调递增；当 x>0 时，令 g (x) =1excosx,则 g' (x) = ex (sinx-cosx),在区间(0,)上，4g' ( x) v 0,故g (x)是(0,上的减函数， g (x) vg (0) =0,即在区间(0,工)上 f' (x) = e xg (x) < 0,4 .f (x)是to, 工)上的减函数，4综上所述，f (x)在x= 0处取得极大值f (0) =0;(2

25、)证明：由(1) f (x) = 1 sinx- e x,TT_(如 n -4)f(2kTt) =1-e 2k»0, f(2k兀r)*e 2 <0,f (x)在区间2k %, 2k (kCN)至少有一个零点，2以下讨论函数f (x)在区间2k %, 2k兀$上函数值的变化情况：由(1) f'(x)= cosx+ex= e x (1 excosx),令 g(x)= 1 excosx,贝Ug'(x)=ex (sinx - cosx),令g' (x) =0,在(0, +8)上，解得元力冗4，mEN，当k=。时，在区间s,上，g' (x) <0,

26、g (x)递减，式二)晨二口；在44区间(JL, 二)上，g' (x) >o, g (x)递增，鼠 1ilLi故存在唯一实数.E =,.)，使得g (xo) =0,即严3/二。式4)二" -L.14故在(0, xc)上，f (x) V0, f (x)递减，f (x) vf (0) =0；在(5,二)上，f'IT(x) >0, f (x)递增，而 f(-)=_e 2 Vo,故在0,上f (x) & 0,当且仅当x=0时，f (0) = 0,故f (x)在0, 上有唯一零点；对任意正整数k ,在区间(2k兀，2k冗J'或 GX0,4Q递减， 4

27、g(2k兀<吕(2k冗)二1 一已2卜“ <。，在 区 间(2攵兀 4，2k兀4)，葭(冥)>0.式k)递增，式法冗修)=1>0,7TTT故存在唯一实数 网(2及冗。一，2k冗七1)，使得g门切=0, K42即针(n)二J%式4)二0,在(2k兀，xk)上，因为g (x) <0, TLX*L故 f'( x)v 0,f(x)递减，在2k兀上，因为 g(x)> 0,故 f'(x)>K 2叮 一 (2k Rd)0J门)递增，式2上冗>>一须71>0, f(xJ<f(2kH+2L>.e 2 <0 Kzf (2

28、kTt) f (xk) <0,ITf (x)在(2kTt, xk)即2k", 2kn力有唯一零点，综上，f (x)在区间2kTt, 2k兀+3(kCN)有唯一零点.P 直二 4m222 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数).y=4m(1)写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；(2)已知倾斜角互补的两条直线11, 12,其中11与曲线C交于A, B两点，12与C交于M, N 两点,11 与 12 交于点 P (x0, y0),求证：|PA|?|PB|= |PM|?|PN|.【解答】解：(1)解：由y=4m,得m=1_,代入 x=4m2,得 y2=4x,曲线C的普通方程为y2=4x,.C的普通方程为y2=4x,表示开口向右，焦点为 F (1, 0)的抛物线.(2)证明：