韦达定理的应用与提高自招题集

1、应用题 例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售 30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量 减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100 元，问衬衫降价多少元2. 某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不 得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg;单价每 千克降低一元，日均多售2kg。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按 一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价3. 某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500元

2、，销售价为625元，经市场预测，该产品销 售价第一个月将降低20%第二个月比第一个月提高6%为了使两个月后的销售利润达到原来水平， 该产品的成本价平均每月应降低百分之几？根的判别式1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程 ax2+bx+c=0中，若a0，bv0，cv0,则这个方程根的情况是（ ）A. 有两个正根B. 有两个负根C有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大【分析】根据根的判别式厶=b2- 4ac的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况.【解答】解：a0，bv0，cv0， =b2- 4ac0, 0?方程有两个不相等的实数

3、根；（2） =0?方程有两个相等的实数根；（0?方程没有实数根.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析1、定义：若X1，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a工0）的两个根，则有x1+x2=-，aX2=c。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,则有X1+%=-p，X2=qa2、应用的前提条件：根的判别式0 方程有实数根。3、若一个方程的两个为xi, X2，那么这个一元二次方程为 ax 2+(Xi+X2)x+xi w=O(a工0)4、根与系数的关系求值常用的转化关系：2 2222b 2c b 2ac Xi +X2 =(Xi+X2)-2X1X2二-=2a a a

4、 1 丄 & X2bX1 X2X-|X2c (x i +a)(x 2+a)=x iX2+a(x i +x)+a = -b+aa2 (xi-x 2)2=(x 1+X2) 2-4x 1x2= b -24aca5、方法归纳：(i) 一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方I I程，即az0,且必须有实数根，即0;(2) 运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论；八 .y11 /(3) 一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意 观察所求代数式是特点。(4) 解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的

5、式子，再通过韦达I 定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。6、一元二次方程的根与系数的关系的应用：(i)不解方程，判别一元二次方程两根的符号。(判别根的符号，需要把“根的判 别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若兀三v 0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若 ；“ 0,仍需考虑十-的正负，方可 判别方程是两个正根还是两个负根。)例：不解方程，判别方程1 -两根的符号。精心整理方程有两个不相等的实数根。7旳-眄二一一设方程的两个根为 ,- 0I I1 1又、是方程,一的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：假设宀、门同号，则

6、有两种可能： I（）：，（2）| 二j 1蚣 +01 1 2若心 ；（啟1） 0即有：14解这个不等式组，得-W :时方程才有实树根，此种情况不成立。Xj + xa 0若可沁心0 ,则有：LW可 Q（战-1） 0 0即有:1.4解这个不等式组，得.;m w? - 1 B. kv0C.- 1vkv0 D.- 12;-K2m- 2nW 1,其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（4）运用根与系数的关系求代数式的值例：已知一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根分别为X1，X2，求（X1-X2） 2的值解：由题意及韦达定理得：X1+X2=- （ - - ） =3，X1X2=

7、-2 2 2二（X1-X2）2=（X1+X2）2-4x 1X2= （ - ） 2-4 X - =12 24（ X1-X 2）2 的值是4精心整理(5) 运用根与系数的关系解决几何问题例：在 ABC中，若/ C=90 AB=5 AG BC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0的两个实数根，求k的值和 ABC的面积解：T AC+BC=25/. (AC+BC2-2AC - BC=25v AC+BC=2K+3,ACBC=K+3K+2(2K+3)2-2(K2+3K+2)=25整理，得 k2+3k-10=0解得 ki=-5,k 2=2v AC+BC=2K+30 k -1.5,

8、 k=2 - Sa abc= -AC- BC(K2+3K+2)=62 2【要点讲解】1. 求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。白+总例1若a, b为实数，且以+力斗心。，斗动彳i = d，求石十云的值。思路注意a, b为方程 宀宀1 -的二实根；(隐含丄)。解(1)当a=b时，(2)当左时，由已知及根的定义可知，a, b分别是方程的两根, 由韦达定理得-= 0 C2 0，故c=0,从而-。这表明有两个相等实根，即有 a=boI 说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式丄亠可得 ：； - J，即a=bo此方法较第一种烦琐，且

9、需一定的跳跃性思维。5.求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程(组)中也有着许多巧妙的应用例 6 解方程 r f。解：原方程可变形为+ 7)3 (tir + 8)(fir+ fi)- 72令血偸*8）他十说十卜匕)1 a (-1) -72 o由韦达定理逆定理知，以a,b为根的一元二次方程是解得二一，-s即a=8 或 a=9。口 = g-3儆斗护=口 通过I-1求解X结果相同，且严谨。+7)3 S（舍去）。工=_2解之得 匚。此种方法应检验：I,1是或否成立强化训练 1.若k为正整数,A级且方程11 r ：1 厂|有两个不等的正整数根，则k的值为 2.若411r + ll5

10、= 0 ,= (x，则 3.已知“和彳是方程，- - I的二实根，则!；、 4.已知方程- 一 LI （m为整数）有两个不等的正整数根，求m的值。2 5.已知：乂和宀为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且求证：厂，厂是方程11的实根。 6.已知关于x的方程-“ =-的二实根二：和人满足，试求k的值。参考答案1. 2_ 12 _ 6提示：原方程即1）一切壯-1）工卜0,所以引 F厂齐I 由知k=1 , 2, 3, 5, 11;k=2。一忙知k=2, 3，4，7。所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。故+2.提示：由x, y为方程的二根，知二，厂。于二i. w)I - V 1

11、 是庚式一士蔦曲 43. 21提示：由 T1， 一 + 1知,2rf +5x (ij + l)a + SxJrj +1) 2耳心十1十十1十 乳巾+ C+ 5氐=+ 4i +10j 十 5-6(乃 +1) + 4 +1 (ka 十 5-10( + 勺)十L = 214.设二个不等的正整数根为二：，上：，由韦达定理，有消去m,得ZH。故，J l：-1 1 I。5.由韦达定理有一一，；一丄。二式相减得将: -代入有 */ ； ! ?，1从而CS+i-33 )4-1-0=0同理 一-和二是方程.的根。6 当 时，可知1,所以14 k 3 12 k 2，当时，易证得飞。从而二上,为方程二二L的二不同实

12、根。+a =3=k，I。于是-_ = 1 fc=j5a = M3=|-， .。 k=-? -3? -hl = O当 1时，方程为x-土解得ab;（3） xj+x?2a2+b2,则正确结论的序号是_.（在横线上填上所有正确结论的序号）13. （2001?呼和浩特）如果关于x的一元二次方程2x2- 2x+3m- 1=0有两个实数根X1, X2，且它们 满足不等式 H 0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理 由.一元二次方程韦达定理应用作业一.选择题（共16小题）1 .若方程x2-（吊-4） x+m=0的两个根互为相反数，贝U m等于（）fy I JA.- 2 B . 2 C. 土 2 D

13、 . 42. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为（）A.- 4 B . 2 C. 4D.- 33. 设a, b是方程x2+x- 2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）I A. 2014 B. 2015C. 2016D. 20174. 一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0, bv0, cv0,则这个方程根的情况是（）A. 有两个正根B. 有两个负根C有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大5 .已知m n是方程x2+3x - 2=0的两个实数根，则ni+4m+n+2m的值为（）A. 1B. 3 C.- 5 D . - 96. 已知关

14、于x的一元二次方程x2+mx- 8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为（）7.儿一次方程x2+x - 1=0的两根分别为X1, X2，则=(A.8.12关于x的方程x2+2 （k+2） x+k2=0的两实根之和大于-4,则k的取值范围是（B. 1 C. D. 口2A.k- 1 B. kv0C.- 1vkv0 D.- 12;-K 2m- 2nW 1,其中正确结论的个数是（）A . 0个B. 1个C. 2个D. 3个15 .（非课改）已知a,B是关于x的一元二次方程x2+ （2m+3 x+m=0的两个不相等的实数根，且满足丄十=-1,则m的值是（）A . 3B. 1C. 3 或-1 D

15、 . - 3 或 116 .设a, b是方程x2+x- 2011=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A . 2009 B . 2010 C. 2011D. 2012二 .填空题（共30小题）17 .已知：一元二次方程x2- 6x+c=0有一个根为2,则另一根为.18 . 一元二次方程x2+x- 2=0的两根之积是.19 .若a、B是一元二次方程x2+2x - 6=0的两根，贝U a 2+B 2=.20 . 一元二次方程 x2+mx+2m=的两个实根分别为 X1, X2，若X1+X2=1，贝U X1X2=.2 21 .已知m n是关于x的一元二次方程x - 3x+a=0的两个解，若（m-

16、 1）（n- 1） =-6,则a的 值为.精心整理22某学生在解一元二次方程x2-2x=0时，只得出一个根是2,则被他漏掉的另一个根是x=_23. 已知a，b是方程x2- x - 3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为.24. 已知关于x的方程x2- 2ax+a2 - 2a+2=0的两个实数根Xi, X2，满足x：+X22=2,则a的值是,25. 如果方程(x - 1)( x2 - 2x) =0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取4值范围是_.26. 方程x2- 3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2 - 4a- b的值为.27. 已知a+b=3, ab=- 7,则代数式2a2+b2+3b的值为.28. 已知xi, X2是关于x的方程x2+nx+n-3=0的两个实数根，且Xi+X2=-2,则xiX2=.29. 已知实数 a b,且满足(a+1) 2=3 - 3( a+1) , 3 (b+1) =3 - (b+1) 2.则的值为,30. 已知m n是方程x2+2x- 5=0的两个实数根，则 吊-mn+3m+n=_.31. 阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为xi, X2，则两根与方