第二节基本的导数公式与运算法则ppt课件

1、第二节第二节 根本的导数公式与运算法那么根本的导数公式与运算法那么 一、函数和、差、积、商的求导法那么一、函数和、差、积、商的求导法那么定理2.2 假设函数 xxvxu在与)()(处可导，那么函数 )()(xvxuy在点x处也可导，且有 )()()()(xvxuxvxu3ln2sinxxyx例设y求,解：) 3 ()(ln)2()(sinxxyx012ln2cosxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxx12ln2cos定理2.3 假设函数 xxvxu在与)()(处可导，那么函数 )()(xvxuy在点x处也可导，且有)()()()()()(xvxuxvxuxvxu例求xxxy4cos3

2、的导数 解：)4()cos(3xxxy)( 4)(coscos)(33xxxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 2132214)sin(cos3xxxxx21322sincos3xxxxx定理2.4 假设函数 xxvxu在与)()(处可导，且 0)(xv那么函数 )()(xvxuy在点x处也可导，且有)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu例求正切函数xytan的导数 解：)cossin()(tanxxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 2)(cos)(cossincos)(sinxxxxxxxxxx2cos)sin(sincoscosxx22seccos1类似地可求得

3、 xxx22cscsin1)(cot机动 目录 上页 下页 前往 终了 例设,ln)(2xxxf)(ef 求解：422)(ln)(ln)(xxxxxxf 342ln212ln1xxxxxxx于是 31)()(exfefex机动 目录 上页 下页 前往 终了 二、反函数的求导法那么二、反函数的求导法那么 定理2.5 设函数 )(yx在某一区间内单调、可导， 0)( y且，那么它的反函数 )(xfy 在对应区间内也单调可导，且有 )(1)(yxf例求反正弦函数xyarcsin的导数 解：设yxsin为知函数，那么 xyarcsin是它的反函数。由于 yxsin2,2在内单调、可导，且 , 0cos

4、)(sinyy)1 ,1(arcsin在因此y内单调 机动 目录 上页 下页 前往 终了 可导，且有 )(sin1)(arcsinyxycos1y2sin11211x211)(arcsinxx即类似地可得 211)(arccosxx机动 目录 上页 下页 前往 终了 三、复合函数的求导法那么 定理2.6 设函数 )()(xuufy与构成了复合函数 可导在点若xxuxfy)()()(ufy在对应点 u处可导，那么复合函数在点 x处也可导，且有 )()()(xufxfdxdududydxdy或记为复合函数的求导法那么可以推行到恣意有限个函数构成 的复合函数，例如设 )(),(),(xvvuufy构

5、成复合函 机动 目录 上页 下页 前往 终了 数，且它们都可导，那么 )(xfy也可导，且 dxdvdvdududydxdy)()()(xvuf例设yxy求,1sin解：复合而成由xuuyxy1,sin1sin于是由于,1,cos2xdxduududy机动 目录 上页 下页 前往 终了 )1(cos2xuyxxxx1cos1)1(1cos22例设dxdyefyx求),(2)(2) 2()()2()()()()(222222222xxxxxxxxxefeeefxeefeefefdxdy解：机动 目录 上页 下页 前往 终了 为了便于记忆和运用，我们列出一切根本初等函数的求导公式与导数运算法那么如

6、下：)(0)() 1 (为常数cc )()()2(1是实数uxxxxxxeeaaa)(ln)() 3 (xxaxxa1)(lnln1)(log) 4(xxcos)(sin) 5 (机动 目录 上页 下页 前往 终了 xxsin)(cos)6(xxx22cos1sec)(tan) 7(xxx22sin1csc)(cot) 8 (xxxtansec)(sec)9(xxxcotcsc)(csc)10(211)(arcsin)11(xx机动 目录 上页 下页 前往 终了 211)()12(xarccox211)(arctan)13(xx211)cot()14(xxarcvuvu )()15()()(

7、,)()16(为常数cuccuvuvuvu 机动 目录 上页 下页 前往 终了 ) 0( ,)()17(2vvvuvuvu)(),(),()()18(xuufyxufdxdy其中例设)(,)212()(xfxxxfn求211)2 ()2 () 12 ()2 (12212212212)(xxxxxxxnxxxxnxfnn解：机动 目录 上页 下页 前往 终了 1121)2() 12(5)2(5212nnnxxnxxxn作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216(3)(5),17,18机动 目录 上页 下页 前往 终了 机动 目录 上页 下页 前往 终了 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，且可导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处处（ ）（1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；正确地选择是正确地选择是3例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)( 在在 处可导，处