第五两个重要极限与无穷小的比较ppt课件

1、第五节第五节 两个重要极限与两个重要极限与 无穷小的比较无穷小的比较一、极限存在准那么一、极限存在准那么二、两个重要极限二、两个重要极限三、无穷小的比较三、无穷小的比较注：准那么1 夹逼准那么对 A=也成立。一、极限存在准那么准那么准那么1 (1 (夹逼准那夹逼准那么么) ) 假设对自变量x的某个变化过程， f (x)、g (x)和h(x) 满足以下条件: :)(；从某时辰起)()()(xhxfxg (1)(1),)(lim)(limAxhxg= = =有，对此过程(2)(2) 那末Atf= =)(lim例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnn

2、nnnn111limlim2 = = 又又, 1= =22111lim1limnnnnn = = , 1= =由夹逼定理得. 1)12111(lim222= = nnnnn二、两个重要极限二、两个重要极限第一个重要极限第一个重要极限1sinlim0= =xxx)00( 型型)20 (,p p = = xxAOB圆心角证：证：,O设单位圆ACxoBD作单位圆的切线,AOCD D，得于是由AOBxsin21的面积D DOBAx21的面积扇形,tan21xAOC的面积D D 证毕。证毕。, cos sintansinxxxxx=得, 1sincosxxx即也成立,此式对于x 02 p p- -时成立

3、。从而当20p px,xcoslimx10= =又又所以. 1sinlim0= =xxx注：在求与三角函数比有关的 极限时常用到此极限。)00(型型220)2(2sinlim21xxx= =20)22sin(lim21xxx= =.21= =解例6 求)n(m, nm tanlim 0 Zxxx解= = nm tanlim 0 xxx nm /cosm sinlim0 xxxxxxxxx coslim /nm sinlim00= =xxxxx coslim /mm sinlimnm00= =。nm= =)00( 型型)00( 型型例5.cos1lim20 xxx- -求x2202sin2lim

4、xx= =原式例7 求 arcsinlim 0 xxx解 sinlim0yyy arcsinlim 0 xxx. 1= =xy sin arc= =例8 求解 2sin2lim 1nnnx- - 0lim n.2x ) 2 /2sinlim2 nnnxxx( ; 0= = ).( 2 2sin2lim 1xxxnnn = =- - )00( 型型)0(型型 00= =, 0 时当= =x= =原式, 0 时当 x= =原式x1x2x3x1 nxnx定义：定义：满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调添加单调添加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释

5、几何解释:AM注注: : 此准那么只给出了极限存在的充分性条件，并此准那么只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在知极限存在时常可以没有给出极限是什么。但是，在知极限存在时常可以经过一些方法求出极限特别是由递推公式给出的数经过一些方法求出极限特别是由递推公式给出的数列的极限问题。列的极限问题。exxx= = )11(lim第二个重要极限第二个重要极限)(1 型型 请共同看第请共同看第17页的表格，察看其趋势。页的表格，察看其趋势。tttxxtxx)11(lim)1(lim110 = = = =exxx= = 10)1(lim. e= =此外，因此外，因故还有故还有注：注：

6、常用此极限求幂指型函数的常用此极限求幂指型函数的 极限。极限。例例1111.)11(limxxx- - 求求解解xxx- - - - = =)11(1lim1)11(lim- - - - - = =xxx原式原式.1e= =例例1212.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim- - = =xxxx原原式式.2e= =)(1 型型 )(1 型型 )(1 型型 例例1313xxx21lim0 求求解解= =原式原式xxx1)21(lim0 )(1 型型 2021)21(lim = =xxx20)21(lim(21xxx = =.2e= =例例1414xxx csc0)

7、sin1(lim 求求)(1 型型 解解= =原式原式xxx sin10) sin1(lim xt sin= =ttt10)1(lim . e= =三、无穷小的比较三、无穷小的比较无穷小之比的极限无穷小之比的极限0/0可以出现各种情况：可以出现各种情况：出现不同情况的缘由是无穷小趋向于零的速度不同出现不同情况的缘由是无穷小趋向于零的速度不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx ; 2快得多快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0= =, 1= =xx1sinli

8、m0= =.不不存存在在察看各极限察看各极限型）型）（0020limxxx; 2慢慢得得多多比比 xx, = =；记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比，称称如如果果)(,0lim)1( o= = =定义定义: :.,穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设 ;,0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与称称如如果果 = = C.;1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与，称称如如果果特特殊殊地地，= =;lim)(低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比，称称如如果果 = =，03lim20= =xxx，1sinlim0= =xxx高高阶阶的的无无穷穷小小，是是比比时时，

9、当当xxx302；即即)0( )3(2= =xxox).0( sinxxx例例1例例.1lim0 xexx- -求求解解xexx1lim0- -1- -= =xeu)1ln(lim0uuu uuu10)1ln(lim1 = =eln1= =. 1= =常用等价无穷小常用等价无穷小: :时时，当当 0 x，xxxxxx)1ln(arctanarcsintansin )0(1)1(,21cos1,12 - - - - -aaxxxxxeax.1)1ln(0 xexxxx- - ，时时，当当例例3 3 求极限求极限解解30 xxxxsintanlim- -)cos1sincos1(lim20 xxx

10、xxx- - = =,21= =2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx- - = =30 xxxxsintanlim- -四、等价无穷小代换四、等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim, = = 则则设设证证 lim)lim( = = = =limlimlim.lim = =证毕证毕注注 可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小交换交换后，分子、分母中的因子可用等价无穷小交换交换后极限情况不变。极限情况不变。例例5 5.cos12tanlim20

11、xxx- -求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx- - 时时当当22021)2(limxxx= =原原式式. 8= =例例6 6.) cos1(2sin lim20 xxarcx- -求求解解 = =) cos1(2sin lim20 xxarcx- -) cos1(2lim20 sin arcxxxxx- -= =) cos)(1 cos1(2lim0 xxxx - -= =xxxxx cos11lim) cos1(2lim00 - -= =) cos1lim(1lim020 x cos1221xxxxxx = =- -例例7 7.2sinsintanlim30 xxxx- -求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当30)2(limxxxx- -= =原原式式. 0= =解解)cos1(tansintanxxxx- -= =