2020年高考数学(理)之纠错笔记专题13概率(含答案)

1、专题13概率易错点1忽略概率加法公式的应用前提致错工供御份面某商店日收入(单位：兀)在卜列范围内的概率如卜表所示日收入1000,1500)1500,2000)2000,2500)2500,3000)概率0.12ab0.14已知日收入在1000,3000)(元)范围内的概率为0.67，求月收入在1500,3000)(元)范围内的概率.【错解】 记这个商店日收入在1000,1500) ,1500 ,2000),2000 ,2500) ,2500 ,3000)(元)范围内的事件分别为A,B,C,D,则日收入在1500,3000)(元)范围内的事件为 B+C+D,所以 P(B+C+D )=1-P(A)

2、=0.88.【错因分析】 误用P(B+C+D )=1-P(A).事实上，本题中P(A)+P (B) +P (C) +P (D) w ,故事件A与事件B+C+D 并不是对立事件.【试题解析】因为事件A,B,C,D互斥，且P(A)+P (B) +P (C) +P (D) =0.67, 所以 P(B+C+D )=0.67-P(A)=0.55.In易错点击|在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件.对于事件A, B,有P(AUB) P(A) P(B),只有当事件A, B互斥时，等号才成立.,即时巩固1.已知射手甲射击一次，命中 9环(含9环)以上的概率为 0.56,命中8环的

3、概率为0.22,命中7环的概 率为0.12.(1)求甲射击一次，命中不足 8环的概率；(2)求甲射击一次，至少命中7环的概率.【答案】(1)甲射击一次，命中不足 8环的概率是0.22.(2)甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9【解析】记 甲射击一次，命中7环以下”为事件A,则P (A) = 1 -0.56- 0.22- 0.12 = 0.1,甲射击一次，命中 7环”为事件B,则P (B) =0.12,由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，(1)甲射击一次，命中不足 8环”的事件为A+B,由互斥事件的概率加法公式，P (A+B) = P (A) +P (B) =0.1+0

4、.12 = 0.22.答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22.(2)方法1：记 甲射击一次，命中8环”为事件C,甲射击一次，命中 9环(含9环)以上”为事件D,则 甲射击一次，至少命中 7环”的事件为B+C+D,P (B+C+D) = P (B) +P (C) +P (D) = 0.12+0.22+0.56 = 0.9.答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9.方法2: 甲射击一次，至少命中 7环”为事件A， P A 1 P A 1 - 0.1 = 0.9.答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9.【名师点睛】本题考查概率的求法，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对

5、立事件的概率的求法.易错点2混淆“等可能”与“非等可能”55名男生和3名女生中任选1人去参加演讲比赛，求选中女生的概率1【错解】 从8人中选出1人的结果有 男生“女生”两种，则选中女生的概率为2.【错因分析】因为男生人数多于女生人数，所以选中男生的机会大于选中女生的机会，它们不是等可能的【试题解析】选出1人的所有可能的结果有 8种,即共有8个基本事件，其中选中女生的基本事件有 3个，故选中女生的概率为3. 8易错占总利用古典概型的概率公式求解时，注意需满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）试验的每个基本事件是等可能发生的.2. 2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月

6、7日在北京市延庆区举办.如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为B.C.D.116【解析】可能出现的选择有 4种，满足条件要求的种数为 1种，则P工，故选B. 4【名师点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解，难度较易.古典概型的概率计算公式:（目标事件的数量）（基本事件的总数）.错点3几何概型中测度的选取不正确 侠1®面在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C.（1）在斜边AB上任取一点 M,求AM<AC的概率；（2）在/ ACB的内部，以C为端点任作一条射线 CM,与线段AB交于点M,求AM<

7、;AC的概率.【错解】（1）如图所示，在AB上取一点C',使AC'=AC,连接CC'.由题意，知AB=v2AC.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P AM ACAC _AC_ 立AB ，2AC 2（2）在/ ACB的内部作射线 CM ,则所求概率为ACABAC 2AB 2【错因分析】 第（2）问的解析中错误的原因在于选择的观察角度不正确，因为在/ ACB的内部作射线CM是均匀分布的，所以射线 CM作在任何位置都是等可能的，则涉及的测度应该是角度而不是长度【试题解析】(1)如图所示，在AB上取一点C'

8、,使AC'=AC,连接CC'.由题意，知AB=v2AC.由于点M是在斜边AB上任取的，所以点M等可能分布在线段 AB上，因此基本事件的区域应是线段AB.所以P AM AC(2)由于在/ ACB内作射线CM,等可能分布的是 CM在/ACB内的任一位置(如图所示),因此基本事件的区域应是/ ACB,1°°°又 ACC (180 45 ) 67.5, 2ACB90°,汇,C AM ACACC的角度所以 P AM AC ACB的角度67.5°-90工易错支击对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型

9、概率公式.(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.1 A.41 C.3Q以x,3.如图，在直角梯形 ABCD中，AD CD 2 , B是OC的中点，若在直角梯形 ABCD中投掷一点P(x,y),B.D.由题意，得 x 2, y 2,故2为三角形的最长边长,y, 2为三边

10、构成的三角形为钝角三角形,即以原点为圆心，半径为2的圆,pS/X AOB6弟形ABCD1,故选C.3特制棍醒(i)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关;(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作 为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题.易错点4错解随机变量的取值概率而致错A3且 P(X 0)-3 A6211 p/V 1 A4A25, P(X 1) K且 P(X 0)Cc6从4名男生和2名女生中任意选择 3人参加

11、比赛，设被选中的女生的人数为(2)求所选女生的人数至多为 1的概率.【错解】(1)由题设可得 X的可能取值为0, 1, 2,13-,P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1)-, 55所以X的分布列为X012P1135552(2)所选女生的人数至多为 1即随机变量的取值为 X 1 ,其概率为P(X 1) P(X 0) P(X 1)-.【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误，事实上随机变量X服从参数为N 6,M 2, n 3的超几何分布.【试题解析】(1)由题设可得 X的可能取值为0, 1, 2,P(X35'C1 C21) CCC62 1P(X 2)器C61 5,所以

12、X的分布列为X012131P5554(2)所选女生的人数至多为 1即随机变量的取值为 X 1 ,其概率为P(X 1) P(X 0) P(X 1)5即时巩固4 .某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为1 一，一 - 一1 .现有10件产品，其中7件是一等品，3件是二等品.2A,求事件A发生的概率;(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X,求X的分布列.【答案】(1)7 ; (2)分布列见解析.8【解析】(1)1 37由题可信P(A) 1 (一),28所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为(2)由题可知X的所有可能取值为0,123.

13、P(Xc30)途C301 120'P(X1)CC(1)随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件P(X2)C3C22140'P(X 3)C7C30724则随机变量X的分布列为易错点5对超几何分布的概念理解不透彻而致错盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再X0123P11207402140724取一个零件，直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数X的分布列.【错解】由题意可知，X服从超几何分布，其中 N 12, M 3, n 3 ,所以在取得正品之前已取出次品数X的分布列为P(Xk)k 3 kC3c9C2(k0,1,2,3)

14、,所以已取出次品数X的分布列为X0123P21272715555220220【错因分析】 错解中未理解超几何分布的概念.本题是不放回抽样，“X 1 ”表示“第一次取到次品，第二次取到正品” ，“X 2”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品” ，属于排列问题.而超几何分布是 一次性抽取若干件产品，属于组合问题.【试题解析】 由题易得X的可能取值为。，1, 2, 3.所以已取出次品数X的分布列为X0123P39914442202201P(X 0)P(X 1)P(X 2)P(X 3)C93C2 4,c3 c 9_9a2244 'A2c99a32220a3c9i4-A12220易错点、击求随

15、机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识，求出随机变量每个取值的概率，注意概率的取值 范围(非负)，在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验. 即时巩固5 .某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排生活趣味数学和校园舞蹈赏析两场讲座.已知A、 B两学习小组各有 5位同学，每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听生活趣味数学，其余4人选听校园舞蹈赏析；B组2人选听生活趣味数学，其余3人选听校园舞蹈赏析.(1)若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率；(2)若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听生活趣味数学的人数，求 X的

16、分布 列和数学期望E X .(1) 21 ； (2)见解析.40【解析】(1)设 选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析”为事件M ,C2C321"CT 40'21答：选出的3人中恰有2人选听校园舞蹈赏析的概率为 2140(2)X可能的取值为0,1,2,3c2c2_9C2 c550 'c1c1C+c2c12c3C2C21225'cic14c2iC2C2253X 1 P X 3 一10所以X的分布列为:X0123P9501225310125所以X的数学期望为:501里25103 25【名师点睛】本题主要考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与

17、数学期望,属于中档题.(1)利用相互独立事件与古典概率计算公式即可得出;(2) X可能的取值为0,1,2,3,利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与 数学期望.*,易错A击掌握离散型随机变量的分布列，须注意:(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量 X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量 X的值的事 件发生的概率.看每一列，实际上是上为 事件”，下为 事件发生的概率”，只不过 事件”是用一个反映其结 果的实数表示的.每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.易错点6混淆互斥事件与相互独立事件而致错>

18、»甲投篮命中率为 0.9,乙投篮命中率为 0.8,每人投3次，两人都恰好投中 2次的概率是多少?【错解】设“甲恰好投中2次”为事件A, “乙恰好投中2次”为事件B, 则“两人都恰好投中 2次”为事件AUB ,2_2_2_2一一所以 P(AUB) P(A) P(B) C30.90.1C30.80.20.627.【错因分析】产生错解的原因是把相互独立事件同时发生当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中 2次”与“乙恰好投中 2次”的和.【试题解析】设“甲恰好投中2次”为事件A, “乙恰好投中2次”为事件B ,且A, B相互独立，则“两人都恰好投中 2次”为事件AB

19、,2_2_2_2_所以 P(AB) P(A)P(B) C30.90.1C30.80.20.093312.1 .运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立.2 .独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验 中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件.即时巩固6.甲射击时命中目标的概率为0.75,2乙射击时命中目标的概率为 一，则甲乙两人各自射击同一目标一次,3则该目标被击中的概率为B. 111D.12【解析】记事件 A:甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中,则事

20、件A:甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标,321由独立事件的概率乘法公式得 P A 1-1-一,4312111P A 1 P A 1 一 一，故选 D.12 12【名师点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题，纠，错n笔记一、随机事件与概率1 .事件关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定 所给事件的关系.2 .基本事件个数的计算方

21、法列举法；(2)列表法；利用树状图列举.3 .求互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)=1 P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是至多“至少”型题目，用间接求法往往会较简便.二、古典概型1 .求古典概型的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数 n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数 m.(3)代入公式P(A)=m，求出P(A).2 .基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型.(2)列表法：此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验，也

22、可看成是坐标法.3 .求与古典概型有关的交汇问题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.三、几何概型1. 求解与长度（角度）有关的几何概型的方法求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度 ） 然后求解，要特别注意 “长度型 ”与 “角度型 ”的不同解题的关键是构建事件的区域（长度、角度）2求解与体积有关的几何概型的方法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间 ）以及事件的体积（事件空间 ） ，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求

23、3 求解与面积有关的几何概型的方法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解四、离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略（1） 与排列组合有关分布列的求法可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列（2） 与频率分布直方图有关分布列的求法可由频率估计概率，再求出分布列（3） 与互斥事件有关分布列的求法弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列（4） 与独立事件（或独立重复试验）有关分布列的求法 先弄清独立事件的关系， 求出各个概率， 再列出分布列（5） 超几何分布的特点超几何分布

24、描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.五、n次独立重复试验与二项分布1 .条件概率的两种解法(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A) = P(AB)求 P(B|A). P(A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数 n(A).,再求事件 AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)由竺2.n(A)2 .求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相

25、互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.3 .古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(BA)=PAB) 及俎，其中，在实际应用中P(A) n(A)P(B|A)= n& 是一种重要的求条件概率的方法. n(A)4 .相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)= P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AU B) = P(A)+P(B).5. n次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次可看作是C：个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A

26、事件与nk个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1p)k.因此n次独立重复试验中事件 A恰好发生k次的概率为Cnpk(l - p)n k.1. (2019年高考浙江卷)设 0vav1,则随机变量 X的分布列是X0a1111P333则当a在(0, 1)内增大时,B. D(X)减小C. D(X)先增大后减小D. D(X )先减小后增大【分析】研究方差随a变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数,二次函数的图象和性质解题.题目有小dr合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.【解析】方法1：

27、由分布列得E(X)则 D(X)(1 0)2a)21)212/1.2_(a -)392则当a在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大.故选D.方法 2：则 D(X) E(X2) E(X) 0 1 (a331)292a2 2a 292(a ：)2 1, 924则当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大.故选 D.无从着手；二是计【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟,算能力差，不能正确得到二次函数表达式.2. (2018年全国卷II理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30

28、 7 23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是1412D.C.1518【答案】C【解析】不超过30的素数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,共10个，随机选取两个不同的数，共有C20 45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30 ,所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为 =.45 15故选C.【名师点睛】先确定不超过 30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求

29、.对于基本事件有宥序”与 无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目3. 一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出 1个球，若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是A. 0.3B. 0.55C. 0.7D, 0.75【答案】D【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是 0.25,所以摸出黑球的概率是1 (0.45 0.25) 0.3 ,因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为

30、互斥事件,所以摸出黑球或红球的概率P 0.3 0.45 0.75,故选D.【名师点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式P(AUB) P(A) P(B),属于中档题.4.在一项自 一带一路”沿线20国青年参与的评选中 高铁"、支付宝”、共享单车”和 网购”被称作中国 新四大发明”，曾以古代 四大发明”推动世界进步的中国，正再次以科技创新向世界展示自己的发展理念.某班假期分为四个社会实践活动小组，分别对新四大发明”对人们生活的影响进行调查.于开学进行交流报告，四个小组随机排序，则支付宝”小组和 网购”小组不相邻的概率为B.A.C.D.【解析】将 支付宝”小组，四个小组随机排

31、序的所有情况有：AB.B , A,B2,A2,bB2,AA,Bi , B2,A2,a,BiBB,A,A , Bi,B2,A2,AB2,Ai,Bi,A> , B2,A2,Bi,Ai网购”小组,高铁”小组，A,A2,Bi,B2 , A,A2,B2,B""后，A2,B2ABA,Bi,B2,A2 , A,Bi,B2ABzBAA , B2,Bi,A2,A共24种，共享单车”小组分别记为A, A2, Bi, B2,则A2,A,B,B2 , A2AB2,B ,B,AA,B2 , Bi,A2,A,B2 ,A2,Bi,B2,A , A2,B2,Bi,a ,B,A,B2,A , Bi,A

32、2,B2,Ai ,其中 支付宝”小组与 网购”小组不相邻的有12种,1由古典概型的概率公式得所求概率为一.2故选：D.5.袋中有形状、大小都相同且编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个球，其中1个白球，2个红土2个黄球.从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为A.B.C.710【答案】D【解析】袋中有形状、大小都相同且编号分别为1, 2, 3, 4, 5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球，从中一次随机取出2个球，基本事件的总数为 n C； 10,这2个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同,C2C2所以这2个球颜色不同的概率为P 12 . 2C2故选D.6.在某项测试中，测

33、量结果服从正态分布 N(1, 2)(0),若P(01) 0.4,则 P(02)A. 0.4C. 0.6【答案】BB. 0.8D. 0.2【解析】由正态分布的图象和性质得P(02) 2P(01) 2 0.4 0.8.故选 B.【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生 0到9之间取整数值的随机数， 指定2, 4, 6, 8表示命中十环，0, 1, 3, 5,7, 9表示未命中十环，再以每三

34、个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321 421292925274632800478598663531297396021 506318230113507965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为B. 0.30A. 0.25C. 0.35D. 0.40【答案】B【解析】由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663,20共6组随机数，所求概率为 P 0.3,故选B.【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能

35、事件的概率，注意列举法在本题的应用.8 .传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的 上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方定：比赛三局，每局各出一匹马每匹马赛一次，赢得两局者为胜.如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛 ，则田 忌获胜的概率是A.C.【答案】C1【解析】由题可得，赛马的对阵万式有A3 = 6种，其中满足条件的有1种，所以田忌获胜的概率为-.故选C.9 .有一底面半径为1,高为2的圆柱，点。为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于l的概率为A

36、. 1B. 23 3D.C.4 4【答案】B2K 13【解析】设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1,由几何概型，得P1= V = = 1 ,故V圆柱冗1 2 3点P到点O的距离大于1的概率P=1-l = 2.33故选B.10 .某学生用随机模拟的方法推算圆周率的近似值，在边长为2的正方形内有一内切圆，向正方形内随机投入1000粒芝麻，（假定这些芝麻全部落入该正方形中）发现有795粒芝麻落入圆内，则该学生得到圆周率的近似值为A. 3.1B. 3.2C. 3.3D. 3.4【答案】B【解析】边长为2的正方形内有一内切圆的半径为1,圆的面积为12,正方形的面积为 22 4,7954 795由几何

37、概型的概率公式可得 一 95_ 得 4 795 3.18 3.2,4 10001000因此，该学生得到圆周率的近似值为3.2,故选B.【名师点睛】本题考查利用随机模拟思想求圆周率的近似值，解题的关键就是利用概率相等结合几何概型的概率公式列等式求解，考查计算能力，属于基础题11 .运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为？?从集合？冲任取一个元素 ？?则函数？?= ?60, +°°）是增函数的概率为舌/看出力/x<3是>=x+l-1-4B- 53A- 7C- 5【解析】该程序的运行过程如下：x=-3,输出？?= 3;?= -2 ,输出？?= 0; ?= -1

38、 ,输出？?= -1; ?= 0,输出？?=0；?= 1,输出？?= 3;?= 2,输出？?= 8;?= 3输出y=15，程序结束，故A=3,0,-1,8,15,其中有3个正元素，可3使得函数？?= ?,?e 0,+8是增函数，故所求概率为-.故选C.12.设函数f(x)=xe ,0 xlnx e,1在区间0, e上随机取一个实数ex,则f(x)的值不小于常数e的概率是A. 1 eC. 1 e【答案】BB 11B . 1eD. 【解析】由题意可得，因为x e,且 f(x)=x ce ,0 lnxe,1 x，所以有1 x e,所以由几何概型 e可得，f(x)的值不小于常数e的概率是0 e 1 p

39、 e故选B.13. (2018新课标I卷理)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB, AC. AABC的三边所围成的区域记为I,此点取自I, II, III的概率分别记为Pi黑色部分记为II,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点,p2, p3,则A. pi=p2B. pi=p3C. p2=p3D. pi=p2+p3【解析】设 AC b,AB c,BC a,则有b2 c221a2,从而可以求得 ABC的面积为Si bc,2黑色部分的面积为S21bc 22c7t 4b2Ibc11bc bc,222bc

40、,所以有S1 S2,42 a1 其余部分的面积为 S3u -1bc22根据面积型几何概型的概率公式，可以得到故选A.【名师点睛】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几 何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求 得结果.首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应 的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确 定出p1, p2, p3的关系，从而求得结果.14. （2019年高考全国I卷理数）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七

41、场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该 队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场 取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4 ： 1获胜的概率是【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解.题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的率是0.63 0.5 0,5 2 0.108，前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的I率是0.4 0,62 0,52 2

42、 0.072，综上所述，甲队以4:1获胜的I率是q 0.108 0.072 0.18.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是 思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算.15. (2018上海卷)有编号互不相同的五个祛码，其中 5克、3克、1克祛码各一个，2克祛码两个，从中 随机选取三个，则这三个祛码的总质量为9克的概率是 .【答案】15【解析】编号互不相同的五个祛码，其中5克、3克、1克祛码各一个，2克祛码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2; 2个2,没有2, 3种情况，所有的事件总数为：C

43、3=10,这三个祛码的总质量为 9克的事件只有：5, 3, 1或5, 2, 2,共两个，所以这三个祛码的总质量为 9克的概率是： =1,10 5,1故答案为：1 .5【名师点睛】求出所有事件的总数，求出三个祛码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助树状图”列举；(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.16.已知向量a 2,1 ,b x,y ,若x 1,0,1,2 ,y 1,0,1 ,则向量a/ b的概率为 【解析】若

44、xe -1, 0, 1, 2 , yC T, 0, 1,则满足条件的向量 b共有4X3=12个，若向量a/ b ,则2y-x=0,故满足条件的向量 b有(0, 0), (2, 1),共两个，故向量a/ b的概率P=-, 12 6故答案为1 .6【名师点睛】 本题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键.先求出基本事件的个数， 利用向量平行确定满足 a/ b的基本事件个数，然后代入古 典概型概率计算公式求概率 .17 . (1) 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率

45、为 (2)有一批种子的发芽率为0.95,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为 【答案】(1) 4 ; (2) 0.76.9【解析】(1)记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件 B .注意这里的问题与“求第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样.方法一：显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率P(AB)n(AB) 6 44n( )10 9 15由条件概率的计算公式，得P(B|A)P(AB)P(A)4_15 469 ,101 _1_1 _1万法二：因为 n(A) C6c9, n(AB) C6c4,所以 P(B| A)n

46、(AB) C6C144n(A)C6C199(2)设“种子发芽”为事件 A, “种子成长为幼苗”为事件 AB (发芽且成活为幼苗)，则出芽后的幼苗成活率为 P(B|A) 0.8, P(A) 0.95, 根据条件概率公式P(AB) P(B | A) P(A) 0.95 0.8 0.76,故在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为0.76.下，事件B发生的可能性大小不一一定是P(B),即 P(B|A)与 P(B)不一定相等.(2) P(B| A)P(AB)P(A)【名师点睛】(1)由条件概率的定义知，P(B| A)与P(A|B)是不同的；另外，在事件 A发生的前提可变形为P(AB)

47、P(B| A) P(A),即只要知道其中两个值就可以求得第三个值.如已知P(A),P(AB)可求 P(B| A)；已知 P(A), P(B|A)可求 P(AB).、一人 一 1 X .一一18 .设集合 A x|- 216,B x| y ln 3x4X2 ，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是【解析】集合A=x|l2xv 16= (- 2,4), b4,. 一 2 一 ，一 一、x| y ln 3x x = (0, 3),3.AnB=x|0vxv 3, ,.事件 XC APB 的概率是？,1故答案为：12【名师点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考

48、查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据集合A, B,求出AAB,再利用长度型的几何概型的意义求解即可.(2)几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题(事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题)；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度(角度、弧长等)，最后代公式P A;如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.19. 设随机变量X

49、的分布列为X123P1215a;E(X)=11311393 9【斛析】根据分布列知识，付2 + 5 + ?= 1解得？?=而，则？(?)= 1 x$+ 2 X- + 3 ><而=5 ,故填70，§20. (2019年高考全国n卷理数)11分制乒乓球比赛，每赢一球得 1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方 10:10平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束.(1)求 P (X=2)；(2)求事件 X=4

50、且甲获胜”的概率.【答案】(1) 0.5； (2) 0.1.【解析】(1) X=2就是10 ： 10平后，两人又打了 2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.因此 P(X=2) =0.5 X 0.4+( 1-0.5 X (1-0.4 =0.5.(2) X=4且甲获胜，就是10 ： 10平后，两人又打了 4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1分，后两球均为甲得分.因此所求概率为0.5 X(1-0.4 + (1-0.5 X0.4 X 0.5 X 0.4=0.1 221. (2019年高考天津卷理数)设甲、乙两位同学上学期间，每天 7： 30之前到校的概

51、率均为 假定甲、3乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7： 30之前到校的天数比乙同学在7： 30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.20 【答案】(1)分布列见解析，E(X) 2； (2) .243【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13分.【解析】(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7： 30之前到校的概率均为 -,3小2一”2 k 13k故X B(3,),从而 P(X k) c3()k( )k 0,1,2,3 .333所以，随机变量X的分布列为X0123P12482799272随机变量X的数学期望E(X) 3 - 2 . 3(2)设乙同学上学期间的三天中7： 30之前到校的天数为 Y,2则YB(3,2),且 M X 3,Y 1UX2,Y 0.3由题意知事件X 3,Y 1与X 2,Y 0互斥，且事件X 3与Y 1,事件X 2与Y 0均相互独立,从而由(1)知 P(M)